Full text of "Cursus quattuor mathematicarum artium liberalium"

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•fipoiyanoi

tktrus Ctruelus Barocenfis pbt

lofophus pariter Si theologus: Reftori & fcholafticis oibus al
me vniucrfitatis copIutcnfis:quc ftudio Capientia: dicata cft:
falute liberalibus doctrinis vigilanter intendere.

Mgmw tUe Murdim m$u>

Iftinus&chriftianorum philofophorum vchcmcntiiTi
mus: digniffime Rector di fertilium prxeeptores aevi
gilantiflimi fcholaru circuitores:in eo fuo opere quod
dcinftitutione nouitiorum theologorum doftrinachri
ftianam inicripfir:cnumeratis omnibus fere artibus & ooc!d?:i.
fdentiis gentiliu philofophord fub tippo auri argeti ac
prxdofx vcftis Si omnino thefauri egiptiorum : eas po
fica diuifionc bimebri fic comprehendere curauif. Duo
iuquuimit genera rioftnnarutn qux ingentibus etiam moribns exercentur, vnum re
tum carum quas in ftituernnt homines: a Iterum carum quasanimaduerteruntia per ^ (iplfcea
aftasautdininitusinftitntas.acfidixiffct qnxdafuntfcientixdcfignis:alix dereb?. (ciattle.
Signa homines inftitucrunt:rcs deus creauit. primas earu profequens fubdit. Illud
quod cft Cccundu inftitutiones hominuipartitn fupcrfticiolum cft:partim no Cuperfti Scfctfc tc
ciofiim. Et vanitates fuperfticiofas latiffimc perfeques dicit eas ce inuentiones diabo f ‘ snis *
licas in quibus funt pada quxdarn hominii cu dcmoniis.Non fupcrfticiofa vero ho^
minii inftituta vocat pafta bominu cii hominibus inita, qux ideo valent inter eos: q>
fic placuit eis vt valeret. Q.uoru iniuper parti lupcrfltta & luxuriofa dicit: parti vtilia
S neccffaria.Snperflua funt inquit q faltado faciunt hiftriones: Si q in theatris fiunt
in cofpeftu totius populicomcdix:tragcdix:cglogx:fabulx.C6nioda fiuevtilia acne
cefTam hominii inftituta ea Cigna fnnt:quxcunq; in habitu & cultu corporis ad fexus
vel honores difccrncudos placueriit:&q in poderibus atep menfuris Si numorn fprcf
fionibus di alia id genus(finc quib? humana focictas aut no oino aut minus comode
geritur^inftitucriit hoies. maxime litteraria diiciplina linguarfiq; peritia quarti fatis
cft.Ad icientias de rebus veniens ait:illa vero qux no inftituedo: fcd auttranfa&a te= idc&ereb’
poribus aut diuinitus inftimta imieftigado prodiderut hoies : diferamus.quoru alia
fuiitad fenfue corporis;aIia vero ad ratione animi pertinetia .per hoc duplices rerum
fcientias denotas.i.de rebus fenfibilib? Sdc imaginabilibus aut intclligibilibus. Sed
illainquitqfenfucorponsatringutur:vel narrata credimus vel demoftrata fentimu3
vel experta coniicimiis,Adprimupertinethiftoria: adfcciiducofmographia :ad ter
tiii naturalis feientia moralis prudetia Si ars faftiua vtagricultura & militaris. Rcftat
ergo ca q no ad corporis fenfus fed ad ratione animi pertinet: vt difciplina difputatio
nis & ratio nam eri: harti altera cft fermocinalis dialeftica Si rethorica: altera mathes
maticatfiuc numeri per fcipos cofidcreturdiue ad figuratu: aut fonorii: aliarnvc mo
tionu leges adhibeatur: quia vbiqjincomutabilcs regulas habet. Q_mbus fic diuifis
tandefepte artes liberales &vtra< 5 philofophiam theologorum ftudio contendans
(in qua facultatehxcnoftra achadeinia exteris hifpanis iurc prcfcrtur^concludit ad
hxcvcrba in fine fecundi libri ciufdem opcris.Quamobrcm inquit videtur mihlftu q rcffttc fft
diofts&ingeniofisadolefccntibus falubriter prxcipr.vt nullas doftrinas qux preter H?coiog(a
ecclcfiam chrifti cxerccntur:fccurcfcqui audeant:fcd eas fobrfediligcntcrcp difiudis offecnde.
cent.Etfi quas muenerint ab hominibus inftitntasvarias propter diuerfam voluns

PROHEMIVM

tatcm inftituentimn:& ignotas propter liifpitioncs errantin:maxfme fi etiam habes*
ant cu dcmonibus initam focietate.rcpudicnt penitus & deteftentur. Alienent etiam
ftudium a fuperflitis & luxoriofis honiinu inftitutis.llla ucro inftituta honiinu qua:
ad focietatc conuiuentinm ualent:pro ipfa huius vitae nccefll itate non necintciligat.
In exteris afit doftrinia qux apud gentes inucniunturrpr xter hiftoria rerii vel prxte
viti tcmporisvclprxfcntis ad fenfus corporis pertincntiu:quibus ctiavtiliuartiiicor
poralium experimenta & coniefturx annumeratur: &! prxtcr ratione difputationis8£
numcri:nihilvtiIecfiearbitror.In quibus tfionmibushoc tenendum cft ne quid ni*
mis:&! maxime in his qux ad corporis fenfus pertinentia voluntur temporibus & co
tinentur locis.Sed quorfuni ta multa ex verbis diuini auguftini? Nepe vt ex illis duo
eliceremus ad propolitn noftrn valde neceflaria documenta. Prim ii vt fciremus quas
fcieiitiarumfpecicsfidelibusfcholafticisliceretadifcere : quafvcficutillicitas&nos
ciuas declinare: Alteru eft noffe que modii in HcitisSihoncftis difciplinis deberent ob
feruarc: quia em gentiles philofophi vtplurimnin fuis editionib? fucrut valde proli
xi & obfcurinn quorum libris perlegendis magnam fideles paterentur boni tempo*
3 BKuce (fi r ' s la ^ liram: cenfuit praeeligendas cfle in lingulis difciplinis extraneis breues quafi*
mcinfcioi dam iumas:qnx magis neceflaria doftrinarum compendiofa methodo compleftere
illsfmite tur.vndeconfequenterfubdit.Sicutautemquidamdevcrbis omnibus & nominib?
demie. hebrxis:firis:& xgiptiis:vclfiqua alia lingua in feripturis fanftisiueniri poteft:qux
in cis fine interpretatione funtpofita: fecerunt vt ea feparatim interpretarentur: 8 L
quod Eufcbius fecit deteniporuj hiftoria propter diurnorum librorum quxftiones:
qvfus cius efflagitant: q5 ergo hi feceriit de his rebus: vt no fit neceflc chriftiano phf
lofopho in multis propter pauca laborare;fic video poffefi eri in aliis:fi quem eorum
qui ad hoc valent benignam fane operam fraterna; vtilitati delcftet impendere: vt
quofriiq? terrarum locos qux ve animalia vel herbas atqj arbores flue lapides vel me
talla in cognita fpecicfcp quaflibet quas feriptura coni cm orat: ea generatim diggeres
fota expofita litteris mandet:poteft etiam & de numeris fieri vt eorum expofita ratio
confcribatur quos diu/na feriptura memmit.Quod vtrum de ratione difputandi fiet*
ri poflit.ignoro: & uidetur mihi no oportcrc:pcr totum cm textu feripturarum collis»
gata eft neruorum vicc:ideo magis ad ambigua foluenda et explicanda legentes ads»
iuuant:quam ad incognita feripturarum figna cognofcenda: quorum aliqua autfor*
te omnia iam fafta funt: ficut multa qux a bonis doftifq? chriftianis elaborata atep co s»
feripta non arbitra bamur inuenimus : fed flue propter turbas n cgligentinm fiue pro*
pt er inuidiorum occultationes Iatent.hxcille.Optimum ccrtelaborisrcleuamen ac
faluberrim um confilium in hoc datum cft thcoIogis;fi fideles chrifti in talibus genti
lium doffrinis dofti: breues ex fingulis carum lummasexcerpferinfin quibusfuper
fluis omnibus amputatis rcicftifcpipurUTimi fcicntiamm frudus auidiifimea fer ais
dei captantur. Hoc itaqj munus gratix hac jnoftra xtate cum in aliis chriftianorum
vniuerfftatibusrtuxn vel maxime in prxclariflima hac complutcnfi achadcm ia : dii*
ce viro vtiqsreligioiiflimo pariter & fapientiffimo domino cius fundatoremobis cft
diuinitus conceflunuqnandoiam non niodolatinorum vocabulorum quanftnncun
laudaturi ^ abditiifimorum annotationes ; fed etiam hcbraicorum &grxcorum omnium in
troductoee terpretationes latinein propatulo funt omnibus vel mediocriter in litteris eruditis:!
piuribW mo & multiplices fingularum feientiarum inrroduftiones nouitiis carum tirunculis
matibu», p a flini & in dies traduntur: qux acquirendis feientiis cognofcnntor vtiUffimc. Nam
cis tenera puerorum ingenia quali laftco quodam prxlibamento ad iolidiorcm ea=

PROHEMIVM

tum cibum difponuntur :eommq5 mens quafl facili quodam prxmliTo viatico ad nU
tldlores auftoru j difclpllnas prxparatur.Nam Introduftorlx artes flmflUme femltls
eflc pcrlbentur:qux fine viarum erroribus ociifimc perducunt ad termlnum:&quas
fl naulculx paratlJTime, altum tentantlbus cquor:qulbus flnc fcopulls cecx Ignorans
tlx fecurus attlnglntur fclentlarum portus.Nenipe lu eis plurimum artis & doftrlnx
cum multa facilitate breuitatecp continetur, quando quidem diffinitiones dlulflos:
nes & regulxrqulbus poti ili' iri um introduftlones texuntur: feftatim Intellcftul nia*
nlfcftas offerunt. Et animus hominis ab ignorantiae morbo : eq; atq^ corpus a febre
primum facillimis firupis dlgcretlbusrdeinderlgorofiore farmaco purgari habetrEt
anima rationalis adeo creata veluttabula mundifTima primum rudi effigfe linearum
eft flguranda:poftca vero coloribus appofltls eft In dei imaginem pingenda ac polle
da. Sic In tradendis dlfclpllnls:audicntium animos prius rudi minerua nouimus efle
prxparandos.demum vero exaftlorc doftrln a dlligentcrexcolcndos. Ego Itaqjom
nium hic refte phllofophantlum Infimus cogltaul vt vel modulo meo tam praeclare
vnlucrfltatl quoquo modo defcrulrem:fiin doftrlnas mathematica sequas omnes ra
tlones numerorum vocauit beatus Auguftinus & theologis ncceifarias prxdlcauif)
brciicslntroduftlones:tumabaIllstum &! a me editas In vnum corpus recolligerem
cmendatiffimas.quincp videlicet numero:paraphrafes duas de quantitate dllcreta in
opera dlui feuerlnl Boctll:quarum altera in arithnieticam:alteram in muflcam eius
introduclt.Bmiia quoqsduo compendia de quantitate continua quafl prxguftamen
t'a duarum aliarum fdentiarum. Alterum geometria: Euclldls.& alterum pcrfpeftt
uc Alaccn. quinta quoq; eritintroduftio aftrologicarquam In fpherlcum opufculum
olim condideram corrcfpondcntem alma gefto Claudii ptholomei clai/fliimret AB
manach perpetuum Zacntl Salmaticcnfiscu nfo’iudiciarlo quadrlpritoac cetileglo
AcClpite ergo Isto animo hanc tantx vtllitntis editionem: qux advtrliiiq? phllofo
phix plenam intclligentiam erit munimentum cpiucundiffinium.

Valete fceliciter. J ‘

a.iil

Rcales,

Zljomlitt

Scotllfc

*8)ottitafcs

T^ctriCirueli iDaroccff sp:euia mari *

thmeticamquxftiuncula dc vera numerorum natura.

IRo clara mtelUgentia omni»

um eorum qux In arihnictica dlfturi fumus : hxc in pr te
j misclucideda eft quxftio.Qjix na res fint numeri de qui
| bus hxcnoftra arithmetica difputatfhoc eft vtruj fintres
n anima numeratis :ant res extra homine exiftentes qs
r quidam vocantnumcrosformalcsialii numerata materi
) aliaF Adhocdubiufiueargumcntis^quoniamaliaslari?
viderlbabcQdicmiustres cfle opiniones dc numeris ari

Jjrhmet/cis.Prima eft opinio rcalium diftingucntiu inter

vnum quod cfttranfcendeus:& vnum quod eft principium mimeri:per hoc cp vnuj
tranfcendensnfhil aliud fignificat qj rei cfientiam per quavnaquxcg res fcipfa c vna
vtaiontjmethaphifice loqucndo.vndc & oppofita multitudo aut numerofitas non
difFcrtabeffcntiis rerum afeipfis diuifarti.Red vnum quod eft principio numeri & li
imtatum:pertinensad prxdicamentu quantitatis licet reductiuc : fignificat aliquod
accidens fuperaddituj effentixrei qux eft vna: & formaliter denominatur talis ab il-
lo accidentc.quia vt aiuntquantitas eft vnn deprxdicamcntis accidcnfium.crgoips
fius generaliffimu & quelibet fpecics eius dircfta vel redufliiia debet figuificarc ali?
quod accidens fuperadditum effentix rei quam fignificat:& p confequcns oppofita
multitudo autnumerus eft accidens a quo formaliter res numerare denominatur. Sj
inter iflos fic oppinantes eft aliquantula diucrfitas.Nam corii aliqui dicunt q nunics
rus prxdicamentaliscftaggregatiovclcollefiio talium aeddentin qux funtvnitatcs:
eo modo quo dicimus dc aceruo lapidum vel de exercitu qui non eft aliqua vna res f$
aggregatio plurium. Alii vero dicunt cp quilibet numerus eft vna fimplex forma reo
fulranscx aggregatione talium vnitatd.quia videtur cis q> omnis fpecics cuiuflibet
prxdicamenti debet effe vna fimplex effentia: Ergo fccundu ifta 5 opinionem tota cn
numeramnsdiuinasperfottasvelattributaeflentlaliaautperfonalia: vtimur muneo
mtranfcendentalibusnopredicamentalibusiquiain deo nullum eftacddcns.fcd cni
numeramus creaturas vtrifqnumcris vtipoflumus.licctinangclishocnon concco
dantaliqui eorum putantes cp iftx vnitates numerales fint accidentia corporalia cait
fata exdiuiiioneconrinui.Etcum arithmetica fitfeientia particularisrnonvniuerfalfs
vtmctaphifica qux cftdetranfccndcntibus:confcqucntcrdicuntqipfa non fpecu^
latur dc omnibus numcris:fcd dc folis prxdicamcntalibus qui funt accidentia, vn de
propterca difla eft feientia de quantitate difcreta.& fic non fe intromittit de numeo
ris angelorum ncqjdc numeris rerum diurnarum. Alia eft opinio nominalium prx
diffetotalircr oppofita quxnegatillam diftinctioncrn dc vnltate aut multitudine tra
fccndentc & dclimitata lrnodicit q> omnis vilitas cftrci cftcntia 8f q> omnis multitu
do eft plurcs eflcntix rerum :& q> vilitas 8f vnn funt vocabula finonima. fimi liter mnl
titudo & multa: quia nt aiunt numerus nihil aliud eft q$ res numerat*. & vice nerfa q*
libetres numera tx funt numerus. Vcrutamcn concedit ifta opinio cp aliquis numer?
eft fubftantia vel fubftantix.& aliquis alius eft accidensvcl accidetia.Na rcru q mime
rantur hex fubftantix funt:illa vero accidcntia.Similitcr didit cp aliqux vnitates fiit
fubftanti*:&alix funt accidentia.Conccdit ergo ifta opinio q> ci fdem numeroru fpc
ciebas utimur cum numeramus res diuinas & res angelicas & reliquas omnes creatu

ras.vndc &. arithmetica de omnibus n inneris vnfuerfaliter fdetiam e fle determinat.
Tertia eftopiriio mediocris quoruda recentiorum qui licet invocabulis concedant di
ftinftione inter vnum rrafccndens & limitatmquia hoc vniuocum eftrillud vero equi
uocum:tn in rebus fignificatis per illa vocabula tenent oino cu fecunda opinioncino
diftinguentes numeros abeflentiisreru5nunierararu.fcdhxcrertia cu neutra prxdi
ftartim opinionii coccdit arithmetica e (Te fcientia de rebus numeratis fiue ilice fubfta
ticc fint fiue acci dentia. Na 5 vt aiunt numeri de quibus pcrtraftat arithmetica: funt in
anima hominis numerantis res quxda diuinx & fpirituales abftraftx a tepore & mo
tu atqj omni phiiica qualitate &tranfmutatione corporali. Veru tam en ifta opinio bi
partira cft:8i quibufda eorii dicentibus q> numeri illi mentales funt quxda notitixvel
conceptus rerii collcfliui quibus intelleft? plurcsres fimul cocfpitvna notitia:& g> ta#
les conceptus funt vera: fpccics prxdicamentl quatitatis eo modo quo philofophi co*
muniter dicunt de notitia qua quis concipit exercitu aut populu vclaceruu lapidum:
alii tff fapientiores reputati apud comunc vulgus dixcruntq> numeri mcntalesno fiit
noticixaut conceptus prxdifti : fed quxda aliae res diuiniores in anima exiftentcs.qd
fic explicant. dicentes q> veri numeri quibus anima res exteriores numerat: funt men
furxquxdam difcrctiucrcruexteriusmimeratarn: menfurx dico cterogcilex a qui#
bus res appellantur extrinfeca denominatione numeratx. Vnde ficut vina eft mcnfu
ra panni cotinui qua homo menfurat pannu applicando eam panno:iu qua menfura
tionehomoipe dicitur menfura ns principaliter :vlna vero inftrumentaliter:quia hd
non eft menfura fcd vlna:ita etia numerus quilibet formalis in anima eft menfura nu
lperahsextrinfcce res quibus applicatur: anima vero ipfa eft numerans principale:
quia applicat illas menfura rebus numeratis vtens numero tanqi inftmmcnto. vnde
res exteriores denominantur numeratx a numeroa nimxiplis applicato.vtdux res
a binario animx:&trcs a terna rio.&fic de aIiis:ficutpannusdenominatur menfura^
tus ab vina fibi applicata ex teriu s a b hom | nem en fura nte. E t ficut eade vina potpluri
bus panis applicari quorfi quilibet erit ab e'a men fura tus :ifa idc n um erus animx pot
diucr fis rebus numerandis applicari: vt denarius dece hominib? & dece equi?. Et fi*
cut fi 116 fuerit vina applicata panno, no diccturipe menfuratus quauis equa ■ coti neat
atq$ cii menfuratur quantitate: ita fi numerus animx no fuerit applicatus rebus nu*
meratis non dicentur duxncqs tresmecp, alio quoqua numero numerate: quauis ean
dcatqjcii numerantur habeat .mulritudiii.e., J^xcitaqj nomina abftrafta binarius:ter
narius :quaternarius:ipfum aniinx numerufignificantrfedeorfi cocreta denominati
ua:duo:tria:qii(ittuor:pro rebus numeratis accipiuntur. animx tfinumera cognotan
do.Addfitifti quod mirabilius eft mimerosipfos virtutes quafda naturales habere :&
proprietates in. fcparabilcs quibus agant in res exteriores pcrfeftfusqj qualitates afti
nx elemcntonl Et qui tales numeroru proprietates agnofeiit: polTunt applicatione
ilIorunumcrQru ad res naturales facere mirabiles efFeftus.qnod dicunt ad magia na*
turalempertincrc. Confirmant hanc fua opinionem auftoritate eius qui pfalmos Da
uidicosnon co ordine quo editi fuerant in vnii volumen recollegit: fed variato ordi*
ne iuxtanumerornSpfalmoru concordantes proprietates. It3q>illcpfalmus: Beat?
vir qui non abiit &c.Iicet non fuerit prlmoeditus a dauidc:tamcn eft primo pofitus
in pfaltcrio:quia habet proprietatem perfimile vnitati. Ettertius pfalmus concordat
ternario nmnero:8£qninquagefim? quinquagenario: &! centefimus centenario. Sed
dehisimaginationib? alias operoffus. Nunc autem tota hxetertia opiniodicitnriths
meticam noftra clTe dc numeris illis mentalibus fiue notitiis fiue men furis rcru exis
ftentibus: quia vt aiunt contra fecunda opinionem arithmetica ponens vilitate lpar*
tibilcm non pofleteflet vera in vnitatequx eft Iapis vel albedo.Simile argumentum

IHeotcricf,

^laeobus

faber

$oI;anncs

picus.

©frtulcs

nuiuerozfi*

PRIMI LIBRI ARITHMETICAE

formaretur dc tinni cri imparis idimidiabilitate. Et forte hxc argumeta etia procede
tfocoidis re putant contra primam opinione? ponentcnivnitates naturales cfTc accidentia cor
oim. poraliaaddluifioncmfubieftidiuifibilia.Nos vero alias hanc difputationcm exa ni*
mandam relinqnentestnunc dicimus flue alicuius dofloris prxiudicio ("quia cos oni
nes pro certo & veneramur &admiramur)arithnieticani noftram eque bene cflcin
tclligibilem cuilibet prxdiflarum opinionum. Nam fecundum vnamquamq? earum
vere faluari poflunt arithmcticx diffinitiones diuifiones principia & concluilones.
Siuc enim vnitas fit res fpiritualis flue corporalis: fine fubftantia fiue accidens : ratio
ne indiuiflbili fiue indiuifibilitate cognotantc explicatur & fignifleatur abarithmec
ticorita vt negatio importata in ratione vn itatis non refferatur ad rem fignificatam:
fed ad modum fignificandi vocabuli fignificantis.eodem modo diceretur dcquolirf
bet alio arithmetico principio aut principiato.Hic no fler modus ficut cilvaldc facilis
•8Uiberali.Timus:ficoIbuspdiftisopinionib?eritc6munia & coucnieti (Tinius.

l^etri Cfruelt iBarocenftG.lfbara

phrafis in arithmeticam fpeculatiuam diui Seuerini|Boetii:clari?

& certius edita quam olim a thoma Brauardino: Cui tale
premittitur exordium.

omnibus fcientfis antiqui rapientes fep^

tcmfpccialiterdifcrcucruntin ftudis fiiisfad. opus erudiendorum:
Hugo dc fanfto viflore au flor eft in fuo didafcalion:qui cfi: de origis
ne artium & fcientiarum : in quibus tantam vtilitatem cflc pre extes
ris omnibus pcrfpcxcrimtrvt quifquts harii difciplinam firmiter per
!lcepifict:ad aliarum notitiam poilea inquirendo magis &. exercendo
BtuUbera ' ^ lIam auc * icn do pcrucniret.Sunt enim quafi optima quxdam inftrumenta quib?vfa
Hum com Paratur animo ad plenam philofophix mtelligentiam.Hinctriuium & quadriuium
mendatio . nomina acceperuntrcoq’ his quafi qufbufdam viis animus viuaxad fecrcta fapientix
introcat.Nemo etiam tunc temporis magiftri nomine dignus videbatur:qui no has
feptem fcientias profiteri poflct.Pictagoras quoqs hac in fcholis fuis confuctudinem
fcruafTc lcgitur:vtvfq; ad fcptcnnium(Teciindum numerum fcilicct feptem artium
libcralitim^nulliis difcipulorimi fuortim dchisquxabipfo dicebatur rationem cx^
petcrct:fcd fidem daret verbis magiftrirquoufqj omnia andiwffet. Has itaq; feptem
difciplinas illa xfate tanto fludio quidam didifeiffe leguntur : vt plcnxomncs eas in
memoria tenerent:adco vt ad quafctmcp quxiliones fibi propofitas. cx harum regiis
lis rationes inucnientcs vt diffinirent omne id de quo ambigerctur:non rcuolucndo
folia librorum : fed corde tenus ftatim haberent rcfpofioncs paratas. Qjiarc & nos an
tiquorum exempla infcqucntesifcholaflicis noftri temporis £ in quo iterum omnes
bonx dofhinasrcfipifcuntatqj rcflorcnt^dc hifcc Ii bcralibus difciplinfs compendio
fani editionem fecundum mcnfnram gratix nobis diuinitiisiconccflx tradere voluit
mus . abarithmetica exordin facientes qua in duos libros diuidemus.

Liber primus introduflionis arithmcticx dc numeris & proprietatibus numerat
libusihabet duos tra flatus. Primus agit dc numero & fpccicbus cius ac proprictatib*
numerorum .habet capita fex.

Caput primil dc mathematicis doftrinis commuter.

P ars prima de nvmeris

^■©ppoftttstgErurfermottotiaKbusDtT

«ciplinis :quas tradiderunt copiofiilime viri excellentes frigeo
Cilio in hac noftra crnditiiTima ct patria et xtatcuioucllis philo
IjTophix tiruculis mathematicas doftrinas tradere voljtcsmo*
a do dumtaxat introductorio atq? intranfcurfu velut explorato#
a|rcs(^vt & ipfi ad maiores nitidiorefq; fapientfi facultates quafi
J peregrini 8i tra nfeuntc s n ccc Clario Sifacili quoda fumpto viae
_|t/co properent} (ola ea qux ad peognir/ones demdftratiotm
pertinent: declarabimus. hoceft vocabulorum diffinitiones, diuifiones ab audoriV
bus acceptas atq? approbatas: & fingulorum generum ac fpederum proprietates ex#
cmplariterfolum declaratas dimiflis alias demoftratiouibus tradere itendinms: ma
xime in arithmetica &aftrologia. Nam in aliis tribus mathematicis nonnullas con# (ZPaUjema
clufiones aliquanti fper dcmoftra binius. Mathcmaticx itaq? diicfplinx quo pacto q abaHfcTel
ne ratione diflinguantur a phifica& methaphtfica fibi condiuifis in fexto methaphi* fifogfitur,
ficorum ariftotclis:quoetia j modo mathcmaticx ali» ab aliis difeernanturrin primis
doceamus:vt earum diffinitiones proprias & fpccialeshinc cliccrc valeamus. Diffini
xitariftoteles tria feientiarum fpcculatiuarum gcncra:mathcmaticum:phificn:& me
thaphificum:pcrhoc vel maxime q> mathematica: fcientix folas caa rerum naturali
um proprietates qux ad diuifibilitatem partium attinent fpeculantur. Phifica vero
carumdem rerum naturalium motus altcrationcs &quafcunq;tranfmutati6es theo
ricx inquirit.Mcthaphifica autem tranfccndcntibus quibufdam rationibusnon nio
do rerum corporalium verum etiam & fupernaturalium entium quiditates naturas
gradufq? perfeftionis sbroiutiiTime perucftigat.Hinc ergo fapientes antiqui mathe .

maticasfcicntiasrecte diffinierut:effedodrinasdcqiiantitatc:quxpartiom ditufibi t [ ce rc ? f C jJ|*
Iftatem confignificat.-vtariftotelescxpreftc docctin cathegoriis. quod eorum dictu ciffinftio
non ficeftacccipicndummeoiuditio-.vt quantitas fit alicuius fcientix fubicfhmi atri
bntionis(nc omnes mathematicas vnam fcicntiajfadamusfub vnaue comprehen^
demus}fcd quia cuiufUbet fcientix mathcmaticx fubicftum atribtitionisfnb quanti
tate continetur vtfpccics vel ficutpars in modo in diuifione accidentali. Sed iuxfa
duogencra fubalterna quantitatis difcrctum8{ continuum: mathcmaticx fcientix bi XPatijema
faria diftiguntur.Na de quatitate difereta fcu multitudine aut numero difputat arith ^pecf

mctica cfj fibi adiunfta mufica:dc quatitate vero cotimia vel magnitudine agitgeo;
me tria cum fibi annexis perfpcdiua & aitrologia. Principalium autem mathematica
rum & anexaru hic fumi poteft differentia:^ ille rationibus abftraftis a cbfignificas
tione motus materix determin atx & qualitatfi fenfibiliu de rcb? totius mndi fubtilif
fimcdifputat.hxvcro rationibuscocrctis motu materia &qualitateslefibiles denota
tlbus dc eifde rebus naturalibus ptraftat.Hacdifferentia egregie notauft ariftotcles
in fccudofuoruphificoru libro dices:^mathcmatic? dcphifica linea intendit fcd no
inquatfi cft phifica: quia filicct no fub ratioc phifica qcft cocreta: fcd fub ratione m ate
matica abftraffo a talib? cognotatioib?. & i fexto mcthaphificoru ad ifle ppofitu] dic
cit $ differt ficutcuruu 8Cfimu:qux duo noia rcin cande fcd diucrfis ratioib? fignifiV
cat.Ex hac aut differentia fcquitur alia inter cafdc fcientias:g> prlcipalcs fut purx m a
thcmaticx:accciToric vero fut parti phlficx ct ptim mathematicx:qa rationes & voca
bula prlcipaliu mathematicam fut penitus abftrafta notfi abfoluta^ cu fint de pdica
metis quatltatis & qualitatis} rationes vero, & noia m in? prlcipaliu mathematicam
funt concreta & fuper rationes principalium mathematicarum addunt phificas co*
gnotationes*. eo modo quo logici diciit parte in m odo cognotarc fupra fufi totu.qua
lia funt:h5 &ho albus: fimiliter curufi & fixnu, Ex didis ergopoffut duoelici notatu

' b

PRIMI LIBRI ARITHMETICAE

digniffima.Primu eft q in mathematicis feientiis ideo vna carn dicitur alfi fubaltcr
nataiquia fubicftum attributionis cius cotinctur fub alterius fubiefto ficut pars i mo
do:& eo nfimilit er extera vocabula illius fubaliis feientix fuperiorisvocabuhsmo au
tem ex eo fcientia fnpcrior poflit demon ftratiue probare principia feientix inferi*
oris:neqfediuerfo fcientia inferior pofTit aliquid demon lirare cxprincipiis fuperio#
ris fcicntix.nam cuiuflibet feientix principia funt immediata 6iindcmonftrabilia.de
monftrato etiam fit ex propriis non ex extraneis principiis.Secundii eitq> omnes ter
mini principalium mathematicarum habent fimplicem 8i vnidi modum cognotan#
di fecundum rationcj vnius tantum prxdicam cti ariftotelici:terminf vero mathema
ticaruin fnbalternatarum omnes funt mixtx cognotationis ex rationibus duoru aut
plurium prsedicamentorum.vndc nullus eorum poteft ad aliquod ariftotelicum prx
XDatbema ™ camc,,tum pertinereiqui non pofuit prxdicam enta mixte cognotatois. Sed de his
liccfcfmtte a ^ as opcrofius.Nunc autem fatis fit ex prxdiftis fingularum mathematicarum fden
fpcjifieroi tiaram diffinitiones colligere qux fcquuntur»Arithmetica eft fcientia numerorumSC
finiuntur fiuirum proprietatum jconfidcratiua per rationes abltraftas. vnde & de multitudine
• ritpmtt p cr j- c confiderata fcientia vocata cita Boetio. Dicitur autem arithmetica a rithmis.i.
Geometria a numeris de quibus con fiderat. 'Geometria eft fcientia magnitudinum proportio#
num & figurarum aliarumq? proprietatum fuarum contemplatiua . hanc de magni#
tudinc immobili feientiam e fle dixit idem Boetius:quia per rationes abftraftasa mo
tu rerum magnitudines inquirit. Dicitur autem geometria a mctris.i. menfuris rem
ZDufica de quibus confidcrat.Mufica eft fcientia de vocibus 5i fonis eorum qj armonia Si con
ccntu ac exteris proprietatibus fpccu!atina;qua 5 de multitudine ad aliud relata inferi
pfitBoetiusrquia rationes numerales concretas habetad fonos & voces.Dicitur aute
muficanion vtaiunt quidam a mos quod cftaqua qtiia.f.iinc humore illo qui eft fali#
ua cantus Si armonia perfici non poteft: fed potius a mufis qux cancbant:quafi mufa
Tlberfpccti' rum fdcntia.Pcrlpeftiun eft fcientia lucis & coloris per radios vifuales (qux dictitor
Ud * fpccicsvifum immutantes feu ad ocula venientes ^fccftn rationes geometricas lnqui

litiua.Hxc a pcrfpicicndo diftarab aliis fpcculatiua nominatur ab fpeculis de quibus
oftrologfa P crtra ^ nt, Aftr°l o gia eft fcientia de ccelis&ftcllis eoruq; motibus Si cffeftibus theoa
‘ riam faciens, qux &abaftris diftarabaliis aftronomia appcllatur:qiiia eft de norma
Si lege motus aftroru.Hanc de magnitudine mobili feientiam dixit boetius: quia ra<*
tiones geometricas pariter & arithmeticas motibus ccelorii applicat:ffcut& perfpcfli
ua qualitatib? fenfibilib? octiloru.ideo illa fcictia dcmagnitudinc fenfibili dici po#
terat a boctio*

Caput fecundum Uc arithmetica fpcctaltter

Si de numero generaliter.

i srs Br" 'Jmillie autem quatuoj ulttimsialias tnferen

ilislrasl dis:ad primam mathematicarum fcientiarum arithmetica noftrahxc pre
IflfifcN 'fens fc conncrtat oratio. qux ideo prima inter mathematicas feientias
lljgsttdgc. ordinatur quia aliarum omnium eft fimpliciifima Si abfolutiflima vel a b*
2Mtl?tn*ti ftraftilfimn.Nam fiariftotcli refte docenti in analcflfcorum poftcrioru librofuo pri*
ce fcicntlc jno eredi oportcat;cerrior aliis fcientia Si prior eft illa qux eft ex pauciori bus. i. fini*
piimatuo p]{ c j 01 .|f) U8 terminis vtcns:alix vero fe habent ad illam ex appofitionc.i.addit/one
cognotatiois .Arithmetica aut talis eft erga alias mathematicas oes.ua mufica vtitur
terminisq extrlfcca Si phiflcalc cognotationc nddiit fitp tcrios arithmeticos, vt tori?
fup fexquioftaua ,pportionc;8<di.ipafon fup dupla: & fic de aliis inultis, fimiliter geo

PARS PRIMA DE NVMERIS

nietria terminos habet fuper arithmeticam cognotantcs^non tamen phificccnm (it
pura mathematica^) vt punftuscognotat fuper vniratej: triangulus fuper ternarium:
fiific de aliis fine mimcro.Si ergo his rationibus arithmetica prior comprobatur geo
metria: multo verius prxccdctperfpeftiuam biaftrolog/am quarti; termini fuper ge 2g r ftfrtnetf
ometriam cognotationcs ftiperaddiint.Primumomnium vocabulorum in arithme cefiibiectfi
tica &■ fubicftum attributionis eius cft numerus feu multitudo cuius diffinitio heee eft Pulpale
Nuincruscft pltinum vilitatum collcftio aut aggrcgatio.vcl clarius cftplures vilitas <jrf,, ume ,.*
tcscollcftx Siaggrcgatx.vt binarias:ternarius:qnaternarius &c. Vilitas vero (qux lidrnftaa
priuatiuc cognotat fupra numerum ficur pmnfhis fuper magnitudincm^)cft rei per fe
difcrctio.i.rcsaltcrinoncollecta vel aggregata :autfaltcm tali ratione coniiderata.

Numeri dux funt proprietates quaslordanus in primo fux arithmeticxlibro /fatim ■mumcrf.p
dcinonftrandas proponit.Prima eft .omnis numerus circum fc proxime pofitorum poetares. 2
atqj fimiil iunctorum cft medietas numerorum. vt quinarius medietas cft denarii ex i.^ptlctaa
aggregatione quaternarii & fenarii refultantis.cuius proprietati s probatio clara cft.
quia omnis numerus interalios duos proximos mediat quorum alterum fola vnita
tc fuperatiab altero vero fola vilitate vincitur: ergo fi cxcdlum maioris addas mino?
r i refultabunt tres numeri xquales: quorum duo extremi fimul iiicti dupli funtad me
dium.vt patet in exemplo propofitode quinario, nam fi vnitatem qua vincitur a fc?
nario auferas ab co & quaternario eandem addidcris:fienttrcs quinarii quorum mc?
dictas vnus quinarius erit. Et accipitur i prxdicta proprietate numerus large ficut fx
piusinarithmetica:adco vtcomprxhcndat vnitatem. cui etiam quodammodo hxcp
prictas conncnit.tiam cum ante fc nullum habeat munerum :ipfa cft medietas nunic
r i immediate fcqucntis fcilicct binarii- Secunda proprietas numeri cft. omnis nimics j.ppifcia®
rus duorum quorucunqj extrinfccusiaccntium fedabeo x qualiter diftantium ac fis:
inul iuiiftorum itidem cft medfctas.cuius probatio clarifiima eadem cft cum prxee?
dcnte.nam numerus medius quantuj minorem inpcrat: tantum exceditur a maiore,
ergo fi exceflum maioris minori addideris:fienttresmimeri equales quorum duoru
vnus erit medietas. Diuiditur autem numerus primo in duo genera fiibalrerna de p? E>ucijp£«
dicamento quantitatis: qux funt par & impar.Eft autem par 11 umerus ille qui in duo
cqualia nulla relicta vnita te diuidi potcft.Impar vero numerus eft qui in duo equa fic rU0 ,
diuidi minime poteft. Paris numeri tres funt proprietates quas iordanus in fuo fepti 3mpar nu
1110 nititur dcmonftrare.prima eft.cum numerus parin duo partitur: vtracp pars erit n,cni ®
ciufdcni fimilifqjdenoniinationis-itacp fi vna carum fuerit numerus par:aliam quo?
q’ parem ciTc ncceflc eft:& fi una fuerit impar:& altera. ncqsvmp inhaedmifionepo? tatea ires,
terit commifccriiinparitas paritati.vtdciiarius diuiditur primo in duos quinarios. &
in feptem &tria.&in noucm &vnum:qux partes omnes finitimpares.piuiditiir fc?
eundo in fex & quatuor.in duo & octo qux partes omnes funtparcs.Scctinda pprie? ■•>PP !lctae
tas.fi numerus par altcrii pare multiplicet femp nafeitur inde par.vt ducto binario in
quaternaria pducitur octonarius.fimilitcr ducto quaternario in fenarii! pnenietvi? .

gcfim? quart?:& fic de aliis.Tertia pprictas.fi nunicr? par 111 ultiplicct iparc fem p Ide 5 ' ppI e 90
puenit numerus pnr.vt multiplicato binario ptern arui nafeitur inde fenari? Siducto
quinario in feriariu fit numerus trigenarius: & fiede aliis.

_ Capnt 3.de tinniero pariter pari & fuis accidentibus.

*f^)3*utdimr aurem numerus par intrcefpcdcs ^Z r er ?

athomas:hx funt pariter par: pariter impar & impariter par. Pariter qutdttt.
cri^=.fr). par numerus cft qui diuiditur in duo cqualia : iterum cius medietas

b.ii.

PRIMI LIBRI ARITHMETICAE

fn dtio cqtialia partitur ; fic q> cius partes omnes vfq; ad vnftatem per duo equa dnil
ufiQiiem recipiant, vnde patet ratio quare dicatur numerus pariter par.vtoftonari*
m dmiditur per duos quater narios:& illi iterum per binarios:&tandcm binarii per
vnitates: & fic de omnibus aliis in quibus diuifio non ccfl'atquoufq 3 adim partibiles
vcniaturvnitatcs.Gencrenanturautcm fiueimieniuntur omnes numeri pariter pa
l^arfirrpa res fi ab vnitate incipiendo per d uplarioncm continuam in infinitum procedatur. vt
ruwpztcta vmis:, duo: tpia ttuor : ofto. 16.5 i.&c. Pariter paris numeri qnatuoriunt proprietates
lcP cx[c|>tilmo libro iordani dcmonftrandx. Prima cft. q> omnes eius partes aliquotx
et fcmiliter denominationes carum rcfpeftu totius iunt pariter partes. i. noie & quan
titatcaliquotadcnominantiiraparitcrparibus.vtoftonariipartcsaliquotx funt.1.2.

, 4.q.uanim quaelibet prxtcr vnitatem eft numerus pariter par.fimiliter & denomina

tiones carum .nam quaternarius cft medietas oftonarii cuius denominatio fumitur a
bina rio qui eft pariter par.mcdictas enim nihil aliud eft qj fecunda aut bina pars to*
tius. item binarius cft quarta pars oftonarii cuius denominatio fit a quaternario pns
riter p 3 ri di fiede aliis omnibus fine exceptione. Dicitur aute5 in numeris pars aliquo
j i>fdetae ta numcrus °l l “ aliquoticns fumptus & replicatus efficit fuum totum prxcife.hin*

, iufmodi partes liint medietas tcitia quarta quinta &alixfinefinc. Secunda propries
tas pariter paris numeri cft.q» omnis numerus pariter par cft: numerus diminutus.
Ifrariil pdi P r0 cuius declaratione fupponitur vna diuifio accidentalis numeri paris qux e ft non
• tio iripici. in fpecies:fed fit per partes in modo quae cxtrinfccc cognotant fuper diuiium. Numc
rorum enim parium alius cft pcrfcftus:alius fuperfluus : alius diminntus.quonl difs*
finitiones ex conftitntionc totius per partcsaliquotasaccipicndx iunt. Dicitur cui*
EfecP par numerus perfeftus ille par quem adcqnantprxdfc eumqs conftituunt ftix partes alis
quotx fimul iunftx vel ad feipfas additx:talis cft fenarius cuius partes aliquotx vnus
Supcrtlu* rr j a pj occif e fex conftituunt. Superfluus numerus cft par cuius omnes partes alis

r ,Jr ' quotx ipfum exccduntmiaiorcmqj fummam fuo toto efficiunt. talis cft duodenarius

£>, minui* cuius partes aliquotx.i. 2.5.4. tf.Gonftituunt.i6. Numerus diminutus cftpar cu/us
par. omnes partes aliquotxnon adequant fummam totius:fed ab ea deficiunt : minorem

qj numerum cotiitituunr.talis cft oftonarius numerus cuius omnes partes aliquotx.
1. 2.4.fimuladditx feptenarium prxcifc conftituunt. Eft ergo fecunda proprietas nu
meri pariter paris cp omnes tales numeri funt pares dimimiti.vcrumfamcn partes es
ins aliquotx fola vnitate a fuo toto deficiunt. & hoc verum cft in omni numero paris
3\pp:(ctae ter pari vtpatet induftiuc.Tertia proprictas.omnis numerus pariter par ex corrcfs»
podentibus (ibi mutuo in eo ptib? aliquotis procrcatur.Jcuius explicatio hxc eft.q? p
crearis numeris pariter paribus quotquot voluerimus per duplationem continuam
ab vnitate caq; connumerata :faj numeri mediales qj alii xqualitcr a medialibus vtri
q?diftantcs fefe mutuo denominant rcfpcftu fotius:qui cft maximus talium numero
rum.vt fi accipias per ordinem fex numeros pariter parcs.vr hic. 1.2. 4. 8. 16 Jt.inuc
nics ibi duos mediales. fcilicct. 4. &. 8. xqualitcr diftantesabcxrremis connumerata
in eis vt diximus vnitate .nam ante illos medios prxccdunrdno mimcrfttotidcniqjle
quunfnrpoftcos.crgoiftiduomcdialcsfcimmiodenonrinantquotx partes fiuttria
ginta duorum. nam quaternarius cftoftaua pars: oftonarius vero quarta huius numc
ri.iimiIitcr.2.8(.id.fcmHtuodcnom/nantJcfpcftuciHfdc fiimnix.52.cniusbinari?c
decima fexta ps & decimus fextus cft medietas. tandem, i.&i.j 2. quxfut extrema pras
diftxordmarionisfcfcniHtuodcnoiaiitriiavnitascft trigefima fcfta ps illi? numeri
51. eft lcmcl.32. Si aut tales numeri pariter pares fuiflcnttm quinqj:quom.id.fiw
iftet vItiiniis:non inucnircs in cis nifi vnum medialem .fcilicct. 4. qui fciplum deno

P ars prima de n vmeris

mfnarct refpeftu vltimi.cft enim eius quarta pars. & duo collaterales cius. 2. & g.fcfe
dcnoniinarent.nambinariaseftoftaua pars:& oftonarius medietas decimi fcxtfide
nicpynitas eft decima fextapars eiufdem numeri: qui ab vnitate denominatur femel
decem & fex.cadem ratio cflct in omni alia difpofitione pariter parium. quia fi difs
ponantur fub numero pari:fcniper funtduomcdiales.fi autem fub numero impari:
cr/tin cis tantum vnus medialis. Quarta proprietas numeri pariter paris eit.cp
omnium numerorum pariter parium continua feriedifpolltorufiuecorum fit vnus
tm medialis fiue duo mediales: femp qd producitur ex multiplicatione vnius extre
mi per alterum: idem rcfiiltat cxduftu mediorn & collateraliil numero rnm cqtfalitcr
diftantium a rnediis.vt patet in exemplis tertis proprietatis prxcedcnris. na quicun
tp numeri feipfos denominabant refpeftu vltinririidem fi adiuuicem multiplicentur'
eandem fumma producent.nam in primo exem pio fine dicantur quatuor in ofto: fis»
ue duo in. 1 6. fiue vnus in. j 2. eadem fumma triginta duorum refultabit. & in feexido
exemplo multiplicatoquaternario per feipfum fiue. 2. per. 8* fiue. 1. per. 1 6. femper
idem proucnit fcilicet decimus fextus.

£apntquaitum t>e numero pariter impari

et proprietatibus cius,

■ Sriter tmpar numerus eft qui in Puo cqualia

diuidipoteft:fcd qualibet cius medietas diuifionem per cqualia non ade
mittit.huiufmodi funt tales numeri. 2. 6. 10. 14.& alii plurcs.vndc patet
Jratioquarcdicanturparitcrimpares.quia licetipfiiintnunieriparcs: prxV
ma tamen dinifionc veniunt ad imparcs.patet etiam genera tiocontfnua talium tuis»
merorum per duplationem Angulorum imparium etiam conumerata vnitate loco i
paris numeri. Hui? etiam fpccici quattuor funt proprietates licet valde diuerix & op
pofitx proprietatibus prcecedcntis. Prima proprietas eft q> cuiuflibet partis dus alis»
quotx quantitas &dcnominatio differunt quantum ad paritatem ^imparitatem. ita
q> fi pars illa fit numerus par habet denominatione Iparc refpeftu fui toti?.& fipscft
numerus impar: dcnominatiocius cftpar.vtin hocnumcro.i8.noucm eft impar nu
merus fed cius medietas. & fex eft numerus par fcd cius tertia. & fic de aliis fi militer.
Secunda proprietas, quilibet duo proximi pariter impares diftant a fcipfis quater
nisvnitatibus:totidemq> numeris interfcalaritcr dimiffis.vtpatet icxemplo fuperio
risdifFinitionis:Huiusaiitem proprictatisratiocft clariiTima : quia numeri pariter
imparesexnaturalifericimpariumgcniti funt. quilibet autem impar diftata fuo
proximo impari per duas vnitates: quibus duplatis vt fiantpariter impares: dtiplan
tur etia corii diftnntix:crgo diftat per quatuor vnitates. vndefitvtfequcs pariterijn
parquinto loco fituctur a proximo prx cedente pariter impari, vt patetin exemplis
fupra diftis.Tcrtia proprietas eft. difpofitis naturali ordinepariter imparibus quote
quot voluerimus incipiendo a binario: fi' in tali fcricvnus tantum fuerit mcdialisrille
duorum pariter imparium altrinfecus ab eo xqualiter diftantium erit medietas cone
iunftorum.vt acceptis his quincp numeris. 2. 6 . io. 14. 18. medialis vnicus eft
dcnarins:cuitis collaterales prxdifti. 6. & 14. vel 2. & 18. vigenarium conft/s
tnuiit:cuins medietas eft dcnarius.Quarta proprietas.fi in naturali ferie pariter ime
parium fuerint duo mcdialcsrilli fiinul iunfti adequantur duobus collateralibus ex
vtraq? parte abeis xqualiter diftantibtis fiue mediate fiue immediate hinc & inde ias
centibus.vtfiaccipiamus fex tales numeros, vt hic. 2 t 6 . 10. 14, 18- 22. duo

b.iu'

4.,ppifc.

Tftatftcr
Impar
quid Iit.

«Qaatfuo*
cfu» ,p£>:|e
tatee .
i.^pjicias

...ppiicta»

5.,pp«eta®

clue 4>p:le
tat.o.

PRIMI LIBRI ARITHMETICAE

mediales erunt 10.& 14. qui fimuliunfti complent. 24. candemfpfumnu per*
fident collaterales, t8.ctiam 2.&.22.Harii proprietarii demonftration.es expri
mo & ieptimo libr» arithmetices Iordani requirenda; funt certiflimx.

Caput quintum de numero impariter pari et

cius prorpictatibtts.

0$p ariter par numerus cft par cuius One

jmcdictatcs per cqualia partitionem admittunt : fed non procedunt
vfcpadvnitatemnmocitra eam deficit partitioper xqualia in tali nit
Wro.vt. 12.20. 24.8fc.vndc patet ratio quare tnh'9 numerus dicitur
ipariter par.qtiia fdlicet no vniformiter fs difformit' & ipariter dfni
ditur per medietates modo pares modo ip3rcs. Generatur autem nu
meir huius fpcciei ex multiplicatione permixtanumerorum pariter parium cum nu
meris imparibus .Si enim fiant dux feries numerorum altera fuperior cx imparibus
a ternario initium fumentibus & nullo impari dirni flo:altcra inferior ex pariter parte
bus numeris a quaternario incipientibus continucqj procedentibus: quilibet fttpcrte
or numerus in quemlibet inferiorem duftus:uumfcrum impariter parem producit,
vt clare demonftrat hxc forma.

Huius fpcciei numerorum itidc quattuor fit t 5 f 7 j> n 15
proprietates ex feptimo arithmeex iordani

dcmonftrandx. Prima eft.omnis numerus is E?!— —}.• * - 1 ~

pariter par aliquas cius partes aliquofas habj S-J j

4 j

_ 64 o_ j

.224 1 448 \~8 96 I

S6 I 11 j 144 j 238 1 f7 6_ I Hf t 1
44 1 88_| J7tf 1 5t2 1 7° + I 140 81
U 1 I Q 4 1 2 o 3 1 416 1 Syi 1 1 6 6 4 I

denominatione & quantitate fua confimiles:
aliquas verodifFcretcs 8fdiffimilcs. vt ille nu

mcrus.24,habcthaspartcs.i.2.5.4.d,8, 32.

quarum iftx. 2,4. 6 , 12. & re & denominatio Longitudo,

onc funt. pares. nam binarius cft duodecima pars, eius, duodecim medietas cft.qtwtiis
rocftfextapars.8£ fex cft quarta pars.fcdiftx.i. 5 .8 .difeordanta fuis denominatio*
nibus ,quia vnitas cft vigefima quarta pars.tenarius eft ofbwa.oftonarins vero tertia
cmfdcm numeri.Ex hac proprietate & fequentibus aperti fllrnc conftabit q>hxc fpe*
cies numeri paris^licet ordine pofita fit vltima^cft tamen media per participatione
rntcrduasprxcedcntcsfpecicsfibimuiccmaducrfas8(diflenticntes:vtcaru proprie

i. ppiictae tatcsoftcndcrunt.Secunda proprietas cft.omnisjnxmeriw impariter par cft medio*

critcr dinifibilis ln partes fcilicct minus qj pariter par 8f plufq; pariter impar. Huius
ratio cx diffinitione ftipcriore cft qjmanifcftiffima.quia impariter par nuineuis no
vnicafcd multiplici partitione diuiditur:nectamen adeo vt diuidi poiTit vfcjj ad vnte
tatem .Tertia proprietas. cp in fupradifta numerorum impariter parium formula q*

j. ^pjfctaa libet feries fecundum longitudinem figurx accepta procedit duplando habet quar

tam proprietatem numeri pariter paris fiuc accipias in ca duos mediales numeros
ffuevnicum. femperenim multiplicatio medii vel mediorum adequatur multipli*
cationi collateralium & extremorum :qnia eadem fumma producitur vtrobiip vt pa

4..PP :ie. tet exarte multiplicandi in algorifmo.Quarta proprietas, quxlibct feries formulae
fupra pofite fecundum latitudinem cius procedit per xquales diftantias & obferuat
quartam proprietatem impariter paris.nam per artem additionis algorifticx vnus
medialis in ea eft medietas duorum collateralium additoru5.8( duo mediales adequi
tur duobus collateralibus «que diftantibusabcis fi fimul addantur.

PA RS PRIMA DBNVMERIS.

Caput fertum t>e numero impari et fpecte^

bus IU proprietatibus luis.

Sgpar numerue i reppcttta OtfFtmttoe :eft

ille qui i duo squali. a minime poteft diuidi.vt. i. 5. 5. 7. 9. Sic. Eius
proprietates praecipue tres limt: cx feptimo libro iordani demon=
ftraridx. Prima, quilibet numerus impar in duo partitus vfvna pars
tem habeat parem & alteram imparenuaepartitionis membra inca
qualia e(Tc neceffe eft.Nam fi quinarium in duas tantum partes diui
ieris hex iols erunt. i.&. 4. vel. i.Si. 5.in quibus manifefte cft imparitati pariras af<»
fociata.&ficdealiis numeris imparibus quibufcun(}3.Sccunda proprictas.fi numer?
impar imparem niultiplicettlolum producitur numerus impar.patctinduftiue nam
terquinq; ftmt quindecim. & quinquies feptem.j 5. & fle de aliis. Tertia proprietas.
imp3r numerus fi parem multiplicetfempcrnafciturindcpar. Hxc proprietas con=
ucrtibilitcrfe habet cum tertia proprietate numeri paris fuperiuspofita: & ideoeade
cft veritas &ra tio vtriufqs. Numeri imparis tresfunt fpccics immediate quxfunt.pri
mus. fecundus. 8C ad altcru primus.Numerus impar prim? cft qui fola vnirate pte ali
quota metiri pot.vt.j.^.y.idemq^ incopofitus nomi natur. & ratio vtriufqj denomia
tioniscfteadcinrquia numeri imparis nulla poteftefie pars aliquota prxtcrvnitatcj
nifiilh etiam fitmimenjsimpar.llle ergo numerus impar qui nullum alium impas*
rcmprxtcrvnitatcm habet partem aliquotamrprimus dici debetiquia ante fc nullum
habetnumerum mcufurantem. dicitur etiam incopof/tusrquia cx aliis numeris non
componiturrfed exfolia vnitatibus.Impar fecundus cft quialiam vel aliasprxtcr vn i
tatem habet partes aliquotas.vt. 9. if. 2 1 .merito ergo idem fecundus Si compofirus
nominatur: quia prxceduntipfum alii numeri coponcnteseum.Hartim duarum fpe
cicrum imparitatis quatuor a ffign ari poflunt proprietates :quani dux priores cx ter
tiolibro:dux vero pofterioresex fcptimolibro iordani veniunt demonftrandx. Pri
rua proprietas eft omnis numerus primus in fc etiam cft primus ad omnem alium mt
merum quem non mcnfurat.vt. 7.ad. 9» & ad. 15.1& fiede aliis. Secunda proprietas,
omnis numerus fecundus & conipofltus ab aliquo primo Si incompofito ncccflario
mcnfuratur.vt.9.atcrnario.&.i5.a quinario.&.ai.a feptenario & fiede aliis. Tertia
proprictas.omnis numerus primus aliquis imparium eft taliter difpofitorfi qui poli:
nullum imparem totus venerit quotus aliquis impariu 5 fuerit in naturali icric ab vni
tatc.Quarta proprictas.omnis numerus fecundus & copofitus poftaliquc imparmj
naturali ordine difpofitorn totus eflc cognofcitur quotus ille impar erat ab vnitate.
Hex dux proprietates fimul declarari potcrunt:dataartcimicnicndi per ordinem nu
meros prxdiftaril dunril fpccicrum imparitatis. quxtaliscft.Difponantura ternario
incipiendo omncsnumcriiniparcsinfericnaturali.vt.j.5.7.9.ii.ij.i5.i7.i9.2i*25
z >.27.2 9.tunc clarum eft cp ternarius cft impar primus Si incopofitus ante que nnU
Ius impar eft prxtcr vilitatem. Si ergo poft ternariu tot numeros accipiamus in prav
diftaferierquotipfcternariuscontinct vnitates conti micproccdcndo:inucnicm?om
nes numeros fecundos 3 ternario mcnfuratos.vt poft ternarium acceptis. 5.7. 9. ter*
tius iftorum iioucnarius cft fecundus &copofi*'is a ternario parte aliquota cius.Itcm
poft noucnarmm tribusacccptis.vt.il. ij.i^.tflviusiftorii quindenarius cftfccundus
copofitus a ternario parte aliquota cius.fimiUtcr poft quindenariu iterum li ib? ac
ceptis vM 7. 1 9. 21 .tertius iftorii cft fecundus Si copofitus a ternario. & fic continue ,p

b.iiii.

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PRIM ILTBRI ARI/THMETICAE

cedendo per illam feriem intieniemus infinitos fecundos & copofitos a ternario me
iiiratos.Similis ratio cft habenda poft quinarium ad inueniendum numeros fccudo»
•jpernulna & copofitos ab eo.f.acccpris poft quinarium quincp numeris cotinuc: quia tot ipccd
rium. tinetvnitates.vtacceptis.7.9.ii.i3.i5.vltimusiftorucft fecundus & copoftisa qui
nario parte aliquota cius,# iterum poft illum tialios quincpaccipiamus.vt.17.19.21
23.25.vltimusiftorn cft fecundus & copofitus a quinario. ficconfcqncnter procede
do inucniemus omnes allos.Eadem ratio eft denumero feptenario continue acccp*
ip>er(Vpte tis fepteni numeris poft ipfum:# de noucnario acceptis nonem ;&fic de aliis omnib?
narium. p a ri btis per ordinem. Ex quo proceffu liquido conftat qui numeri impares indi*

•jmicntfo ferie flnt dc prima & qui dc fecunda fpccic imparium fupradictis.omncs enim im

taitu mime paresinnenti per faltu ternarii aut quinarii aut feptenarii #flcde aliistfuntfccudi 8i
renum copofiti.qui vero per nullum prxcedentium numerorum faltus faciendo inucniri po
tucrunt;iunt primi & in coni politi, vt pater in his duabus fetiebus aut lineis.

Primi Sincompoflti. 5. 5. 7.11. 13.17. 19- 25. 29- 31.37. 41. 43. 47.

Secundi# compotiti. 9. 15-21.25. 27.35 35.59. 45* 49- 51- 55- 63. 81.

E t fi ex hae fecunda feric vellet quis plurcs alias duudcreiquaru prima contineret nn
meros m en furandos per temariunr.fecunda menfurandos per quinarium: tertia cos
quos menfurat feptenarius&ficdealiistinucniet hanclcgem in eis obfcruataiuiolabi
©bfcri’3ila lirer- q; denominationes cuiuflibct impfitisrcfpcfhifux ferici numeroru ab eo copo*
rtguia. fi torum variantur cotinuc fecitndu naturale ieriem omnium numeroru imparin fu*

periusdefcriptam.itacp rcfpeftu primi in fuaferiequilibet impar eft tertia pars. 8(fc*
eundi eft quinta pars. tertii cftfcptima:# ficconfcqucntcr in omnibus lineis.
Compotiti a ternario. 9.15. 21. 27.55 39.45.51. 57. 65- 69.75.

Compotiti a quinario. 15. 25.35.45.55. 65. 75.85. 95- 105.

Compotiti a .feptenario. 21. 35, 4 9. 65. 77. 9i. 105. 11 9. 135. >47.

Ex his facilcintclliguntur duae proprietates harum fpederu imparitatis vltimo poti*
txjfupi?.na oisnumcrus fecundus &cdpofitits abaliqnoimpari: totus cft in fua ferie
quotus erat ille impar coponcns/pfum in ordine imparili vel alius fcqucns cum natu
rali ordine, vtnouenarius totus cft inter iccudos & copofitos a ternario quot? erat ter
nari?in naturali feric impariumtquia primus biquindeflarius totus quotus quinarius
quia fecudus.&C vigcfim?primus cftcoru tertius fient feptenarius inter impares. Eadc
ratio cft in omnibus aliis. Numerus aures primus # incompofltus hac lege non aftri
gitur.qnia non dicitur per relatione ad aliquem alium numerum :cx quo a nullo com
THiimcrua ponitur fcd a fola vnitatc.hxcdc primis duabus fpccicbus numeroru imparium. Nn
raiwdJ 1 fit ,nerus a d alterum primus cft impar qui fecundum fc cft fecundus & compotit?: fcd ad
1 ' alterum coparanis fola cil illo cducnitvnitate parte aliquota qua vtcrq; comunitcr mc

furatur. vt n oucnarius ad vigefinut quintii. & ad.12 9. &c. Generantur aut flue lucniii*
turomnesnumeri huius tertix fpccic per continua multiplicatione numerorii ipariil
primx fpcdetifi eoru quilibj ducatur in fc ipm.vt in hac feric cft quanianifcftiirimu
3. 5. 7. n* 13. 17. Na mcx tali muitiplicatioc quilibet numerus produfttts
9.25.49.121.169.289. cftfecudus# copofitus per difF/nltione:cuius pars aliquo
ta prxtcr vilitatem cft ille impar cxcuius multiplicatione producitur & nullus alius,
«terii tfml , §‘ Clir ft u ^*tict duo tales ad inuicc coparatf in nulla parte aliquota prxtervnitatc con
Mie ptopti cotdant. Huius fpccici dux funt proprietates. Prima cft .omnes numeri ad fcipfos
eintec. primi Anguli in fcdufti numeros etiam primosad fcipfos producunt. vt.8i.quicx
multiplicatione noucnani per fcipm produritur.-Iicet fit fccildus & copofit? fcorfiun
acccptus:tficoparatusad.625.(^qui ex vigefimoquintoin fcdnfto naidtnf} cft pri*
mus #incqmpotitus.qula in nulla cumco parte aliquota conucnit cxccpta vnitate»

PARSPRIMADENVMERIS.

Secilda proprfetas.omnis numerus minor qui ad maiore cft primus: fia maiore Act leta»

trahatur quoties poterit: &eo q reliquetur quoties pot a minore ditraftoratqjhoc pas
(io cotmuedetraftis refiduis a fuis prxccdetibus,pccdcndo:tande fola reliqturvnitas*
tp fi aliqs ali?nuer?abvnitate remaferitjtalcs numerino fut adimiice primi, vt fi. 9. de
matur cftiens poterit a. zy.rcmanct^.q^refiduovltcripdetrafto a nouenario quoties
poterit: remanent duo. qb? iter ii fubtraftis a feptenario quoties fuerit poifibile:rema
nec fola vnitas. non ficaute fe habebit. 9.ad. 21. quia ante vnifate remanebit ternari?.
ergo duo primi mleri fut ad ieipos primi & iucopofiti ptinctes ad tertia fpccie ipariu
duo vero vlcimi no poiTunt ad illa pcrtinere:fed tanta remanet fub fecuda fpccic im
parili. prxdiftx dux proprietates ex tertio libro iordani vcniutdcmoiirandx, Quia IfiKfdfobe
vero fnpcrius de numeris parib?perfeftis fuperflnis di diminutis mentione fecim?: G

libet hic in calce huius traftat?eoruinuentioes &pprietares detcrmmarc.Numcri igi
tnr perfefti duabus regulis inueniutur.prima cft q> in quolibet limite numerorii eft coifieuere
tantuvmisperfeftus.Idco numeri perfefti quia rari & prxdofi fimilitudine gerunt s uIe>
moraliii virtutii:dc quibus ariftotclcs dicit in fine fcciidi ethicoru q> virtus cft rara &
prxdofa.Vocamusautin propofito limites mimcroru eos quos in deferiptionib? al
gorifticis locos feribedi numeros vocare folent.vt in prinio loco vnitates.i.oes mime
ros vfqj ad noue /nclufiue.in feciido loco denas qnx etia funtnoue.in tertio cctcnas.
in quarto millenas. & fiede aliis qux oes denominationes vfqj ad noue prxcife fe exs»
tendunt. Eftcrgofenfus hui? prinix regulx cp infra dccecft vnus folusnumcrus pfes
ftns.& fupra dece fed infra centii etia vnicu perfeftii rcppeiinius.dcindc fupra cctuy
fcd infra mille cft tantu vnus perfeft?.& ficconfequenter per oes alioslimites numes*
rorii idc reperinnis.Scd quia ifta regula prima cft fatis cofufa addamus fecunda
gis diftinfta.q> omnis numerus perfeftiis ex cotinuaaggregationc pariter parili nue* 2,rc £u!a
merorii naturali ferie ab vilitate difpofitoru: & ex niultiplicatioe iparis primi inde re
fultantis per vltimu pariter parili fimul additorii in falli biliter &■ conrinuegeneratur.
vtdifpofitis hoc ordine pariter paribus, i.z. 4. 8 . 16 .j2.<S4.&c.fiaddamtispr/nn1
fecundo rcfultat ternarius: qui cuy fitnum erus primus&incompofitus :fimult/plice
tur per binarium qui erat vItimusadditorum:refultat fenarius numerus perfeftus.de
inde fi duobus primis; addatur tertius pariter par fcilicet quaternaria .refultat fepte*
narius:qui cum fit impar primus 8 C incompofitus: debet multiplicari per quatere
narium vltimum additoru: & producetur inde. 28 .qui cft numerus perfeftiis. poftea
addatur oftonarius ad prxcedentes:& refultant.i 5. qui cum non fit impar primus: in.
cficax 8t inutilis cft adgencrationem numeri pcrfcfti.dimittatur ergo & no multipli
cctur per oftonarium vltimu additoru:fcd procedatur addendo pariter pares fequen
tcs. & vbi ex eorum additione refultauerit numerus impar primus:ille cft multiplica
dus per vltimum pariter parium additorum, vt generetur inde numerus perfeftiis.
quorum exemplar & refta feries eft hxc.

Impares collcfti. 5. 7. 15. 51. dj. 127. 255 511.

Pariterparcs 1. 2. 4. 8. id. 52. <14. 128. 2 <;6

Pe rfefti numeri, o. 6 . 28. o. 4 9<*. o. 8128. o. 150816 0n{ .

Mumcrorupcrfcftorum hxc eft notabilis propricta e. cp oes numeri pfcftiferiarim 8f «aepertee
naturali ordine difpofiti altcrnatim fenario Softonario numeris terminantur fem* tojum,
per. Numeri igitur perfefti licet pares fint:in ter alios fui generis obtinuerunt princis
patii iaudcfcp promcruerunt:ci1 alii pares oes dicatur apud piftagoricos infamari : &
maxime pariter pares propter fua diuifibilitatc.na perfefti numeri a radice iparitati s
procrcantaroes:qmagnaslaudcshabctinncgocioarithnietico.Imicrioai 1 rimmcs
roru pariu fupcrfluoru Sdiminutoru facilis cft. quia vtfuperius dixim?ocs numeri

PRIMILIBRI ARITHMETICAE

pariter pares funt diminutfcergoreliqui ocs pares excepti spfcftis criit numeri ftiper
©lie^pile flui. Quorxiduorumodoru proprietates ex ieptimo libro iordanidcmonftrandxhx
tateaailctfi duce funt.Prima ois numer? diminutus a fola vnitatcautab alio numero diminuto
i*«ppucta0 p tc a i,-q Uota e j us mc furatur. Hxc cx prima pprietate patiter paris cft q; manifeftiffis
i xipilctae nia *Sc 5 a jpprietas.ois nunierusabxxdans aut fupcrfluus folu numeru abundante mc*
furare pottanqj pars aliquotaeius.patctindufthie.quia.u.cftpsaliquota iftorix.24,
36 .6 o . qui oes funt fuperflui .Haftenus igitur dc numero & fpccieb? luis ta fubalter^
gpi[og”f« n > q> fpecialilTimisrq ocs termini funt dc pdicameto quatitatis;& dc-pprictatib? fiuc
pjadictotfi generis fiue fpccierix oim: hxc nos dixi fle iufficiat p primo traftatu hui? noftri primi
libri introduftiois aritbnicticx.Qux quatas comoditatcs afferat in maiorib? fcietiis
phifica:methaphifica:morali fcietia:&mcdicina:atcptheoIogia:Iongu eflet enarrare
TJbictago. & a [tioris egens fpeculatois.Nunc aut hoc vnii tacere no volumus: q> diuinus ille p ia
cft tagoras tota philofophia numeroru rationib? intcxuit:attribucs vnitate primo oim
-jp-arce mt reni principio.f.deo.Numerosaut oes creaturis adaptauit.vt ariftotclcs narrat ili pri
meri cojru mo libro mcthaphificorii.fed pares numeros ppter corvi diuifibilxtatc creaturis cors»
pubiifa xuptibilibs» indidit : impares vero creaturis fpiialibus & incorruptibilibus . Hinc pro

tu' meri ico j ccffif illa diftinftio duonl pdicamcntorii apud piftagora.f.rcru pcrfeftaru 8 1 iperfes
rupiibiita. ffcmx.in quarii coordinatioml prima impare pofuitii feciida vero pare. Et quia mate
Binarius f j a rcr d naturaliii cftoim imperfeftiffima creatura. &caufa ois corruptionis & varie#
«ia er s tatisinrebusmudi:idcoeiattribuitprimu &iperfcftifTimuoim numeroru binariii.

cuius mente piato explicans vocauit materia magtiu & paruii: vt ariftotclcs tradit in
Quaterna P r * mo phificoru. Elementis aut piftagoras attribuit quaterna rimquia funt prima
nus ckm? inipcrfcftilTima 015 corporxv naturaliix:8£ fic cofcqucter pcedebat per alias fpecies nu
ia. meroru pariti & rerii naturaliii. Poft quas ad corpora cclelfia veniesquia funticorrup
S[™ r ‘ u * tibilia:atribuebateis numeros iparcs:quia fphera qualibet planetarii trifida in trcfqj
orbes diuifam poucbat.Qiiavia poftea fecut?cft ptholcnicus pones orbes cccctricos
planetarii. & tande fup iepte fpheras planetarii tres aliasfphcras mobiles cocciTit Pi
fmparpii ftagoras.vt Ariftotclcs narrat in primo mcthaphificoru. VItimo venies ad fubftatias
mus micili /pu.iJcs fepa raras dc cis per numeros (pares primos; 8iinc6pofitos ratiocinabatur po
fT/auL* ncns cas ll, bftatias fimpliccs a fola vnitate q deus cft dcpcdcntcs]& niefurabilcs. Huc

modii philofophadi diuiniffimus Plato poftea infecut? cft fatis copiofc & mirabilif.
2 rlftote. Deinde ariftotclcs ingcniofiifinius hac via fibi placuifle tcftat? cft:cii in octauo libro
fuoru mcthaphificoru dixerit $ centix rerfifunt ficut nHmcti-& alibi pluries dchoc.
theologi. Sacti etia doctores ecclcfix Auguftinus.Hicronymus.Ghryfoftom?.Origcncs:&aIu
plurcs in fuis opufculis multaadfidc & mores ptinctia ronibus numeralibus iufflcie
tiirimc cxplicariit.atq; in comctationibusfmsfupratcxtu fnerx biblixnimis poderat.
ea q cerris numerorii fpcciebusf piis fetiis determinari voluit a pphetis Siapoftolis. .
ZWoyfirs, vtvidcrc'capd moyfcn in deferiptoe tabernaculi: &apd czcchiclcimcfuratioc tcpli.
Jojnnw. ‘ Cll ‘ ^ crc ffniil/u verba pofuirloanes in apocalipfi. Vndcno fine oim rhcologorii mira
culo legitur illud Gcnc.i.vbi in fcciido dic crcatiois 116 dicitiir:viditdc?qjcctbonu:
cutfihocvcrbuinulloaliomdicru pterm itatur, quia vtaiutinhoc dcfignauitlpus fa
ctus numeri binarii ipcrfectionc:qiii cii fitprimus rcceflus ab vnitate : peti primorn
parentu vclmaloruangclorii figura ha bct.Scnarii quoqjnumcri pfcctione Auguft.
Senarius * U P Gcncfim anotauit:ronc reddens quare i fex diebus pfccti funt cceli & terra bi om
srcationfo nisornat? eoriitotaqs mundi pfcctioillodicru numero edita cft.NoIolum ante fnpra
dicti philofophi & theologi p numcros& eorum pprictafcs dc rebus humanis Sdiui
nis ratiocinatur:fcd etiam p numcroriun habitudines quas vocat pportioacsidc qui
bus vtiamdifcramusopuj cft.

PARS SECVNDA DE PROPORTIONIBVS.

Zramtm fecundus De proportione etpio?

portionum fpcciebus ac proprictatib?.cuiusfunt capita fepte.Prinm
caput dcpportione multiplici ftfpecicb? &,pprietatib?cius.

Oftqjea quxad quclibet numeru per fe fumptti pertinebat diffufius ptra
fhiuitnus:rcliquu eftvtmmieroril ad numeros habitudinesfcu pportto#
nes inquiramusiavocabuli diffinitioe exordiu noftrxnarratioisaufpican _ .

tcs. Proportio numeralis cft numeri ad numeru certa habitudo, vel clari? numeralis
cft numerus ad numerii aliqualiter ic habes in quatitatcfua.’vt.2.ad. 4. & ecotra cft
,pportio:8ific dealiis.Huius generis dux aflignari pofiunt pprictates. Prima cft-cp ^ "feta t' a
ols .pportio numeralis cft pportioronalis-pbatur ex difFinitioe ronalis ^portioisq ^'p,( 4 ,g 6
cit hxc. Proportio ronalis cft habitudo duaru quantitatu ad iuicc comunicantiu in
parte aliquota q comunitcr vtricp illaru coucnit Iicct 116 fub cade denoiatione. coftat
aut q> ois numer? cuilibet alteri numero co inunicat in parte aliquota admin? in vni<
tate:qois numeti cft pars aliquota:oifq3 numerus advmtatc cftpportio mtiltiplcxrer
goois pportio numeri ad numera cft ronalis.Ex hac prima .pprictatc fcquitur aliafit ..^pjfetaa
fccuda.q- no oim pportionu modi aut fpccics poiTunt in numeris repperiri :,pbattir
quia fimtdabilcsaliqfpcdcspportionum q dicatur irrationales: quales funtquantita
tes in nulla parte aliquota adfnuicccomunicatcstvt geomerrx ,pbat de duab? lineis i
quadratoq iunt diameteir ct cofta:& ctia dc quibufdaaliis lineis & fuper fi cieb?. nulli
aut numeri funtadinuicc incoinunicates: vt .pbatii cft.ergo taliu pportionus modos
vel ipecicsmumeroru natura no partitur. Diuiditur aut,pportionucraIis in duas fpes ^topcitfo
imediateq iunt cqnaIitas:&inequaIitas.Equalitascftnucrus taliter fe habes ad ali 115 «fei>uo gc
numern q> ctl no exccditncqj ab co exceditur. vt.3.ad.3.&.8.ad.S .Inequalitas vero c ” tr9,
numerus ad aliuficfe habes q>illu excedit vclab eo cxceditur.vt.tf.ad. 5. vel.4.ad. 8. Aquali*
Patet ergo q> in arithmetico negotio fecildu veriore philofophia noia abftrafta & co tat.
creta finonima funt: ideqj penitus fignificarivt equa litas &equale: inequalitas & in#'
equale.Harii duaru fpccicru fimnl tres ponim? ppriefates: ex nono libro iordani de Ipiopiicra
moftrandas.Prima cft epequalitas cft oxsinequalitatis principii! origo &mater.Secu
da.cx prima fcquitur q> oislcqualitas cx equalitate nafeitur. Tertia. <$ ois iequalitas
cft refolubilis vftp ad cqualitate.Haru .pbationes in vltimisduob? capitulis hui9 tra 5M>p:km3
ftatns erut clariiiimc.Equalitasautin alias fpes vlteriPno diuiditur:fcd cft fpes atho
ma aut fpccialiflima:quia talis numeroru habitudo eftiuariabilis & i indiuifibili cofi
ftcns.Inequalitatis vero duxpbatur fpccics immediat e cx diffinitioe eius difiiiqtiua. JntquoU
hx funt maior & minor iequalitas. Inequalitas maior eft numerus excedes altcru nu#
ineru ad que coparatur in fua habitudine vt.d.ad.5. Minor inequalitas cft numeru sq 2P a { ol f„ e
ab, alio exceditur ad que rcfcrtur:vt.4.ad.8.Horu generii fubaltcnroiu cof/inilfs cft ftuaiima.
diuifioiu fuas fpes:quot cm modis contingitvnu numeru cxccdcrc allii: tot modis co “Morine
tingit q?vnus mlcrus abalio cxccdatur.ideototidc funt fpes pciic minoris quot maio
ris incqualitatiscifdccpvocabiilisfcrediftinftc.Maioris ergo inequalitatis qiiicp litnt zp a { o: ( t . f
fpes pximx.trcs primx fimpliccs vt mnltiplcx.fupcrparticiilarisbi fuper parties.duc equaiitaiie
vltimx funt copofitxcx tribus primis.f.multiplcxiupcrparticnlaris: multiplex fu
pcrpnrtics.crgo fimiliter minoris icqualitatis crut quincp fpes iftx. iubn, ultiplex. fub
ftipcrpart/cularis.fubfnpcr parties, fubmultiplfx fuperparticnlaris. & fubmuhiplcx
fupcrpartics.Erpportionalitcr diffiniendx ficutfpcs maioris & minoris iequalitatis
attp cifdc cxcpliscouerfisdecIaradx.Multiplcxigfturpportioeftnumcrusmaiorf/c
excedes fuu minore q> eu fotu peife pluries cotinet.yt.u.ad^.vbi maior cotinct mi*
nore totfi quater nihil plus.8( ieode cxeploc^parado.j.ad.u.cft pportio fubnuil ' ld

UMoprfrta

ccacfus.j.'

I.^)pl(Ct39

2.,pp:feta»

5.^pi(ct3S

ZDultfpU

cl9 (pia in

finite

©upla.

Cripla.

Quadra

pia.

feneratio

carum.

©uejjdfe
io:fi 4>p:ie
WKs.
«•^ptictas

PRIMItlBRlARIfTHMETICAE

tiplex:qua minor numer? totus pluries cxceditura maiorecotineturc^ in illo.MultA
plicis pportionisicomunitres notatur pprictatcs ad nonu Ubru arithmetices fordae
ni refcredx.Prim.i eft qj multiplex pportio cxterisxequalitatib? cftatiquior &origi*
nc prior .hxc declarabitur infra in cap.‘d. huius traftatus qd erit de origine pportfcw
uu.Secudaipprietas ols pportio multiplex ocfqj multiplicia fpes & modi cx cotinua
ferie numerord ad vnitate relata facile iueuiut ur. haec cx pri? diftis i hoc capitulo cla
refcit.diftu eil cm q> ois numerus ad vnitate eft multiplex: fub varia tfi fpecie multipli
catis.Tertiapprietasqj oispportio multiplex habet alia mnltipliccfc maiore, vt du*
pla’qiiadrnpla.trlpla nonocupla:8i fic de aliis.Multiplicis pportiois infinita: funt fpc
cies fpecialiifimaetot.f.quotiunt fpes numeroru a qbusdenoiantur.vt dupla: tripla:
quadrupla 8ic.iineftatu.DupIa proportio eft numer? maior cotincs totii minore ad
que c6paraturbisprxdfcvt,6*ad.3.&.8.ad.4.&c.Tripla proportio cftcumaior nti
merus minore ter peife cotinetvt. 9.ad.5.&.i2.ad. 4 .&C. Quadrupla portio cft.cuma
iornumer? m inore cotinct totu peife quater.vt.8.ad.2,&!.i2.ad.5.&c.8( fecudn hanc
proportione definiretur oes alia: fpeciesJproportioismultiplids.Gcncraturant flue
I ucmiitur numeri taMproportionncx naturali ferie numcroru.na quilibet numer?
advn itate coparatus cotinue fub alia &£ alia fpccic mftfplicitatisfe habet ad illa.vt bina
rius eft duplus :ternari9 triplus: quatcrnari^quadrupl? ad vnitate: 8 i ficin lfinitii.Sj
in hoc proceffu no habem? pro qualibet fpccic multiplicatis nifl vnu exeplu: vt ergo
fub qualibet fpeciexfinitaexepla;repperiamus:oportct nos hac regula obfernarccpdc
feripta naturali ferie numeroru ab vnitate incipiedo fup ea feribatur alia feries q icipi
at a binario procedatqjjpcontinuaadditione binarii & fic habebimus infinita exem*
pia proportionis duploe.vt patet inhac ferie.

Dupli. 1. 4. 6. 8. io. 12. Et fi linea fupioriciperet a ternario pccdcretqjp coti
1. 2. 5. 4.5. 6. mia additione ternarii iucnircm? ifinita cxeplappor
tofs triple, vt hic. 5. 6. 9. 12, 15. 18. Et fifericsfupcriorxcipcrctaquaternarioicxte
Tripli. 1.2. 5. 4. 5. d.dcrcturq;per continuam additionem quaternae

rii dcferuiretcxcmplis proportionis quadruplae, vt in hac forma patet.

Quadrupli 4* 8. 12. i<5. 20. 24. Et fi in incipiamus a quinario in ferie fuperi*
I. 2. 5. 4. 5. 6. ore &cdfcqucterproccdam?p quinarios iue

ntem? infinita exempla proportiois quiicuplx: & flccofcquctcr i aliis oib? fpebus.
Quincupli. 5. 10. 15. 20* 2?. $0. Alii vero auftores diucrfis verbis huius regu
1. 2. 3. 4. 5. 6. Ia: cande fentetia aliter protulcrut dicctcs q>
fi ex naturali ferie mjmcforu procedatur cotinue vno dimiffo intcrfcalariter :iucnic
mus oes dupIos.& duobus dimilfis oes triplos.&tribus dimiffis oes quadruplos &fic
c6fcquctcr:vtpatetincxcplfspofitis.Aliicl3riusdixcriit q> acceptis primis cxcplis
oim proportionu ex naturali ferie niicroru vt prius diccbamus:fi illi numeri duplcit
tur erunt fcciidf numeri in cifdc proportionibus 8C fi triplcmr criit tertii numeri caru
de proportionu. & fi quadrupletur crut quarti niicri.& fic c6fcquctcr.& hoc patet ctia
ccvcrii in cxcplis fupra pofitis. Quarti oim fperii fimul hc fut duc proprietates ad no
nu Ubru iordani ptinetes : Prima e q> oim proportionu multiplicia a paribus niicris
denoiataru femp nueri maiores fut pares in oibus fuis cxcplis: impare vero hiitiii de
noiationemucri maiores nccp oes ffit pares neqj ocsimparcs:fed vnns par & alter im
par alternati procedcdo:vt manifefte declatatur in formulis proportionu multiplica
fupcriusdcfcriptis.Sccundaprpprictasq>ommsproporrio multiplex iiifua genera
tioc p fola vnitate numeros fuperat omitendos cx naturali ferie: fic ip d cn oia tio illius
proportiois fumitur a maiori niiero qs fitnucr ns omittedorum: & ille cxccflus c fola
vilitas, vt in dupla proportione eft ccftinuc dimittendus vnus numcrusrin tripla duo
numcri.in quadrupla tres.8i fic coiifcqucntcr.

PARS secvnda deproportionibvs.

Caput fccudu de pportione fupptid’ari & ci 9 fpecicb? & ppriefatibus.

Vperparticularfs pportio cft nilerns maior cotines in fc aliti minore to
tum fcmcl 8i vitra hoc vnatmcius parte aliquota.f.medietatc vcltcrtia
vel quarta Sc.vt.6.ad. 4. &.i 2. ad. 9*Huins generis dux funtpprictatcs
etia ex nono libro arithmeticae /ordani demoftradx.Prinia eft epois fnp
parricularispportiol^poftfealiaminorcfupciparticulare.vticfquial*
tera fefqtcrtia & illa fefquiquarta & fic deiccps.Pro cui5> dcclaratioc ads»
ditur fecuda pprictas.q ols fupparticularis .pportio quato a minori nuero denoiatur ta
to eft maior: Sivfceverfa quato a maiori nuero fum it denoiationc tqto ipa cft minor. vt fef
qu/altera cft maior pportio qjfcfquitcrtia & hxc maior qj fefquiquarta Stc.ratio clara eft
ex quatitate partiii aliquotaruqa medietas e maior tertia parte & tertia maior quarta &c.
In multiplicibus aut pportionib? quatitates eam augetur fccudu ordine luam dcnolati
oniu&amaiori nuero dcnoiatapportioc maior: vt tripla qp dupla Squadrupla cft tripla
maior 5 lc.SupparticuIaris pportionisinfinltx funtfpes iiiptxcx varietate aliquotaru
partiii qpcedit fccudu. naturale ferie numcroriirvt fefquialtera fefquitcrtia fefquiquarta
fefquiqulntar&ita fine fine. Scfquialteravel potiPfefqualtcra qua grxei hcmiola vocat: cft
nuerus maior minore cotines totii &ei?medietate pdfe.vt.j.ad. 2 .fii.i 2.ad. S . &c. Sefqui
tertia pportio q& epitrita eft maior numer? minore cotines & ei? tertia partc.vt. 4. ad
3. &.i 2 .ad, 9.Scfquiquarta ab cxccifu quarte ptisfup minore numera denoiatur:vt.5.ad
4>&. i^.ad.i 2.Scfquiquinta vero a quita ptc:&fic cofcqucter.GnarioaiitoIm iftaruTpc
rfl adhabedn fingula cxcpla earu hac vnica regula coph en ditur. q> i ferie nucroru vnita
tc dimifla cflibct fcqucs nuerusad fuu pxinut pcedente cotinuc fub alia &alia fpc fuppar
ticularis pportiois refertur.vt.3.ad.2.eftfefqualtcr&.4.ad.5.fcfquiterti?.8i.5.ad.4.fcfq
quartus&c.Ad habendi! aut infinita cxepla cuiuflibct fpcciciponiturhxcalia regula. Si
cx excplis multiplicia pportionii fnperiP deferipti s linex fuperiores adinuice copa ren*
tuninfinitacxcmpla cuiuflibct proportionis fuperparticularis oftendentnr..f. quia tnV
pii ad duplos funt fefquialtcri: & qdrupll ad triplos fcfquitcrtii.&fic cofcqn ter. vt p3 hic.
Scfquialtcri. 5.(5.9.12.15. Sefquitcrtii 4.8. 12. 1(1.20.24, Alii vero facilius hac fecuda
2.4.6.8.10. 3.6.9.12.15.18. regula protulerunt dicentes

Scfquiquarti. 5.10.15.20. Scfquinti. 6.12*18.24.30.36. q> habitis cx prima regula
4.8.12.16. 5.10.15.20.25.50. primis cxeplispportionis

fupcrparticulariscnmfcunq;: fi illi numeri dupletur erat fcdl in illis pportionib?. & fi tri
plentur erutu tertii:# fl quadrupletur erunt quarti : vtpt3 in exemplis prcediftiR.Oim
autem fiipcrparticularium proportionum hxc vnica cft # notanda proprietas. q> quxli
bet fuperparticularis proportio in omnibus exemplis fuisferiatim fumptis primus
dux primum comitem fola vilitate fuperat:# fecundus fecundum binario:tcrtius tertia
irm ternario.# fic confcqucntcr procedendo per numeros naturalis ordinis.vocam?au
tem in hoc capitulo 8 (in oibus fequentibus illos numeros duces qui funt maiores in fuis
proportionibus: minores verocomitcs.cxctnpla huius proprietatis iam pofita funt in
generatione iftarum fpccicrum.

Caputtcrtiiide,pporti6cfnperpartietc&fpcciebus& pprictatibuscius.

s:cft numerus maior qui ad alium minore comparat*
rcr cius pajrtcsaliquotasciufdcm denominationis ex
rsaliquota:cotinct.vt.5.ad.5.vcl. 9-ad.7.#c vocam?
quotas ciiifdcm denominationis vt pltircs medietas
tes : vel plurcs tertias : aut piares quartas #c. dicimus etiam notanter cx quibus non

i: Roportio fuperpartien
M^jipfum totii fcmcl & pin
jquibustfino fiatvna pa
autem plurcs partes ali

Suppartf
cularis ,p
pottfo cid.
1P>2opi(cta
tes cVoue
i.ppiktaa
i.Milctae

Suppant
culerififp 19
infinite.
Sefquolte

©efquftcr

tis

iScfquiqr

ta.

Sefquiqiu

ta:.

fifiatioeou

Sii” mod 9
facilior

4>pifcra«

vnica.

cjtippajti
(&,ppojtio
«id fu

SECVNDl LIBRI ARITHMETICAE

fiat una pars aliquotaiquiain tali caluilla ^portio reduceretur ad fuppattfcitlare & no
e flet fuppartics.vt fi maior nucrus cotinet minore & duas qrtasci? effetilia jpportiofef
quialtcra:quia dux quartae futvna medietas, fimilircr fi maior mlerus cdtincrct minore
& tres nonas ei? illa cflet proportio fefquitcttia quia tres noucnx funt vna tertia pars ro
^iie ciua tius. Huius generis hx duc funt iiotabilcspprictatcs ex nono libro arithmetices Iordani
^pjfeiiica rcquircdx.Prima cft <joisfuppartics,pportiob5poftfe alia maiore fuperpartientcfob
i.^ppjieta» cac j em partiu denoiatione.vt fuperbiparties habet poft fc fupertripartiente & illam fes
quiturfuperquadriparticns:deindc fupcrquinpartiens &c.qux femper augentur reten
ta cade dcnoiatioc.nam in hoc genere tanto proportio cft maior quanto a maiori nue*
ro partium denominantu r fi carn denominatio fit eadem & fimilis. vt maior proportio
cftfupertriparticns feptimas q; fupbiparties feptimas.Si adhuc maior cft q fcquitur lug
i.jpiletM quadripatties fcptias:&fic de aliis. Scciidapprietas.oesfiippartictespportocs.i.ocsfpcs
fubalterne hui?gcneris cofurgut ex naturalflcrie ipariu ftipto initio a quinario: quibus
fubfcribantur omnes numeri ta pares pipares naturali feriefumpto initioatcrnario.vt
5.ad.5.cftfuperbipartiespportio.7.adqu3tuor fupcrtripartics.9.ad.5‘fupraquadripar
ticsr&fic dcaliis.fedhxc numeroru formanto ocsfpcsfpecialifTimasfuppartietcscxpli
Suppartie catfidco al’r iucftigada eft hui? gnisramificatio.Diuiditur ergo fupparticspportio prio
finite * 1 P ^ Inltas fpc s fiibaltcrnas ex nncro partiu acceptas. hx ivit fuperbiparties. fuptriparties
0upbipar fuperquadri parties &c.Eftaut pportio fuperbipartiens nucrus maior cotincns minore
i(cne & duaa cius partes aliquotas eiufdem denoiatiois ex quib?nd fit vna pars aliquota. vt. ?
SSugtrlpar ad.j,^ vel. 9.ad. 7. &c.Supcrtripartics,pportio tres tales partes aliquotas fupergddit. vt.7
©upqua ad.4.vcl»8.ad. f.&c.Snpcrquadrlpartiesqtuor.vt. 9.ad.5.vel.n.ad.7.8iflcdciccpspfc<
dripartUe finitas fpcs.Q.uclibet aut pdiftarufpcru quia fubaltcrna itent dfiiiditur per infinitas fpc
^operbin cicsfpccialiilimas variatas ex denoiatione partiit, vt pportiois fupcrbiparticntis:hx fvLt
finite fp2S * fp cc ^ cs athomx. fuperbipartiens tertias. fuperbipartiens quitas.fiiperbipnrticns feptias:
£5uptr/par & ficpccdcn do pnucros iparesin infinitu.Itcmppcrtioisfi ptrfpartfcntis hxfiit fpes
n2iiei'pcsJ fpcaliflimx.fuprriptics q itas fiiptriparticsqnltas.fuptriparticsfcprias&c.Eodcniepce
, dcrcturindiuidcndisaliisfpecicbusfubaltcmis hm?gcncm:dijmodoobfcructur hxc
ia* vitica. codftio qjprima fpecics fpccial.fiima cufuflibet fubaltcrnf habeat dcnoiatfonc partiit fo
la vnftatc maiore numero carudc partiti vt fitfupcrquadriparticns quifas.fvpquipartics
fextas.fupcrfcxpatticns feptias &c.Pro gnatioc aiit vel iucntioc nf.croru q ad fingulas
Cfiatiotai fpes hmoi .pportionti gtinent.Hxcvnica regula &facillima ponitur.q» ppofita qualibet
um fpSru, hmoi fpccic fpedaliffima :primus comce eiPftatuatur nucrus dcnolationis partiu: cui fi
addatur tot vnitates quot? cft nucrus illaru partivi:,ptii)?c6furgct prini? dux illi? ^porti
onis.vt fi .pponatnr pportio fu g bipartiens tertias:prim? comes cft fernari? : cui additis
duab? vnitatib? cofurgit quinari? prini? dux illi? pportiois.na. f.cotinct.j. & duas vni
tates q funt dux terti x ternarii •& fi .pponatur fuperbipartiens qiutasiprim? comes erit
5.& prim?dux.7.fuperaddcns duasvnitatcs.codemo in fupbiparticntc feptimas: pris
mus comes cft. 7. &prim? dux. q.&licdc aliis oibusfpcciebus huius primi generis. Itcj
Ci proponatur pportio fuperpartiens quartas:prim? comes erit. 4.8.' primus dux. 7. qa
addit tres vnitates q funt tres quartx qtcrnarii.ficin pportjoc fupertripartiente quintas
primus comes cft. 5.8; prini? dux cft.S.& ficdcaliisfpccicbus huius gfiis. Eodem 1116 p
cedi pot pcrhanc regula in fingulis fpccicbus aliorii gcncru fcqucntiu in hmoi .pporti
ouibus.Habitis aut primis numeris cuiuflibct fpccici talium .pportionfufccundi &tcr*
tii & quarti in cifdcm ,pportionibus p cotinua multiplicationem eorum facile inucninn
Kegula ve tur.vt cfs duplatis fient fccitndi.tr iplatis tcrtii.quadriiplatis quarti :& fic deinceps fine fi
riiTlma. nc.cft enim regula vcriffinia q>multiplicitt& lubmultiplfciiim numerorum eadem & fi
111 ilis eft proportio.vnde per hanc viam qui vellet proccdcrc:faccrct plurcs feries mlc*
rorum quee effent exempla iftarmn fpccicrum ficdhxc Icftorum in genio pariter & cx
ertitio deferibenda relinquimus.

PARS SHCVN0A DE PROPORTIONIBVS
Caput quartu de multiplici fuppatticulari & cius fpcbus & ppricfatibus.

VLTIPLEXfupcrparticularis ^portio cft maior numcr? cotincs minore rr?ultfpl<c
totii pluries & vitra vnatm ei? parte aliquota vt.f.ad.x.nabinnriPpIuricsco rapunto*
% | 1'tinemr i qnarlotqnia bis & remanet adhuc vnitas q cft medietas binarii.SiV

militer fchfit.7.ad,j.8f. 9.ad.4.&c.Hui?gnis hxcvna ponitur pprictas ad -j^jopiie*
nonit libru iordani ptincs.cp multiplices fupparticulares cotinuc nafcatur ex ipari b?fuo ta* vnfceu
ordinca quinaiio 1 pccdctib?.Hui?r6 cft.qui.i afiquinariu nullus eftnuerustarr excedes
fuos minores pccdctes.poft quinariu autcdrinuefcquuturlparcstafrpportionabilcsad , pcc j e0 ^
fuosifcriores.Diuidituraiuhocgcnnsprimopifinitasfpcs expte multiplicis variatas nite,
qfunt: dupla fiipcrparticularis triplafupcrpaiticularis &c.q fic diffiniatur. Dupla fups*
particularis ,p portio cft nucrus maior cotin es minore totii bis & vna cius parte aliquota ^ r Jpi* ( Up
vt.5. ad. 2. &.7.ad.^.8(c.TriplafupcrpartiaiIariscfl: maior nucrus cotincs minorcltcgru parifctariu
tcr&vnaci? ptevt.7.ad.a.&. 10. ad.^&c. Quadrupla fuppticfaris e maior nucr?cotines i^uodrn
minorcqtcr8ivnaci9ptcalicftavt.9.ad.i.&.i3.ad.3.8(.i7.ad. 4. &ficcofcqiitcr diceretur
de oibus aliis fpeb?fubaItcrnis.QuaniqIib3itcn!diuiditurpifinitasfpcsfpcdalifiimas ©p&jiiir’
variatas ex denoiatoe partis aliquotauq pccdiit fecudii naturale ordine numeroru vt fu*» lubdfaldiif
peritis dicebatur i cap. 2. hui? traftat?.iicdiccdo.dupIafcfqu/aItera:dupla fefqtcrtia : duc f*}!*^ 1 *
pia fefqquarta &c.Sitml’r tripla fcfquialtcra:tr/pla fefqtcrtiattripla fcfquiquarta.Ite qdru 1
pia icfquialtcra.quadrupla fefquitcrtia.qttadrupla fcfquiqiiarta &c.quaru fperii diffiniri
oncscx 1 pximodiftisfubaltcrnis:& ex diffiuitioib? fcciidi cnp.nupcrallcgati facile quis xj^odCigfTa
colligere pot.Gcncraturautfiueiucniuturnucribij fftamfpcrnhacvnica regula obfer tioniscaru
nara. q> in qualibctfpc prin ? comes femp cft nucrus drnoiatidfs partis aliquotx.quodu
piato vel triplato aut quadruplato fccfiducxigctia fpecici fubaltcrn x ,ppofitx: & unitate
fiipcraddita: refultat prini Pdux talis pportois.ut dupla fcfqulaltcrapccdit ex biuariodu
piato & imitate appofita.ut.^.ad.a.dupla fcfquitcrtia oritur a ternario duplato di unita
te. ut.7.ad.3.&fic dealiis fpcbus huius fubalfiii.SinuTr tripla fcfquialtcra fit ex binario
triplato eu unitatc.ut,7.ad. 2 .tripla fcfqtertia ex ternario triplato aditifta ctia unitatc.ut
io.ad-3 tripla fcfquiqrta cxqtcrnario triplato & unitate. ut. 17. ad. 4.$ ile de aliis fp ede
busta uibalfnisqsfpccialilfimis fiat .pccil^finc fine. Habitis aiit primis nueris cuiuflibet
.pportiois pdiffcc p cotinua corii muitiplicatione.i.diiplationetriplarionc &c.iucnictur
1'ccudi n fieri & tertii & qrri in cifde fpccicbus ( pportionii.& fic cdfcqutcr i Ifinitu.&poffj
qui vellet h ic formulas litam pportionu ex dift is facile dcfcribcrc.

Caput qnltiidc multiplici fuperpartiente & fpcbus & pprictatibits cius. ZUultipieic

VLTIPLEXfupcrparticspportiocftnumcj?maiorniinorctotii cotincns fiipparuf»
pluries & cii hoc plurcs ei? ptes aliquoras eiufdc denoiatiois ex quib? no fit
‘Jiii r vnn P s aliquota.vt.8.ad.5.8£.H.ad.4.8£c.Hui9gSxishMcvnica ( pprictascft. ^eMa.
JnwcSi q> multiplices fuppartictcs ab oftonario pridpiu habet dcide p alios nficros
modo pare* modo iparcsfubfcquiitur& generatur. Cui? ro cftquia an oftonariii null?
e Ii da bilis nucrus talcpportionc hns ad alique minore pccdcntifir&tfipoilipm rnuItiSd
ifiniti fcquiitur nucri i quib? hmoipportiocsuicniutur.Diuiditur aut hoc gen? tripli - 1 ipuPgfifo
fpes.prlo ifubalfnas ifinitasvariatas ex pte m liiplicis.vt dupla fupptics tripla fuppties »p*a ifmite
qdruplafupptics &c.q fic diffiniutur. Dupla ft!ppiics£portiocnuci?maior cotincs nuo j“ c

re totu bis Mplures ptes ci?.ilicftas ex qb?no f/ctvna ps a I i qra .cofim il l'r d/ccrc tu r de aliis v
fubalrcriiisfequcntibus.Sccundo diuiditurqlibct fpedes fubaltcrna per infinitas fpc
ccsvariatas ex nucropartiu.vt dupla fupcrbipartics.duplafupcrtripartiens.diiplafupcr jcprpJcifl
quadripartiens&c.Itc triplafupbiparticns.tripla fuptriparticus 8 (e. Siinifr quadrupla nite,
fiigbipnrtics.qiiadrupla fuprripartiens Sc.qtiaiii fpcciciii facile darentur diffinitocsfic
Dupla fupbiparticnspportlo cfl maiornumer? cotincns minore bis & duas ci?partcs a Dup^lf»!?
Uqiiotas no facientes vna aliquota. & fi cxcrcfcercnt tres tales ptes cft dupla fugtriparties D p 1 '
& fi quatitor: dicitur dupla fupquadriptics.codc mo diffinirentur alix oes fpes fupradl

PRIMI LIBRIARITHMET/CAE

£ftts rpte C ftx.Tertio quaelibet proximo diftatu fpecicru fubaltcruaru diuiditur g infinitas fpecia*
fiuuc, lifTimas variatas cx denominationibus pgrtium.vt dupla fupcrbipartlcns tertias: dupla

(uperbipartiens quintas:dupl a fuperbipartiens feptimas' &cctcra. Item dupla fnperrri
partiens quartas.dupla fuptriparties quintas vel feptimas &c. Ite dupla fupquadriparti
tapairtens en 8 q u i tas * vel fepttima s Sc.Simift tripla fupbiparties tertias .quitas. vel fepti m as&c. Ite
tri pia fuptriparties quartas, vel quitas & c.ltetripla fupqdripties quitas vel feptimas &c.
<&uadra Sinrifr qdrupla fupbiparties tcrtias.vcl quitas. vel feptimas &c.Ite quadrupla fuptripar
ple tupbi ties quartas vel quitas &c, Ite qdrupla fugquadriparticns quitas. vel feptimas BJc.Qjtaru
partitn* fpccicru diffiuitoes facile ex dictis igeniari poflimt boc mo.duplafupbipartics tertias p?

portio cit numer? maior cotinens minore totiibis duas partes c i9 q fut dux tertix mi
noris.vt.8.ad.j.&fifiutduxquItcciretdiipIafupbipartiensquItas.vt.iz.ad.5.& fidtix
bjnowiea» feptimxteifet dupla fugbiparticns fcptimas.vt.i6.ad.7 .Stc.Similr diffiniretur aliaruj
. Aue, fpccicru pdenoiataru vnaqqj.Q.ni aut vellet luenirccuiuflibct fpccici cx pcliftis nume

ros primos hac vtetatur regula facillinia.Cuinflibctpportiois multiplicis fuppartietisi
fpecic fpccialiilima. prim?comcs cft numet? denolatiois partiit q ultimo pfertur in illa
fpctdcidc fi ille dupletur aut tripi cturautqdrupkturfcc^coditioacfpecieifubalfnx pri
■ derunf 1110 c * Iul ^ c: ^ lcrr l° toC unitates ad datur quot^eft numex? partiti flgnificat? x fpecic fub
* alterna fcdo loco diuifa:rcfulratprim9 dux talis pportiois.vt Apponatur tripla fupb/g;
ties feptimas: prim? comes eft-7.qtriplato fiiit. 21. St additis duabPvnitatib? coftat.23.q
cft prim? dux talis pportiois.8f Acfiarinoib?aIiis fpeb? fine cxccptioe.& tue primis il>
lis numeris duplatis aut tr/platisaut qdrupla tis aut aliter multiplicatis pueniet fccudiK
tertii & quarti nucri in cifdc pportionib? : 8i fic de aliis multis. Vfi pt5 mod? deferibedi
formulas lilaru fpecienufi qs vellet eas faccrc.Sed qa multi funt Ipediti & tardi Igcnio ad
faciedas fupdiftas pportioml formulas:quas arbitrio corti rcliqnim?icap.pccdetibus:
d ccreuim?hicaddcre quada mierorii forma quadrata q olb? aliis formulis cl faftis Sffnci
endis cqualeat.Tircpt ca oxni pportioml Icqualitatis nucri cxcpla res valeat lucniri. qma
gna forma p logitudinc fiiaa f/niftra in dextera habeat I prima iinca naturale feric nues

£r?p!arof$

.pporiionfi

nurocraUfi

roruabvnitatc.fecuda Iinca fub ea Icipiat a binario n cotinua cipadditioncpccdcs. tertia
iincalcipicnsa temar/o cotinncf) additione ciP pcedit.quarta per quaternarios , quito
per quinarios &c.doncc tot fiant linex fubfcriptx quot funt numeri in prima linea. ficq;
cuadet forma quadrata o!n\ Iatcru cqualium talis.

Longitudo tabulx.

1.5 I 6 1 pI I’ I lj_

1 + IS I n ligjio _

1 f|io_l K_l 2Q l 2 (lf 0 lir |4o | 4f | fo \ ff | 6o\*t I 70- 1 11 If io' 1 1 9» bfUltoo^f

kJlLl_LLUil5.0 |j O \66 I 7 Z I 78 I S 4 i 90 I 96 liojjxoil |lI4|flio_l
17 U.-fl jllj.fi l ?r |4 2 1 4 9 1'ftf 1 <S5 I 70 I 77 1 84 I S>£_ I 9 S\lpt | fl> | H?_ I J .26 |ij5 1 140 f
I sita 1 x4 15: [ 4 - 0 I 48 ktf 1 4 1-72 I 0 | 88 I 96 lio 4| iffe jl; O Nl« llak 1 144 Ufx Udo f
\9 Il8l27l5(il4fir4 |rf5 | 72 ifi» I 90 I 99 | iOh' 1.H 7 | IX (i |Tl5C 1 144 |_ifj |_irf; | 171 | |iko|
lioj;o|l;o| 4 olfoUol 7 o| 8 Q |~po~jioo I IIP [li-o j t 50 ~if 40 ~| tfoTirto 1770 I fyo [is-ti |jOjT|

ln|»T5]44|f7| 66 '| 7 7 1 «S 1'p 9 1 i 1 o 1 m 1 15x1 14? 'I i'f-1- l m f 1 1 7C. I 1 S 7 | lyfi fioy | 2 20 |

l»lx4 |5g ksltfohx \ 94\96 1*0» |i:o 1 13 X 1 1 44 1 1 f rt~| i'o s'(' 1 H 0 I ly: l l :o4| 2 if.J::Sj 24o|
h fx V, * | 7 s 1. 9 1 |i 0 4[ 1 1 7 [ 150 1 1 4?| if«|m |l*<? | l4o |lf4| lg» | i «2 jl j><t|, 2 lolj ;:4 | ;5fi ll :Yx l- X^i^ll iiql
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'24| 28 I 52 I 5<f I 40 I 44 1 48 1 f2 l f(f 6 o I rt4 | 6 8 I 7 * | 76i| 8o[

PARS SECVNDA DEPROPORTIONIBVS
In hacfgitnrfbrma quadibctlinea ad prima coparata eftpportio multiplex, vt fecuda
linea ad prima cil dupla.tertiatripla.qrta qdrupla. & fic p oes fpes mnltipliciu pportio
mMtcdimiffa prima lincajqlibctaliarufeqnsad fuajpximo pcedetc eil iiipparticularis
pportio.vt tertia ad feciida eft fefquialtera.qrta ad tertia fefquitertia.quita ad quartafefq
quarta. & fic dcidc p oes fpes fupparticulariu-Ite quita linea ad tertiq.vel feptima ad qui
ta. vel nona ad feptima. 8( fic cofequctcrp oes iparcsroftcdentfingulasfpcsfupbipartn:
tispportionis.Simil r feptima linea ad quarta.&oftaua ad quinta. & decima ad feptima
&c.dcclaratfpcs fuptripartieris.Similr nona lincaad quinta .& vndecima ad feptima.&
trcdccima ad nana &c. explicat fin gulas fpes fupcrquadripartictis.fii ficpccdi potad oes
fpes tertii generis q eft pportio fuperparties.Itc referedo quinta linea ad ftenda. vf fcp
tima ad tertia. vel nona ad quarta, vel vndecima ad quinta&c.p additione binariithabe?
binius oes fpes duplicis fuppartictilaris.Siniirrcoparado ftptima linea ad fccuda.vcl dc
cima ad tertia, vel trcdccima ad quarta &c.p additione ternariuueniem? oes fpes triplae
fupcrparticularis. Similr fi coparemus nonu ordine ad fccudd.& trcdecimu ad tcrtiti.SC
decimufcptimu ad quartfi&c.p additione quateniarii:oftcndcni?ocs fpes quadruplicis
fuperparticularis.&fic cofcqucter^pcedcrcturp oes fpes multiplicis fuperparticularisq
erat qua rriigcn? pportion is icqualitatis.Tadc ad habedas flngulas fpes fpecialiffimas
quiti generis qd cil multiplex fuppartiens.co parare oportet alias lineas ad alias ipdifla
forma. na oftatia linea ad tertia. & vndecima. & quartadecima.& dccimafcptima.ad eade
tertia Si ficcofeqntcr p additione ternarii alis multa: ;cxibet niieros fingularu fperxi mf
tiplidsiiiperbipartictistcrtias.vt dupla.tripla Sic.Simirr fi ad quinta linea duodccimaSi
dccimafcptia.Si vigcfimafccud^&cxtcra: p additione qnarii refcratur:oftcdxUocs fpes
multiplicis fupcrbipartictis quitas.vt dupla.tripla &c.Simil'rad qtiarta linea referendo
vndecima. &decimaquinta,&dcdnianona&c>pcrJadditionequatcrnarii:habcm?fingu
las fpes multiplicis fupertripartietis quartas. Simifr fi ad quinta linea trcdednia.Si deci
cimaoftaua.Si vigefima tertia &c.p additione quinariirerut oes fpes multiplicis fuptriV
partietis quintas.vt dupla tripla &c.Eode modo fi ad feptima linea dedmafcptima:& vi
gcfimaqunrta.& trlgefima prima Sic.per additione (c pten arii : referatur oftedent f/n gl'as
fpcdcs'multiplicis fupertripartietis fcptimas.vt duplam triplam Sic. Confimiliter fiad
quintani Uncam comparcmusquattamdcdmam. &dcdmam nonam. &vigefimaqiiar^
tam Sic.pcr additionem quinarii habebimus fingulasfpcdcsfupcrquadripartictis quin
tas.vt duplam tripla mSfc.Itide fiadfcptimam lineam rcffcratutdccimaoftaiia.&vigefi
ma quita. & trigefimafeda &c.p additione feptenariiappebiit oes fpes pportoismltipli
cis-fupquadripartictis feptiasvt dupla tripla 8ic.Patctcrgocp - pra;di£hMiumeroru forma
fi bene in longii & latu augcatunfacile intuenrib? dcmonftrabit olnipportionii etia fpc
cialiiTimaru numeros. vnde arguitur maxima ei9vtilitas pariter atq, dignitas.qnaprop=
ter no indignu duximus cius notabiles proprietates hic apponere et funt numero quiq;
Prima pprictasq? oes numeri in hac forma dfamctralitcr aut diagonalitcr aprimoagu
load tertiii dcfccndcutcsfiit numeri quadrati.na quilibet eorii rcliiltat cx mtiltiplicatoc
duoru cqualifi adiiiuicc dc quib? paulo poft diccm^.Sccuda^prietas.q/numeros qdra?
tosinhacformacirciidaiitaliinucri diftilogilatcriautaltcraptc Iogiorcsjqui fiiitex du
fhinxicroruincqualiu fcd .pximoru in naturali ordincad fcipos.Gircudatcs dicutur nu
meri pofiti fnb et fupra vel dextrorfum et finiftrorfum adaliqnc quadratu.vt circa. 9.fut
<>.ct.ii.8ic.Tcrti3pprictasqf duplato quotlibctnmncro quadrato atqj fuperadditis ci
duobus circudantibp Iongilateris:refultatindcaliusriumcr? quadratus.vt duplato qua
ternario fupadditifcp binario et fenario longi Ia ter is fiunt. 1 6. qui etia c quadrat?. Quar
ta pprictas cp additis duob? qdratis pximis finml cu duplo Logilatcri comunis :itcrn rc
fultatnucr?qdratp vt additis finiul.4.ct. 9.cfi duplo fenarii fiut. a 5-q cn«mer9 qua dra?-
tus .Quita proprietas q> in hac tota forma quadrilatcra et i qualibet eius parte quadrata
duo aguli oppofiti i fe ipfos ducti producut cquale fuma aliis duob? agulls oppofitis iit

c .iit»

Tultipleic

Sug licti
laite

SiiBparti

ens.

ZDuUipUe

fnppartUi»

laris.

zxn-itfpicr

luppflrttfs

Si!p.bigti

<ne.

Superni

paniene.

Stipqua

drfparttfg.

Supjfidi
«e fo:me,p
pifctatcc-.f
i.,pp2ictaa

r.^piietas

^..pprfctae

44 pj ie.

y.^piictaa

P RIMI LfB RIARITHM ET/CA E

feduftisvtfemel<400.eftideqcjvigefies.2o.&tcr.i5.fadnt.45.ffcutnoufcs.5r.fimilfe
ZDfooifa I ter fcptics.40.fut. 280. ficut decies. 28. &fic de aliis multipliciter exeplis.Haftcn? igi£
tquaifojiie rfe oib? generib? & fpedebus pportiois maioris ineqiialitatis. qb? totidc corcpodet vt
nantur 01 " diucrfitates minoris icqtialitatis:Na fnb multiplicis pportols fpesfut fub dupla

fub tripla fub qdrupla 8C ce. Species fubfupticularis fimt fubfcqnialtera fubfequitcrtia
fubfcqqrta&c. Species fubfuppartictis pportioi s fut fnbfupb/partics fubfuptriparties
fubfupquadriptics&c. Species fitbmlriplicis fwpparticularis fdt fubdupla fcfqalteraricfq
tertia ;fcfqniqta 8ic.ite fubtripla:fefqaltera:fefquiftcrria &c.ite fubqdrupla fcfqaltera fefc
quitertia &c.Species vno fubmultipHcis fuppartietis (ut fubdupla fupbipartics fttptrip
tiesrfupqdriparties & c.ite fub tripla fupbipartics fuptriparties &c.itc fub qdrupla fnps*
biparties fuptriparties fnpqdripries &c .& qlibctiflaru (pecicrii diuiditu r ad huc pifini
tas fecundu varias denoiatioes partium :fed heee oia ftatim cuilibet nota fum\

Caput, d.deorigine proportionum ineqlitatis ab «qualitate.

■ iOST pniiffa cofideratioedignu ridetur ondere quooes jieqtialitatis fpccies
ab squalitatis primordiis pcrcatur.noticia.il .coparatiua fpcciern alicuius ge
'neris poft noticia fingulare earude multn cofcrre folct ad clariore iparil itclli
gentia iqueadmodu porphiri? circa pdicabilia fcciffc coperitur: poft fingulo
ru dcclaratioes addes quiqjpdicabiliu coparatioes. Q£at ois inequalitas ab xqiialitatcp
cedat rationabile cft.ficut.n.vnitas fe habet ad nueros ocs:fic fe habet xqlitasadppor*
tioes oesrquiaaliaru oim origo eft & mr .dcide inter genera icqualitatu ctia ordo origis
odferuatitr.quia icqualitatu pria e multiplicitas :ex qua imediate oritur (npparticularis.-
pjo deldc ex fuperparticulari fuperpartiesritc ex fuperparticulari multiplex ftiperparticu*
pontonum laris. deniep ex fuperpartictc multiplex fuperparties.Scdhoc eftitclligcdii oblcruato ta
li ordierquod ex prima fpecie generis pccdctis:pcreatur pria fpccies generis fubfcquen
tis.ot cx fecunda fecunda, & cx tertia tertia. &fic de alifs; quod veru cftiii oib? generibus
pportionu fefe cofcqueribus ordine fubppofito.crgo deprioad vltimu per media cotis
nue ordinataicx «qualitate oritur ois icqualitatis fpccies. Pro ifta aut fuccefiionc origis
^u'150 pio pportionu hxc vnica regula 8£ infallibilis fufficcrc poteft. q> de feriptis tribus seqlib 9 nij
diiiata? °* meris qbubufcuq; in vna ferie: fubfcribatur nuero primo alius nucrtis fibi seql/s. deinde
fub lecudo fuperiorc fcribatur nfierus alius cdpofitus cx primo & fecundo fuperioribua
dciriqj fub tertio cequaliu fcribatur alius numerus aggregatus cx primo equalium & cx
fecundo duplato & cx tertio fimplichpcr talem ergo modum fubfcribcndi ex tribus
«qualibus crefcut alii tres in pportionc dupla comtinuati: & cx tribus duplis fimili mo
fubfcriprionisroridtur alii tres in proportione tripla fcfcconfcqucntcs*& cx tripla quas»
drupla & fic cofequenter per oes nniltipliccs.vt clare oftendere pot heee forma. 1. 1. t.
Oilso mul Simil/rer permutato ordine numeroru multipliciu:itacp maiores numeri pre 1. 2. 4
tfpHcfam. fcribatur minoribus p eande arte fubfcribcdi ex dupla pportoe triu nucrorii i. 5. 9.
^zlgofnc cotinua oritur fcfquialtcra.&cx tripla fefqtcrtia cx qdrupla fcfqquarta.Gi fic 1. 4. 1 6
um! C 31 p°es alias fpesftipparticulariu pportionii erit cotinua gfiatiocx multiplicibus: vt hic.

4. 2. 1 . 1 9. 3. 1. 1 16. 4. 1 . 1 Itcffl permutato ordine fupcrparticularium propor*
^rfgofuc 4. <5,9. 1 9.12.16.1 16.20.25' tionumoriiiturfuoordincfingulaefpcsfupcrpartietia
parttemiR. p ro p 0rt f O nu.vt cx fefquialtcra fupbipartics.& ex fefquitcrtia fuptriparties 8fc.vt pjhic
9. 6* 4. 1 16. 12. 9. | 25. 20. 16. I Eodem modo fubfcribcndi cxfupcrparticnla 1< i
{ 9 - 15.25 ■ 16. 28. 49 * 25. 45. 81. * ribusnon permutatis fcd ordine fuce originis

itpiiciftfnc dcfcriptiscnafcimtur muttipliccs fupcrparticularcs feriatim.vtcx fcfqu/altcra dupla fex
particulari quialtcra.& ex fefquitcrtia dupla fefquitcrtia &c.vtcIareoftcndithxcforma.

^ n j 4. 6. 9 * I 9* 12. 16 . 1 Tandecxfupcrpartictibusnumcriseoordincquogcniti funt

lipilcifiTup 4’ ,a2 5 9 « 21.49 I dcfcriptiscpcr cade arte fubfcribcdo .pccdut multiplices fuper
partlJiifi, partictcs fiugula9 fpcsfingftscopnrando.iraip exfuperbipartiefc nafeitur dupla fuperbi
partiens; & cxfupcrtripartiente dupla fupertriparti ens &c. vt hic per tria exempla.

PARS SBCVNDA DE PROPORTIONIBVS.
i<f. 2?. - 16. iS. 49. .25. 45. 81. . Relinquitur ergo exdifto procefin verant
9 - 14*64 I 16. 44. 121 , 1 15. 70. i 96. 1 efie regula fupradiftam de continua origi
nc proportionum ab «qualitate vfqj ad vltimam inequalitateni.

Caput. 7.dc refolutioiTCoim .pportionuiequaliu vfq? ad cqualitate.
jjVIA vero iicut in naturalib? ita & i mathematicis ois res ex quib? coponitur
in cade refoliiiturrcofcques ergo erit oem iequalitate p corinuas reduftioncs
|vf<£ ad equalitate pducere:quaten?fortiori argumeto certiffimii relinquam?
'q 5 dc primatu equ alitatis ad ocm aliapportione plibauimus.Et in hacppor

tioiui rednftioe eade via eifdcqjpaifrb? ficut pgrefTi fumus regrediemur, f. vnaquaqj i
cqualitatispportioneadearcducedora qua pcelTcratp doftrina capituli pccdetis. hanc
vero pportionu rcfolutione ctiavnica hac regula copfoehendimus.g? deferiptis trib?mt
meris icqunlib? in qualibet pportioc colligatis:fi primo numero fnbfcribatur aliPfibi c*
qualis.&fecudo fupponatur refiduti fubilraftiois primi a fecudo fupiorerfub tertio vero
numero feribatur ille numerus qui remauctfubtraftis primo fimplici &fecundo inferio
rc duplato a tertio fuperiusdeferiptorper hanc ergo artem fubfcribendi proportio du*
pia reducetur ad equalitate: &tripla ad dupla: & quadrupla ad tripla:vtpj hic. 1. 4. }6
I11 pportionib? vero fupparticuIaribPfefqaltera refoluitur i dupla: &fefq tertia 1. 5, 9.
i tripla: &fe(quiqrta iqdrupla.vt clare ondet cxepla fupioris cp.reppctitavthic. I, a* 4
4. 6. 9 . 1 9 - 12. 16 . 1 Similiterinproportionibus fuperpartientibus rc#> 1. 1. 1,
4. 2. 1. I 9. 5. 1. I ducuntur omnes fpecics ordinate ad fupcrparticulares vt fu?
perbipartiens adfefquialtcram.fupertripartiensadfcfquitcrtiam & cetere. vt hic.

9. 15. 25*1 16.28. 49.I Pariformiter multiplices fupparticulares rcfoluiitur ordiate
9. 6. 4.1 16. 12. 9. ‘ ad fupparticulares aquib?oriebatur.i.duplafeiqaltera:adfef

qui a Itera: & dupla feiquitertia ad fcfquif tia: & fle de aliis vt moilrat exepla iequentia,

4. 10. 2f. I 9. 21. 49.1 16. 56. 81 . 1 Poftrcmoflngulx fpecics multiplicium fat
4. 6. 9. ' 9. 12. 16. I f<S* 20. zf* perpartientium rcfolituntur per eandem ar

tem ad fpecics fuperpartientium a quibus oriebantur. vt dupla fuper bipartiens ad fus
perbipartientem .& dupla fupertripartiens ad fupertripartientem 6i cetera, vt hic.

9 24 64 I 16 44 1 21 1 Patet ergo qua vniformitcrfe habet in. proportionibus: fi
9 1? 25 1 16 28 49 1 ucpgreffus ab xqualitate: flue rcgrclTus ad cande pgrad?
medios inter cxtrema:q ffit pria squalitas & maxima icqualitas fi effet dabilis i nueris.
Quia tume ordo fupradiftus faciens pportioes multiplices pximiores xqualitatitam i
^grcllitq: i regreflu: videtur fatidi cotrari?: (quia maiores iequalitatesfut multiplices
q; fupparticularcs.vtduplaqj fefquialtcra & tripla qj fcfqtertia bic.ideo videtur magis
abxqualiratc dillarc cp fitpparticulares.^ad fatiffacicdu huic dubitationi dabim? aliam
regula de origine & refolutioc pportiomi inequaliil ad ceqlitaterquatii ad multiplices
& fupparticulares diitaxat:de aiiis aut no curabimus. Regnla hxccft.ois pportio duorii
extremoru nucroru adiniiicecoponitur ex pportioib 9 illorfi extremorti ad mediu vel
ad media iter cos rcppcribilia*ideoq3 illa pportio e maior qualibet iftaru ficut totu fua
parte:ac perinde illa c remotior ab squalitate q; ifte par ti alcsvEt quia iter nueros ppor^
tionis multiplicis fepeftdabile mediiihnspportione fupparticularc vna vel plurcs ad
nueros extremos: ideopportio multiplex refoluitur inliip particulare tanq 5 in priore fc.
Modus ctia iftius refolutiois talis eft <$ pportio dupla (exceptis binario & vnitate } fes
pcrcftrefolubilisiduas prias fuppticularcsqfut fefquialtcra & fefquitcrtia.quia fepiter
extrema duple pportionis cft dabilis aliquis niicfus medi? ad vnii extremu fefqnialter
& ad aliud fcfquitcrtius.vtiutcr.2.&*4.cfttcrnatiusftfqnialtcrad.2.& fubfefquitertiits
ad. 4.8i ita in oibus aliis duplis ifallibilitefc.ln aliis vero multiplicibus qlibqt fcques fpe
cies refoluitur inpccdcnte multiplice & iil illa fupparticularcq atali multiplici nafeitur
fecundii regula pecdetis capituli, vt tripla refoluitur in dupla fefquialtcra. quadrae
pia in tripla. & fcfquitcrtiam Sificdc aliis quia inter oia extrema triple ppottionis dabi

XDoduare

folutfofsjp

ponfoimm

©c multi
pifef.

©e fuper
particulari
©cfuppar
tiente

tDc multi
plici fuper
particulari
©e mnlii
plici fuper
partiente.

©bifireor
bine ^)poi
tiouum fu
pra dicto.

Sit 9 oido

mmplicifi

ct fupparti

cularlfi,

Ifcrimare

gula.

.1. regula

PRIMI LIBRI ARITHMETICAE

-le cfl rnediu tales pportioes obferuans ad extrema Yt inter *$.8f.l. ponitur binarius dii*
plusadvmtate .81 fubfequialtcr ad ternariti.& inter. 4. &.iq funt extrema qdruple pro
portiois: cadit ternarius triplus ad vnitate: & fnbfcquitertius ad quatcrnnrm.eode mo*
Jncldlead do pccdcrcturfn oibnsallis excplis iftaru &aliaru pportlonu multipliciu.Hicfcciftca
X politum, m? fine traftui de pportioib? nuera lib? & toti prio nrxitroduftiois arithmetica: Jibro:
nifi quoriida muficoru & platoniCorn dubitatio frequens abfolui pofict ex pdiftis. qriit
cnifepi^ppofitoaliquonumcroquotniicri fupparticularcs pofiint cotinuc adillum fe
iQueftia qtii/n data fpccix illi 9 generis: vtpoft binariu quot poiTunt dari icfquialteri cotinuc fc
cofcquentes:gf poft ternarium quot fcfqaitcrtii.Si poft qternariu quot fefqiiiquarti & c.
£ 5 o ut 0. HuiPqueftidis folutio exdoftrina pcedentis capituli pendet vbi diftu cft q> ex qualibet
fpdepportiois multiplicis pcedit aliqua fpcctes pportiois fupparticularisordfnc debi
. to.vtex dupla fefquialtera.ex tripla fefquitertia.ex qdrupla fefquiqrtia & c. Niic at exii

Ia doftrina duo fcquutur ad prnifla qftione refpofiua: primu cfl: q> poft numern qui nui
li cft dupl? nnll? fequititrfefquialter.quiatalisndhabet medietate. & poft mimcruqui
nulli cft tripi? nnll? datur fefquitcrti? : C 3 de rntioc quia ille no habet tertia pte. di fimili
j.regula ter poft numeraqui nulli cft quadrupl? 116 datur aliquis fcfquiqnnrt 9 .& c. Sccudu cft q>
poftalfquc nutneru duplii tot fefquialtcri cotinuc fubfcquutur : quot? ille fuerit inter dti
pios fitp aliqua radice no dupla.fii tot fefquitertii quotus numer? dat? fuerit iter triplos
fnp radice noltripla .81 tot fefquiqrti quot? fuerit numerus datus inter quadruplos fuper
i.qcZpIum radice noquadrupla & iicdc aliis hmoi niteris infallibiliter.Vtfup vnitatcq e radix nui
li dupla:prim? dupl? eft blnari 9 .poft quevn? tatu reperitur fcfquialtcr.f. tcrnari?.fcds
dupi? eft quatcrnad? cotinuat 9 poft binariu.adquc fcquutur duo icfqnialtcri.f.t>.&. 9.
terti? dup !9 eft oftonari? ad quem fequutur tres fefquialtcri. f.u.i 8. &. 17 8£ficdc aliis
in infinitum .Eodc mopofTctqufspcedcrc in nueris duplis fupternarm.fup quinariit
i.tfjptum 8 i fup fcptcnariu,& c.q fut ra dices no duplce.Itc fup vnitatcq nulli c tripla prim? tripi?
eft.5.poftquc vn? tantn datur fefquitcrti9.f.4.fccmid9 tripi? eft. p.poft que reperiiitur
duo fcfqttircrtii .f.i2.&. nS.terti? tripi? cft. 27. poft qnedabiles funt tres fcfqui tertii, f .;6
48.&64.&c.in infinitu.cocic mo poffet quis .pccdetc inumeris triplis fup binariu.q^
ternariit.quinariu.& alios qui funt radices nb triplae. Item fup vnitatcq nulli eft quadru
plaprini9quadrupl9eft.4.que feqiuturvn9t5tu,fcfquiquart?.f.5.fcc|;s quadrupl? cft.itf
qui habet poft fc duos fefquiquartos.f.ao. 81.25. terti? quadrupI 9 cft. 64. qui poft fc ha*
bettresfcfqquartos .f. 80. ioo8i.i 25.8; c.in infinitum .eodem modo pofTet procedi fup
binarium.tcrnarium.&quinar/nm.&alios qui funt radices non quadruple.prcdiftoru
fcquuntur exempla tria.f.infcfquialtcris fefquftcttiis 8£fefquiquartis.

iTrra — ra' i— nfrrFrrT^r Har f fo ' n ’ I ariitl “f,f‘” t

hoifi^pifc a.»l y | jrJjiW. liitlS* I ISuTfl 2 d.'| SoT | notad.rppnet3tcs.Pnma

latce.i. 1 ' ' Iflta f 1 is» 1 _ 1 |gi>n»l 16»! 48. 1 1 " [g u ia j ' 2 f,| 100. | q? qualis c proportio nuil

1 11 rt ». 27 | J | (rca.l<{4 .[ j | | re». [ ny* jt/plcx numerorum prime

linee fuperioris in qualibet figurartalis eft & oim aiiaru lincarufub ca deferiptaru. vt in

i. pwprfi. pria figura cftpportio dnpla in oib 9 fuis linciis.ifccunda figura pportio tripla.in tertia

quadrupIa.Sccuda pprictai q> niteri iigulare* in qualibet diftaru figura rii hiit fola vni*

j. pioptil, tnte maiore multiplicitate nilcri lineam pdiftarii. vt angulares prime figurc funt fri

. pii .in fecuda quadrupli. in tertia qmtupli.&ficdc aliis oibus. Satis ergo fucritex pleno

«P o S us. c j£jf CUT j* rt Q fj pportionu nueralm^qui oesfiit termini dc pdicamcto ad aliquid fubillo
genercfubaltcrno qd alias ipofuim?ficdi<ftuadaliquid fcdm quatitatc U in duas fpeci
es rqualc & imequaleftatldiuifim?) pueniffe vfcj ad cotinuationc pluriupportiomrm
eiufdcfpccicl in trib? aut quattuor aut plurib? numeris fefe cofcquctibP.q cotinuatio ,p
portionalitasappcllatur.deqiTa & fpccicb? filis ac pprieratib? in fcqucri libro fccudo di
. ftnri finn?.Sed in ffnc hui? libri prinii.(^nc doftrina ifta dc pporrioibus videatur oino

notanda, arida di inutilisQcomeorabinms ca q fanftus auguftin? piftagorica fitnul & platonica j

PARS SECVNdA de proportionibvs.

imaginatione fequens i dfiiino illo opnfculofuo de vera de rcl/gioe fccrcta ph/lofoph/cfl
pandit '.dicens auftoritate htlarii q> i patre eftvnitas;in filio xqualitas:& in fpiritu fancto
vnitatis xqualitatifq$ conncx(o:iii creaturis autem oib? inaequalitas. I n aqualitatfq; va '?£’ 3,ei ' ***
ric fpccics reperiunturtquia loliis dei filius eu fpiritu lancto ab vtroq?pccdentc iic geni **

tus e II a patre fixorvt cflct vcra&ppria imago iuifi bilis dei primogenit? ante oem creatu uus.
ram: vt Paulus a poftolus dicit:cft en ifpledor patris & figura fubftatice eius adaquans pa* S; ve fait
terna pfeftionciomnib?ef!e«tialib?pcrfecti6ib?.quibus duot? per oia etia fimilis e lpi £ ‘ Ufi<6n c
ritus lchis adequas fui pricipii a quopccditpfcftionc.idco nimirii ponitur vnitatis xq pouSonaU
litatifqs c6nexio:diciturq; nexus aborii fcpduccntiii Creaturavero ficpticip.it diuinas ta«,
pfcftiocsrqj no adequatur pfonisdiuinis a qnib? pccficrutrfcd loge ab eis diftar /nequa f ' cari ' ra
liter, vnde no imagines fcd vcftigJa diuin x triniattis efic dicutur.8f fi quado nome ima j^eftigra
ginis facta littera adcreaturastraifcnxt: in obliquo no in refto illud ponut ad fignifica# uue <i «tu
da.f.inaquahtatc. tale eft illud geuefis primo faciam? hoiem adimagina & fimilirudine rurum.
n? 3 m. 6i illud c3cchiclis deagcloapoftaratcadeomifignaculix fimilmidis iquitdci.Sc. f £ri ' af “ lfl v
Etficut imagmatoc pictagorica ecnrixcrcaturariifpcdebvniicroiixaiimilatc funt: quia cftjolutMa
gradatii luis pfcftioib? pccdiit :fic cade via fpeciebus iaqualita u diuerfis coparari pof «i.iuaic
futtquarn qdappius alia vero remoti? acccdxit ad aqualitate diuinaiu pfonarti.fcmp ta <8q> reduci
me (vtaurclius ibide doftorpfequitur^crcaturarxx iaqualitasaddiuina aqualitate qua pe
tu eft polfibile nittitur tendere. vt pote quia ois lfta iaqualitas ab illa fiima aqualitate p tcncftriafc
ccifitiideo mmiru fiin cade fititerxi rcfolubilie:quia vniucrfa ppterfemctiplii oparat? QiuUOue*
eft di?-Hic fit q>hoibus cxinclinatioc naturali coucnitvt nihil placeat iu creaturis: quod
no aliquotnd imitetur illa luma aqualitate q cftdcj filiusiquo verbo dei fafta funt omia.

Et adducit augu.ibicxcplii de feneftrisarcualib? qfi duafola inxqualcsiuxta feipfas
pofite (int:ftatl intuitu afpicicnmi offcnducdifphccntq; hoibus: ( pptcr dcffeflxi aqualis
tatis q nulla eft.fi vero tres talesvelplurcsfcneftrafimul ponatur gradati iaquales: vel
dua laterales miores iuxt 3 m edia maiore: ftati placet illa ftruftura fencftra rii:quia ibi eft
aliquod vcftigiu xqnalitatis.Na inter feneftras inaquales funtpportioes xquales.f.res*
latis extremisad mcdia.Hoc inquit nullus artificu quatiicfiqj ingen/ofiis aduertif in cdf
ficiis talibus: quia dcciibiticlinatis ad terra ocultsniec vnde res pendeat e ccelo vidctficd
tantu fi peotetur rcfpodct:fic deberi fieri feneftras:quia fichabct vatioartis hxdificatos
ric 8i no aliter: & fi chadificia pnlcra funtSt no aliter.idco fic fafta placet 8C aliter facfa dif £ onc \ u ([ 0
plicent.Multaq; alia notatu digniflima iu pdiftoopiifciiload.pporriccs&formasmK* pnmt libri
rorilptinetia fftilTim? ille vir diuinitateplen?latiffime,pfcqimur.viidc conucnicnscft aruijmciic
vradfofasnumetoru &ad pportionalitatcstralcam?. Primi libri arithmetica finis. c<e *

Hiber fecundus irroduettots arithmetice bc fojrnis

niicralib?atq5de ^portionali tatil?coitl. habetigr duos traft-al?ficurpcedens fiber.

Traftatns primus dc numeris habentibus fimilitndinc figuram geometricam qua
propria forma numerorum dicuntur, habet capita tria.

Caput primum dc numeris linealibus & fupcrficialibus.

Sntttas bifereta uel numeras licet varia ra

tionc habeat a continua quatitate: fitq? genus fubaltcrnu quat itatis ab
'ea diftinctiirhxctnduogcncra hiitmagnaxtcrfe coucnicntiain multis cCoparafio
pprictatib?vt in pportidib?:ppordonalitatit?:diuifi6ib?:pambns ali 4 “ 5

quotis.&aliis mttisqtnno aque prio mrtitudiniSi magnitudini coucni 1
unttfcd prius pfcctius & fimplicius multitudini: dcide p attributionem
ad ca coucnircpbatur magn itudini. f. feciidiia liqua rone nueralc -Hoiu ounargumentu (|rg ^

clarilUlnu c figura que vtrifqj quatitatib? cois c.na & numeri aque atq; fupficies & cor ^',a 6 , pm
pora figurabiies funt: fcd nxicri puri? & fimplic!?:na eudem nucru cotingit fimul linea imuife c*v
le fuperficiale &folidii ciTeuino circulare di quadratix cubicxxSi fphcricix vt .6 4 q oia uul

PRIMI LIBRI ARITHMETICAE

Ia cade fupcrficics nnlluqj idc corp9 fimul hr e pot.Igitur poftqj de aliis pprietatib^ii ab
tf&uartafpe folutistii rclatinis diftii cftrcofcqucs crirvt ctia de figuris numerorii difcram9. Sed difere
ftcaq uiita tiois gra has coditioes i nueris formas vocabim9:imagnitudinib9 vero figuras, ad huc
vel cr " ^ cnfl ' veriffime exponitur qrta fpes pdicameti qlitatisapud ariftotele : q ea difrado

a * vocabulo forma vel figura appcllauit.p forma numerale deferiptione (ignificas: pfigu^
fojma im ra vero magnitudinis rcriadone.vnr6ncpri9difta forma ptulitfigurx.Eft igitur forma
mcralis <\d numcr j talisdifpofitrovcl nucr?tal'r difpofit9: vt figur x geometricx ffmilitudinc gerat,
vtqnaliquis mici 9vocatur trfagularis qdragularis aut circfaris&c.vficoftat oestalcs ter
minosadquartafpcm qlitads ptinere:& ^priaspalTiocsecnucrorir.quorugfia &fpes
funtdc pdicatnetoquatitatis.ua in hacpdicati6eternari9efttriaguIus.noucnan9eft qua
dratus.vigcfini9qnitus cft circul9.& fic dealiis.pdicaturppriu pdteabile de fuo fubicdo
< f NumcraIisfornixtriafutgiiafubaltcriiahxc.formalinealis.fuperficiaUs.& folida.&qa
eies tres * n his ficut in fuperiorifc9c6cretii & abftradii finonima funt:has formas diffinictcs dici^
Uineaiia mus.Lincalis nucrus cft qui ab vnitate exordiu fumesip cotinua vilitatis additione pcc
laolre di* ^if crelccdo.SUaliseftoisnuerusfiuc par fiueipar.vt.2.5. 4. Dicitur aut linealis nucrus
tta iit linea a< ^ fitiiilitudine linex geometricx: q imaginarix I1C5 no rcal'rdicitur fieri ex cotinuo fiu
lis, xu pueli: fic & nucri finguli ex codnuofluxu vilitatis rcfultat.Et debet feribi niicri linea

les p Cingulas vilitates fuas i vna ferie difpofitas ad modii lineae, ita q> tot piidis feribatut
nucrus quilibet linealis quot vilitates babct:no aiittot? micrus fimul vno iolo C3redere
vthaftcn^ficbativtbinartfiic .. tcrnariPfic. . . quatcriiari?ffc .... Iftccni e naturalis
foimcllne modus feribedi nucrospif illos caradcrcs nucrales ars huana iuenit 116 natura. Hui9 pri
fintte 60111 1111 g cncr ‘ s formx nucralis ifmitxfiit fpes tot.f.quot pofitx ffit fpes fpccialifilmx nues
rorii.S noiantur fic linealis dnarii vnitatu. lin calfs triti vn itatii.linralis quattuor vnita
tii ftc.fcd de his fatisrquia ficur apd geometras linea quatiicuq, tciiata fuis ex'rcmis 116
Siicf/clar dicitur figura neqs ei9pprictatcs dcnioftratrficapud arithmeticos pania cft cura de nue#
fo:nw4dlit ris linealib? nullafqj eorij .pprietates demoftrar. Superficialis nucruscft qui p fuas vni*
t.itcsiplari3 fupcrficicdcfcriptPlogitudinc 6! latitudine h 5: vt fenari? fic feript? : : : Et
ficut x geometria ex fluxu Iincx i fcipam vel in alia imaginatur fieri fiipficics: vt hj E ucU
dcsiniccudolibroificiarithmctica exduduvclcxadditiocmicri linealis adlcipm vel
ad aliunumcru lineale .pdudturnuems fupficialis.vtdudobinarioin icipm ^ducitur
quatcrnari?:na bifduo fut quattuor qui cft nuet? ftipficialis. fimifr addito binario ad ter
narixifit quinan'9 iupcrfidalis numci9.dudo ctia binario i ternarifi pdudtur fcnari9fnp
ficialis nucrus. & fiede aliis. Vn pj ro quare talis forma nueri dicatur fupficialfs. tu quia
,pducitur ex lineali ad lineale vt fiipficics i geometria .tii quia p fuas vilitates dcfcript9 16
gitudinc & latitudine cxhibjadmodu fupcrficiei geometricx fj altitudine noh5 de qua
in nueris folidis dicem 9. Diuidituraut fiiperficialis autplan9 nucrus p irin itas fpes a ter
fofe fiiprt nario initui funi ctcs. hx funt: friagularis:quadranguIaris:pctagon9:exagon9 &c.S ras
deilsfpm circularis micrus.Binarius em 116 pot ce nficrus fupficialis:tu quia ex folo fluxuvnita

n,le tis ^ccdit admodu lincx.tu quia quomodoctiq? feribatur fux vnitatcsp fi 11 gula piida:fo
CfiSguia logitudinc hjSnulla latitudine.Triagularis micrus e qui p fuas vnirates certo 1116 def

tis tora <jd cript9iplanotria latera eqlia moftrat:vt hic . •• Hui9gnis ctia futffinitx fpcstq fic noiaf
Erifluguia triagulus hfis vnaunitate in quolibet Iatcre.triagul9 hns duasunirates in quolibet latere
ristorme ^eidc tres & quatuor &!c p naturale fericnumeroru.qocs fpes facile iuenicturp cotinua
additione nucrorii naturalis ordinis nullo dimi flo. Vfi prini? trianguloru cft unitas no
quidc rcal’r 8dn adu^cu ipa 116 fit nucrus iiipficialis:imo neqj lincalisifcd folu pfiftua^
3imfu'onu h's}fcd cft triagulus folii J11 potctia:& cade ronc 111 oiin forinarufupcrficialiu gfiil 9 ipa
merorfipu itiiitns primulocuobtinebitaiocabitiirq; prim9quadrai9prim?pctagon96:c.hns,l.iin5
ius foemz vnitate in quolibet latere. dimiiTo ergo hoc primo triagulo.Sccudus cft tcrnari^^dud?
ex aggregatioe vnitatis &binarii:vn 8f duas vilitates I13 i quolibet latcrc.Terti9 cft fena
rius pdiftis duob9 addes ternariu.& tres vnita tes hns i quolibet latere. cft dena

PARS secvnda deformis nvmesorvm

t itis p additione qternarii ad pccdctcs:h jq$ qtuor unitates I q°Iibct latcre.Sffic de aliis. Qjia
dragularis nuci 9 e q p fuas vilitates fparfi dcfcript9qtuor lata ofidit: vt : : Hui9gfiis iut duae
fpes fubaltcrjix peipue:^ niicr9qdrat?&nuei9 altera pte logioriqdrat? nuerPeft qui oia qs-
tuor latera cqlia hj.di diuidif p ifinitas fpes fient & triagul? variatas ex nucro unitatu q iut
in quolibet latcre.f.vna .dux.trcs.qtuor Se. Altera pte logior niier? eft qui nohs oia latera
cqlia f 5 logitudine hj latitudine maiore. S (i fitexcelTusI fola vnitate dr nuer9 alta pte logi
or:vt : : : eoq altera df de duob^quoruvnu imediatefequitur ad ali<|:fi aut i duab?autplu
rib9 unitatib? fit latcrii dria:dr atclogior.i.valdc Iogior.eftq; fora irregularis de q arithme
tici no curat.Gcncratur aut nucri qiiadrati ( ocs ex naturali fer ic nucrorii p additione vao i
terfcalariter dimitto cotinue.vt vnitnscprim? qdrat9.i.i potctia.cui fi addatur ternari? fiut
4-fccud? qdrat?:hi!s duas vnitates i cfiibj latere.deidc additoqnario fiut* 9.tcrti9qdrat9rri
um qj vnitatu i cflibet latere. S fic cofeqntcr p alios qdratos de quib? fupi9 data e alia regia
giiatiois corii p multiplicatioticcuiuflibj niteri lfeipm.vbi etia niicros altera pte logiorcs;
<fs vocabam9 logilaterosip ml'tiplicationc nucrorii pximorfi i naturali ordine iueniredo
cuim?.Pcntagon9 vfqiuquagulus nuer9 eft q fupficiali deicriprioe pfingulss vilitates! pia
no dc(cripi9 qiriq; latera cqlia cotinet.ciufq; fpes ifinitx giiantur p additione ex naturali fe
rienucroiucotinite duob9diniiiTis.vtaddit.ivnitatcad quatcrnariufiut.5.niicr9pctagon9
quib9 fi addatur fepte fiiit.i 2 .ter ti? pctagon9:S fic de aliis. Exagon? vf fexagul? niier? eft
qui cede mo vt fnpiores dcfcript9 fcxeqlia latera exhibet. Giianturqj ei? fpes ex naturali fe
ric nucrorii trib9 dimiffis.cptagom qtuor dimittis. octogoni quiqt dimittis Sc.GircuIaris
nuci 9cft q ex aliquo niicroi fcipm diufto < pdufl9:in eiidc inicru defint a cf pduccbatur.Sfe
h; admodfi circuli i geometria cui9 finis reddit ad prldpiii .tales nucri ex qnario Sfenario
Tmguli.1.5 6.10.15.21.28. folii orifiturvt.25.&.56:Scqtnr deferiptio o^iftarfi lpcrii fil‘.
Quadrati.1.4. 9.16.25.56.4 9. Suraur pdiftarufpcrii forx fupficiarniierorii pprietates
Alfa pte logiorcs. 2. 6. 12*20.30. multx*; earii notabiliores hx fiit.Prla e qmerito 013
Pcragoni.1.5.12.22.55.51. fperu iftarutriagnlarisniiet9cprla qiriagfiatioib? Srcfqlutf
Exagoni.1.6.15.28.45.66 toib? aliarii fempeft nece ttari9. na ocsforx nucrorii fibi pxle
Eptagoni.i.7.i8.34.55.Sc. fiprimiipnoSfeciidiifc3o:SficdcIccpsnuerosc6parauc*
Circularis nucri. 1.2 5.36. ris:triagularifc9nueris fefefuperant. ergo cxtriagulis giiantur
i triagulofqj rcfoluiitur.vt prini9 triagul? tcrnari9 differta prio quadrato p vnitate q e tria
gulus.S fcciid9 triagulus fenari9 differt a fctfo quadrato lioucnariop ternariu q e trilgul?
S terti9magulus.f. lo.fupatur a tettio qdrato. 1 6.p fenariii q eft triagulus: Sfic de alii s fcqn
tib9.Eadc copatio erit iter primii quadratu S primu pctagonu.iter P5 Spm.itcr tcrtiii Ster
tiii:&ficdcaliis:qicifdc triagulisdiffcriir.f. vnitate. tcrnario.fcnario Sc.Simirrpntccp.iri
petagoni ad cxagonos.S illi ad eptagonos.S fic dealiis. Sicut etia i geometria triagulus eft
pria figurarii fupfcialiu excepto circuloicja dux reflx Iincx qjtiiciicp applicatx ad agulu 116
pficiiit figura.vn oes alix figurx gcometricx ex triagulis fuit i triagulofcp reloluxitur : vt a
lias videri h 5. Sepa .pprietas q qlibj fora nucri fupficialis p additione nucrorii naturalis or
dinis como cf pdixim9 gnata: tot vnitates h5 i cfhbct latere fux deferiptiois ex quot niicris
aggregatis gnata cft.vt ternarius aggregatur ex vnitate &binario.i6duasvnitatcs h5i quo
libet latere triagulari.fenarius feqns t res vnitates cj[ a ex tribus aggrcgatur.f.vnitatc binario
dC ternario. &ficdcaliis*Eadc ro eft de quadratismaqtcrnarius h5duas vnitates i quolibj Ia
tcre:qa ex duobus nuetis aggregatur, vn itate. f.& tcrnario.nouenarius I13 trcs:^a tres nue
ros aggregat ifna giiatoe fiipaddes duobus primis qnariii.Pariformif fehfit nueri petago
ni i fui s latcribus.ua (Jnarius aggregatus ex vno 8 i qtuor duas vnitates I13 i quolibet latere*
duodecimus tres vnitates: & fic de aliis.Tcrtia ,pprictas:fi quadratus quadratu multiplicet
nudin^duftus nue.tus fcp eft qdratus.maior tfi&alius ab eis : vt nouc quater fut-56. & fic de
aliis.Qjiartapprictas.finuctiis altera pte logioraliii altera ptelogioremultiplicet.fcrtius
altera pte logior Ide pcreatur.vt bis fcx.funtM 2.& fic de aliis. Qjaita pprictas q fi 'qdratus
multiplicet altera pte logiore vel ccotra :pduft? minicrusuieq e quadratus neq; altera pte
logior; vt bisquatuor.S.&ficdcalus.Sexta pp rictas q ois quadratus ex duobus (ibinx^

0twdrS
Qislarte tot
mo (it.
Siuadrata
foiir.n.
Sltii-fl j?tc
longiot.

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dratoifmOc
rorn 1 ? addi
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5 nu£tio at
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SnefWaK

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SHCVNDI LIBRI ARITHMTICAE

fuprapofitfs tfiagulis fimradditis gfiatnr.vt qternari? ex vnitate & tcrnar/ouiouenari? cx
3.&.6.pariter.i6.ex,6.&.io.Eader6neois petagon? exduob? eii pximo pcedetft^nucris
gnatur altero triaguIo&altcroqdrato:vt.5.ex.!.&.4.Simirr.l2.ex.5.&.9.Eadelege exas
gon? ois ex trlagulo & pctagono.oifqj eptagon? cx altero trigono altcroq; exagono .pcct*
dir:& fic dc aliis.quo fit vt oes forx fupficiales extrigonfs cofurgerc:& in eofde refoltii faci
limedcphcdatnr qd no foliiadpiftagorica:fed ctia ad platonica doftrina irelligcda magui
efie momenti reputatur ab oib? doftis.haftcn? igitur de nueris fuperficialib?.

Caput fccundude numeris folidis vel corporeis*

Olidus nuet? fiue corpore? eft q fparfim p fuas vnitates defeript? Iogitudincdatitndi
J^/iie: & nltitndine^q craifitudo vel pfuditas appcllatur)hre vf:trinacj difteditur dime
li6e.Q_dvtfacili?itelligatur:rcppetam?imaginatione geometrica deimagiariadeferiptoe
vfpiuftoe cotinui ex idiuiftbilib?.q licet i rc nulla fit: vtilis e tn imaginatio illa ad multa rc
ftius itclligcda.nccpptcreafcietia: mathematica: fiit deceptorie imaginares qdnoeft.qavt
ariftoteles h5 .i-phificoru abftrahctiu no c mcdacm.ficut ergo cx fluxu pufti Iinea:8i ex flu
xu lineae fupficie defcripfim ? ta in diferetis qji corinuis: fil'i imaginatioe cx fluxu fupfitici
cralfitudine & corpuietiadefcfibere poterim?:vt Euclides facudifiimc docet i.n.Iibro fu e
gcotnctrix.fi ergo fupficiale nucrxi alique ad fcipm vl‘ad ahii aut addidcrimPautmftiplica
uerim?:folidunueruidec6ftituem?.vt bisqtuorfut.8.qcftmler?folid?:&ficdcaIiis.rcfh?
tfi imaginatio folidoru niicrorumultiplicatoe q; additioc c6cipitur:multiplicat6c inqj dic
duplicata:! q tres nucri pferatur:quoru prior logitudine.fcques latitudine: terti? vero pfu
ditate cxbibct.vt bis duo bis fut.8 .niicr? folid? hn9 duas vnitates in logu bftotidc in latilvt
hic : : qfiguraqdrat3fiitcrupimagiiiationedefcribaturialtil:habebitnilcr?illcetia du*
as vnitates in pfundiueritq; totus nuet?. 8.vnitatcs qsdfdm? bis duo bis:qa duas vnitates
bisiplanodcfcribctcsgdiiaslineasfecim?qternarm:q 0 bisdefcriptoipfundu:c6ftitm?cil
oftonal i?:eade ro eft dc iftis bis duo tcr.bis tria tcr.tcr tria qter.8 fic dc aliis.Nucri folidi y
niicrx funtfpcs:ncq; a nobisoes cxplicabiles.funt em <|da nucri piramidales.alii cubi, alif
aircres:aliicnnei.aliilatcrculi.aliiparalellipidi:vrvtaliidicnt parallel epipedi &c.&tadenu
meri fphcrici.Haril oim fperii fola pria additoc nucroru& diifinif &pcreatur:alixvero oes
replicata vt dixim? nui Itiplicatioe. Pira midalis nuci ?cft folid? cj cx aggregatoe pluriufup
ficialiu niicroru eiufdc fpei refultat.vt cx plurib?triagularib?niieris fitvna piramis. fimitr
cx plurib9 qdratis:aut ex plurib? petagonis naturali ferie difpofitis.vn eliciutur duo ccrtif
fima. Primu $ nilcroiu piramidaliii funt ifinitx fpes variate iuxta fpes niicroru fupficia^
liu.f.piramistrilateraqfitex triagulis.qiiadrilatcracx quadragulis.pctilafcra cxqnquagu
lis Sc.SccJm eft facilis mod? gnati ois aut iuetiois mieroriiiftaru fperii qfult p additione fu
perficialifi qs oes ia nouim?. Sed piramis ita fc hj iter mieros folidosficut fc habebat triagu
lus iter mlcros fugf/cinlcsiqa ipa eft prlcipiil oijfolidarii formam. debetej; i ei? defcriptioc
fieri talis imaginatio q vnitasponaturfufpcfaiacrc.dcide fubca etiaiaere ponatur terna
rius.fub q’tcrtio ponatur fenari?. S! ficcofequctcr p oes numeros triagulares dcfccdedo.cx
eisoibus refultabit vna piramis trilatera magna viparua pm q plurcs vel pauciores triagu
losaggrcgat i fua c6poiiti6e:cuius piramidis agulus eft vnitas:bafis vero e vltimus triagu
lorii litb ea pofitorfi.Eodc mo c deferibeda piramis qdrilatera fi fubvmtatc cofcqcf ponag
qdrati nticri.&piramis petilafa fubvnitate aggregat iiiierospetagonos.&ficdc aliis.vt hic.
Trianguli. 1.3.6.10.15. Piramides trilatere. 1.4. 10.2,0.55. Eftauteoim piramidalix^hxc
Qjtadragri. 1.4* 9.16.25. Piramidcsqdrila. 1.5.14.30.55. ^prictasqvnaqqjpramistot
Pentagoni. 1.5*12. 22. 55. Piramides peti. 1.6.18.40*75. vnitates hjiquoliby larerefux
altitudinis cx quot fupficialibus numeris aggregatur. vt trilatera piramis q eft.4. I^dim
vnitates in altitudinc.dccc h 5 tres vnitates &c. SimilV quadrilatcra piramis. 5 .113 duasvnita
tes in altitudfne. 14. habet tres vnitates &c.Eode mo pctilatera piramis.6.habet duas vn i*
tates.18.tres vnitates iquolibet latere fux altitudinis: & fic de aliis.Scirc ctia oportet qfunt
qdapiramidcsitegrx:alixverocurtxvrmuicatx quas grxei coluros appellat.Intcgrx pira
mides fuut quas prius defcripfimus.fcd curtx diceretur fi cx pte aguli piramidis auferretur

PARS PRIMA DE FO RMIS N VMERO R VM.
aliqui numeri fuperfidales pcrtinctcs ad eius integritate. &tunc (i fola vilitas ftiprema au
feraturzdicitur curta pi'famls:fl aut etiii auferatur prini ui numerus fupcrficialis fubvnita
te pofit?:vocatur blfcurta piramls.8i fi adhuc auferatur ali?fequcs fupcrficialis: vocabitur
tricurta pi ramis Si fic c6l'equentcr.& hoc verii eft in oib'- ) fpcciebus piramidaliu nueroru.
de quibus ia fatis.Gubicus numerus eft qui cx duplicata multiplicatione alicuius nueri p
fcipm coii furgit. vel clari? fi in replicata ihultiplicationetres numeri equales ^feratur vt
bis duo bis funt. 8 *ter tria ter funt, 27 .& fic de aliis.Hui? fornix prima .pprietas eft q> qli
bctctibPhjfexfuperficies equales. ofto angulos folidos.&duodccilincasfiue latera eqlia.
quomodo aut debeat imaginari hui 9 formx & aliarii fequentiu corpulctia vel altitudo q e
tertia dimcfio:fuperi 9 in principio hu^cap.dcchrauim^.Scdapprietas q> fi cubic?mler?
fe vel aliu cubicii multiplicet.femp inde pducitttr cubic? maior eis .na ofties. 2 y.funt. 2 1 6
qui ctiaeft numerus cubus extrib? fenariis replicata multiplicatione pcedens.vt dicedo
fexies fex fexies.Cunc 9 numer? oppofitas coditioncs h 5 ad cubicu .quia omnes tresdime
fiones habet incquales:fitqj cx replicata multiplicatione triti mimeroru incqualiii.vt fi di
cerem fexies quatuor bis funt. 48 . vel fic.quinquies quatuor ter funt. 60. Iftc numerns a
grxeis vocatur fcalenos quod latineeftgradatus.dicituretia fpernifcoh.i.cunc? ad modii
illi? corporis cui?longitudo eft maior latitudine. latitudocp maior altitndine.Aficr nume
rus eft ad modu corporis ferratilis quod; vocatur tabula ercfta iitaltum : produdtnrqj cx
replicata multiplicatione triu inequaliuded aliter cp cuneus.na in a flere longitudo eft mi
nor latitudin e:&latitudo minor altitudine, vt dicendo bis tria quater funt,24. aut bisqua
tiior quinquies.funt.40.8(c.Laterculus’ numerus deferibitur admodulareris quadrati cu
ius Ion gitudo& latitudo equales funt fed altitudo ininoreis.vr dicendo ter tria bis fut.18.
vel quater quatuor bis funr^z.&c.Paralcllipidus micruseftadmoducoiuuxquadratxcii
ius ion gitudine Si latitudine equaiibus alritudo maior eft: vt fi di dicam bis duo fexies. fu t
24.vl‘ter tria ofties fant.72. &c.Prxter has formas folidas funtalix plurimx fpecies figu
rx latcratx tum regulares tiitn irregularcs:de quibus non eft modo dicenda per lingula;
fed ex geometria funt requirendx.Sphericus numeruscft cubicus talis.qui admodti fphe
rx terminatur in numerum illum ex cuius mulriplicationeproceififcficnt &de circularib?
diccbanms.vt quinquies qtiinq, quinquies. funt. 12 5. vel fexies fex fexies. funt. 2 id.&pre
terhosvixalii reperientur:nifi vellet quis vnitatem & circularem Si fphericum numeru
appellare: quia per^omnem multiplicationem reddit ad feipam.vt dicendo femel vnuin.
uclfemel vnum fcmcl:quidani etiam dicunt q>. 6 4. eft numerus fphcricus quia a quater#
nariocubica multiplicationeprocedensad quaternarium terminatur.fcdapudarithineri
cosnon confueuitnumcrusfphericus appcllari:nifiillecuius quadratus etiam fuit circus
laris.hoc autem non habet prxdifti numeri quadratus qui cft.i 6 . incipiens a quaternario
& ternarius in fenarium.

£aput tertium Oc comparatione quadrato?u

& altera parte longiorum numerorum.

E FORMIS ergo mimeroru tam multiplicibus fatis diftum fuiflfe
pufarcmus:& fine huic tractatui faceremusniifi quia boetiusex nu
meris quadratis Si altera pte logioribus magnum facitin philofos
phicis theorcmatibusfacrametu.Ideonediuina ei?imaginatioiu#
tilis videatur a nobis reputata : breuibu s ea b ic coi ligem? verbis .In
primis anotates nueroru quadratorfi Si altera pte logioru hac no#
tabile differetia:fi no ex multiplicatoevt oli:t"5 cx additoe nueroru
eos voluerm 9 gnarc:q> qdrati nueri ex naturali ferie ipariu: f5 alta
ptelogiores cx nueris parib? feriati ordinatis cotinua additioe pcrcatur.vt ptjhic.

Cubfca fot

ma4d iit.

(Cubice fot

me.ppiicta

teamie.

T^ditia

L^ipileU*

£one’ nile
roe4d fit

anVrnde
ruo 4d fit

iattreul*
quid eft.

Iftaralelft
pid^dlit ,

Spherica
fozmanftc
roiuqd «iit

©Fle

iftarfi foH
rfanie.pin»

secvndi libri arithmeticae

Impares. 1.5.5.7,9.11.15. Pares. 2.4.6. 8. 10. 12. Ideo numeri quadrati ex ipa
Qc&z bfla Quadrati. 1.4. 9. 16. 25-36. Alfa pte logi. 2. 6. 12.20.30.4 a. ribus pereati : quorii vnitas
prima radix eft Stfmutabilis natur»:oia latera equalia habcnt.fed altera parte logiores ex
. paribus ortu haberes: quorii binari? primus eft & mutabilis natur»:latcra inequalia hnt.
Clnfra» eQ Immutabilitasautvnitatisexhocoftenditur <j> quicquidipfa multiplicet prior quatitas
iaWU«! m ° n ° nniCatur - vt ^ cme ^ vnus eft vnus.fcmel duo funt duo.fcmel tria funttria &c.Mutabih'tas
Binaria ai ' f binarii eode mo pbatur quia in quecuqj numeruipfc ducatur prior quatitas mutatur
alteritati» &alia pducitur.vt bis duo funtquatuor.bis tria funt fex &c.eade ratio eft de oibusaliis mt
p;lndpfu3 nieris poft binariu.Nimiriiergo fi binarius alteritatis principm dicatur a philofophis: tu
quia eft primus numerus qui ab vnlt 3 te recedit.tii etia quia eft primus corii qui fua multi
plicationc numeroru alteritate caufant.Ergo ex iuariabilitatevhitatis prouenit q>quadra
ti numeriiparitatis natura habentes:oia l 3 tera habeant equalia & vniformia. fed cx varia
bilitate binariipceditq> altera parte longiores numeri paritatis natura habentes latera ha
beant inequalia &difformia vtdiftucft.Patetetiatetragonos numeros participare natu?
riucabku rarn ipariiinuqnia fafta cotinuatione duploriiin vna feric VM.2.4.8.16.32.&C. vcltriplo
loiu^prte numeroru. vr. 1,3. 9.27. 8 i.&c. numeri quadratus inter eos femper in loco impari iuc*

weiwiawr nitur.Cubi etia numeri imntabili natura participant: co q> per additione ordinata non ab
aliis qs ab iparibus numeris producuntur vt polita feric imparili. 1.3. 5. 7. 9. 11.15.6ic. pri*
mus corii eft cubus.f.vnitas. deinde duo fcqucntes fimul aggregati faciunt ofto qui eft cu
bus.&trcs fcquentcs fimul fumpti producunt. 27. qui etia eft cubus. & quatuor fequetes
funt. 6 4. n umerus cubus Sfic de aliis per ordinem. Hac fuppofitadiffercntia:dicam 9 vite
rius q> iftar du»form» nnmcrortl funt ta principales in negorio arithmericoificutcorrup
•jpiidpaier tibile & incorruptibile in toto vniuerfoivbi omne qd eft his duab 9 differetiis coprehedi
fofenfitro tnr.quicquid.n.ia mildo eft: aut eft natur» imutabilis ciufdeq; fubftatix vtdc 9 agel 9 ccelii
aut eft mutabilis variabilifqj natura vt clemera &alia corpora naturalia raiitcx hisduab?
naturis copofitu vt homo. Ita etia i numeris arithmeticis quicquid eft vel ipar eft cx quo
JEtesula e ,P ce dit quadrata forim:vel parvndepcelfit altera parte longior: vel ex his duabus fofniis.
neralfe procedcns.naperniixtis eis & certo modo coparatis:ex ipfis nafcuntur omnes numeri SC

numerorum fpecics.omncfq; proportiones. & etiam numerorum fornice fupradift». at»
qj proportionalitatcs inferius diccudx.Difponanturcoim quadrari numeri omnes i vna
feric: & fub eis altera parte longiorcsordinati.vthic.

I^slina co Quadrati 1.4.9. 16.25.36.49. Si prinul altera parte longiore bfnariu primo tetrago,
patio ecim Logllatcri. 2. 6. 12. 20.30. 42. 56. no.i.vnitatic6paraueris:diffcrcntia erit vnitas.fi fecijL
mtrls dum fecundo:diffcrctia eft binari 9 .ii tertin tertio. ternari? &c.ocs numeroru fpes indejp
Be ^pottl duces. &:/n eifdc c6parationib?iueiiiesprimopportioncdupIa.dcidc fcfquialtcra.poftea
ottibus. fcfquircrtia.& cofcqucntcr oespportiones fupcrparticularcs.ltc f» fccundil quadratu pri
mo altera parte longiori . & tertiu fecudo.& quartum tertio. & fic deinceps tranfuerfaliter
^nul rWtP c dP arailcr i s : ca fdem pportionesinuenies.oefqj numerorum fpecics ex corii differentiis
2> e nQeris P tcf vn itate eHcies.Adhiicaiitm ferie quadratorum differenti» funt numeri impares na
Iterum. turali ordine:fed in ferie altera parte longiorum differentixeorum funt numeri paresper

ordine naturalem .Ite permixtis tetragonis & longilatcris alternati itaq> cx duabus feries
bus fiat una fcrics.ut hic. 1.2. 4. 6. 9.12.16. 20. 25.30.36. 42. Primus longilaterus adfuos
em collaterales quadratos continuat duplam proportionem. fecundus longilaterus fcfquial*
teram copulat ad fuos quadratos.tertius fefquitcrtiam.quart 9 fcfquiquartam:& fiedealiis
proportionibusfupcrparticularibus.Ex quorum iterum differentiisnaturalis numeror
rum feries ptocreatur.In premiffa etiam ferie permixta continue comparando quclibet
num crfi mediil ad fuos pximo collatcrales:apparcbiit qncp drix fimiles & pportioes dis*

• nerfxrqfiq? ecotra pportioes fimiles & drix diuerfx.fj crcfcut differenti» fcd5naturalcm

ferie numcrorfi.fimiliter & pportionesa dupla incipientes per omnes fpes fupcrparticu^

PARS PRIMA DE FORMIS NVMERORVM.
lariil pccdunt.Eade imaginatio occurret copando differetfas nuerorfi in talf ferie politor
ni: ad eofde niieros qoora funt differctix.No folu aiit ex quadratis & altera gte longiori c - psJ

busadinuice coparatisnafcutur nticroru &,pportionii fpes ut pdifiucftifed ctiaalixnuc u 0 &e foffs
roru formx.additis.n. fimulprio tetragono qui eil unitas:6(piIo altera pte Iogiorc bina nCerorom,
rio refukatternarius(Jcfttriaguliis.deide addito fcdo quadrato ad primfi altera pte logio g> e tr (g gu r
refitfccudustriaguI9ienari?.&!ficc6fcqueterexadditi6e duorii pximorui ferie pmixta
refultatnucri triagulares fuo ordine naturali.Itepgnatioe qdratorn ex pdifta ferie pmfx JSeqdraifa
tarrepetedx futduxpprictatcs f/gurx magnx pportionii fnpi? pofitx in cap.5.pccdetis
traftat?. f.pprietates tertia & qrta: hac fafta dria:cp vbi cx duob? qdratis & vno altera pte
Iogiorc tetragon? pcreatur.illc iemp eil numcrPipar &ex ipari radicepcedesifj qn ex du
obus alfa pte Iogiorib9 8£ vno qdratocoficitur tetragon?:ilIc ip cft par & a pari radice p
cedit. Ex Unca infup qdratorufcorfuocs logilatcri ,pcreatur:fi cuiuflib5qdrati Iat9 ad ipj B>t alterae
addideris vel ab eo fubtraxcris.ois em nuer9 ide refultascrit logi later 9. Denicg pportioa* telogioiib" 3
Utates:ad qs tralitu facim9:ex pmixta ferie Jjdra toru&altera pte logioruhri pfit: qnquidc g^iope -p
i eis datur modrix files vtdixim^&pportioesdiuerfxrqdptinet ad pportioalitatearith poitionalf
metica:m6apparetdfixicqlcs8Cpporti6csfircs:qcpportionaIitas geometrica vtdicce tatibua.
tur ifra. Sed de his ia fatis:&p coclufioc hui? traftat?addam9: qjfupradiftx oes fornix nue
roru debite appUcatx magnit phtis theologis afferre pnt veritatis monimentu. qdcrn
ppri?& veri9 dici potrqj triangulare prima formaru ntimeralimaqua oes alixpcreatnrvt me raiiC ad
dixim?;ccdiuinacentiain pfonis trina aq oescreaturx pcefferut.qnihiIomin?trinitatis res huius
Icrcatxveiligiuhiit.qa vtariilotcIescxpiftagoridsalIcgati.i.lib.deccelo:cuiuflib5rcicrc mundi
atx pfeftfo cofiftit i trib?.q poftea btus augtiftin 9 declaras dicit cpolsres cofiftit imofpe
& ordine. 8£ allegat illud fapictis q>dc9oia coftituitinucro & podere & mefura. alix vero
numerom fornix tafuperficfalesVjjfolidcquafrfingulis creaturis diftribucdxfint: qa ni#
mi slongu foret cnarrare;cofu!to rcliquim? ad cxcrdtiu ingenioforu iuuenu.

Trnftatus fccudus fecundi libri de pportionalitatibus numeroru & earu
proprietatibus, habet capitula quatuor.

Caput primu de pportionalit a tc arithmetica & de pprietatib9 eius.

■ O NSEQ.VENSeft ad pdifta oiaq erat de pportionib? di formis numcroiu
diuerfis:utetiadcppor.tionalitatib?brcuitcrtrafigam9. cx cctinuatioc.n.p*
portioun & formaru nueraliu qs fepi? dixim? i pccdetib9:pportfonalitatcs fi
eri qj manifeiliffiniu erittfl vocabuli diffinitione pmittam9 tale. Propottiona i^jopcutfo
litas eil triti aut pluriu trameroru flmul fuptoril habitudo vt. i . a. 4. eil vna pportioalitas «nlttne .{d
fifr in illis. 1. 2.5. 4.$ fic de aliis multis. vn p5 differctia pportionalitatisa pportioe: quia ^ bl f
hxc dnoru trfi nuerorn erat copatiotilla vero triu aut pluriu. Ij apud phlos pariter & theo tert □ ,ppo:
logos iila duo noia fxpi? cofundatur:& altem p altero accipiatur.Illa aut diffinitio coisp tiouc
portionaIitatis:q> cft pluriu ^portionu habitudo vel colleffioautfimilitudo: ndoi.ppor*
tionalitatl coucnit vt patebifdcarithmcticapportionalitatc.Proportionalitatis cois hanc
difiunfta paiTione autpprictate aflignamP.qa ols pportionalitas autcotinua aut difeori#
nua eiTepot.cotinua drpporrionalitas qfiintrib? nueris accipitur.in quibus necciTc e vt "nica
medi9tcrius reppetatur bfs: fxniili coparatioe fe hfis ad extremos. difiuftavero dlpportio cta 0.
nalitas accepta intuor nuerisad min?:ubi nullus mcdiorubiscoparatur fj tm femcl.f.vn9
mcdi9 ad unum extremii & alter ad altcru.na fi edtingeret pportionalitate facere cx qua
tuoraut plurib9 nueris i qua (Jlibet medioru bis coparctur.f.femcl ad extremii &femcl ad
alterumediutilla poti9 cflet cotinua pportionalitas difeotinua Ij in pluribus qj triL9iiu
meris accepta. Proportionalitatis fpes plurimx funt & nofacile detcriabiles.t^apud anti^ rpecplnres
quosphlos.f.piftagoricos folx tres hui9gfiis fpesponebatur.f.arithnietica.gcomenica. ipiopouio
&armonica.q ctvfqj ad platone arilloteleqp m a fert folx.&vocabat cas medietates aut mc
diocritatesr^a gerutfilitudine moraliu virtutn qru qlibet c mediocritas iter duo extrea al ^jctawsna
terfi p exceflum alteru g defcftu;ficut in pportionalitate datur admiu9tres uuer i:un?mc merorum.

SECVNDI LIBRI ARITHMETICAE

di? &duo extremi' qtiorii alter excedit m cdiu alter vero deficit ab co.poft iftos aut phfos
alii iapietes fecuti funt:fepte alias fpes huiPgiiis addiderut p dncctes eas ad riticrn dena
riu: qv/debatur eis o^alidnlpfcflilTimPcoq’ fltvltinmerhismicroru.napoftdcnarmocs
niieri iiitreppetiroes denarii aut fuarupartiu. Verutfi fi modii mulriplicatdis iftaril ppor
tionalitamfubtiliteraduertam^plnres^portionalitatufpesqjdcceiniaginariiporcrim?
a r | fimeti tnoda in fine ifti?traftai?explicabim?.intcri aut errea primasillas tres fpes intendes

ca^poitoa mus diffinitiones & pprietates cani pquirentee. Arithmetica .pportionaliras eft triiiaut
lUaedd fit pluriumleroru talis aggregatio in quaneglcfta ,pportioniiequaIitatc:cadc & fimilis difs
ferentia iter niierosobferuatur vel atteditur:&hxcmanifefta eftin naturali numeroru fe
rie:vbifempduorupximorixdifFerctia cfivnitas. vr.1.2.3,4.5.6. 7. SimifWnnaturali
feric n unicrorii pariu feorfum: vel Iprriu feorfu5: vbi femp difFcreria eft binari?.vt pj hic
Pares. ^.4. 6. 8. 10. Impares. 1.5.4* 7- 9- EadcpportionaHtasihr in naturali ferie numes
rorii pariter ipariii de quib9 fuperiP dixim? q> quilibet corii diftaf a firo pximo p qua tuor
vnitates.vt. 1.6.10.14. 18. &c.Hacetianumeroruferie in arithmetica prafticaq dr algo*
^uateef rifni? velabacuspgrcflioncnumcroru vocat. Dicitur aut talis numerorii aggregatio ,p
antijmcii p ortIona i, t3S arithmetica :iio cp ipa fola in nueris cofiftat & alite oes in magnitudinibus:

qfiijdc oes .pportioa litatu fpes i numeris oefcp i magnitudinib? iucniatur:fed dr arithme
tica quia folu attedit nile r ii vnitatii cxceffus iter pricipalcs ntleros qui coparatur. In geo*
metrica vero pportion alitate fcquetc nocuratesdc numero fllaru vnitatu p quas pricipa*
les numeri (efc cxcedut atq? cxcedutur.pricipalV attedim? quota pars fit ille exceflus ref*
peftu niieri excedetis vel exce(Ti:& hoc fiuc exceflus ille fit vnitas flue binari9 flue ternae
riP&Ic.vn 116 imeritohxc pportionaliras arithmctica.i.nficratiua exee (Tus dr : fcques vero
^uatuor § eomctr * a, '.mefuratiua ciufdc exceflus. Aritbmcticxpportionalitatisqtuorpdpue fiit
i|<ta pprietates. Prima cade cftcu quart3 pprierare nucri pnriteriparis.f.q> fl medi? terminus
tes.pma. liicrit vn?:illc coniunftorii eft medietas extremorii. fl aut fiicrit duo media illa fimulfum
. ptaadequattirduob^cxtremis flbi adiiift/s r.i i pportioa litate cotinua qj difeot/nua.

:«*P «aa 2> I0 Scda^prietas.Lpflcut^libetnuuiet^in hacpporrionalitatefchj

vt. 2.4.6. &.1.4 .6.8. ad fcipm:ita fchntdrix ad differetias.na vtrobicp cqualitas rep*
Svppifeta P entllr,c l3 nocft poflibilc in aliis ,pportk>nalitatib9.hoc pj in pdiflis exeplis vbi oes dif*
e ferentia: fiit dualitatcs. Tertia pprictas:quaprinionichomac?iuenit:cft.^ illud qdfitex
medio nuero in feipfum dnfto mai? eft eo q£f pdueitur ex mulriplicatioe extremoriiad i*
uice.& exceflus peifle eft tatus quata eft multiplicatio vni9drix p alia.de diffcrctiis loquor
medii ad duo cxtrenia.vt hic.3.5.7.ex mult/plicatidemediipcedit.a^. ex multiplicatioe
aiit extremorii fiiit.ai. exceflus aiitilli?ad iftii eft quatcrnan9;quc,pducit difFerent/arum
multiplicatioq funtduo binarii. Ethxcpprietasctia vera eftin qtuor numeris fiuc fit p
portioalitas cotinua fiucdifcotimtaidu mo extrema ad vnfitm media copatetur quodeu
i5illoiuponatiir.vthic.5.5.7.9.ex multiplicatoeduorii mcdiorii puenit.j^.exn.ultipli
catoc uero extremorii fit. 27. ^exceditur a pcedcte in.8.quata eft multiplicatio binarii in
qternariii q ffitdrix extremorii ad vtriilibj mediom.fiTrhic.5.7.8.io.nuiItiplicat/omc^
diorucft.5 6.cxtreinoni.5o.cxcefliis e fenan9,pduft9cxniultiplicat6e binarii in ternarm
•PP te. q fiit dr i.-eextremoru ad quodlibctmcdioru.Qjiarta .pprietas cp fii nunierishui9pportio
nalitatisno drias fcd ^portioes corii attcdam?:in minorib? nueris maiore 4)portione:8t
in maiorib9 minore mcnicmus.vt hic. i.2.3.maior eft pportioduoruad vnii quia dupla:
133 triuad duoqux eft fefquialtera.& fle de aliis exemplis.

Caput fc3m dc .pportiona litate geometrica & fuis .ppricfa tibiis.

(-y Icnt in arithmetica pportioualitate differeti.is equales numerorii attedebam?: fle in
geometrica pportionalitatc eortidc niicrom pportioes files & equales obfcruamtrs.
vn difFin itio pportionahtatis qua fiipi? reprobauim?. f.^portionii fi militudo geometri
cx pport/onalitati erit aptiiTima. Eft ergo pportionalltas geometrica tria aut pluriu niic
foru fi niffliptorii talis copatiout i cis I3 drix no fint eqlcs:^>portqcstn corii fiit filesS cq»
lts.uthic.4.6.9.flmtduxfefquialterx.&hic.3.6.i2.funtduxduplx:&ficdealiis.Exqua

PARS SECVNDA DE PROPORTIO n alit atibvs

-diffliiftionc dicitur pilo p geometrica pportioalitas exoibus fpcb? pportioru conflfttrt
poteft vtex duplis triplis quadruplis & aliis rmiltiplicibus.fimilitcrex fcfquialtcris. ief
quitertiis.fefquiqnartis & aliis liiperparticularibns. codcj modo cx fupbiparticntiL? rcr
tiaoquitas.feptimas.&c^cxfuptriparttctib^qnartas qtutas.ieptimas &c,&lic de aliis oib9
fpccicb? Scciidofcqtur q> nucri pariter pares feriati iupti fut pportioalitas geometrica, q
re 6 ! pprictates pariter pariiugeometnex pporrionalirati eduemet. facit etia ad hoc ppo (Quare 6 1 »
litii regula de cotinuatioc pportionii fupparticulariu i vltimo capite primi libri hui 9 fugi gconntrica
iis pofita.Qj iarc at ifta pportioalitas dicatur geometrica vl' mefurariua dixin:9i pccdcti
capitulo.qa ira biiifta pportioalitas fient & oes alix cft ptraftada i fcietia arithmetica que
admodn & I geometria, vndchseicadieftiua arithmetica & geometrica! pportioalitatifc?
no appellat icictias i quibo c 6 fidcratnr:fcd cofideratioes iter cxceiTus ntierorxi quos aliter Quattuor
invna & a liter ialia pporti6alitarec6fideram9.Htii9 pportioalitatis qttuor fur .pprictates
Piia fi accipiatur nueroru diffci etixfcorfni vna feriae :eafdc hfit pportioes quas & imcri
qnoruliitdifiercntix.vtbic.i.2.4.8.i6.quorodifFereti3cfnt:i.2.4«8.&c,Scaidapprie 2 ,ppjiera*
tas q fi pportioalitas geometrica fir ex tnlUplicib? fimflib9:diffcrentia mioris ad fuu pxi
imi maiore cft xqlis miori:aut multiplex mftiplicitatcpxio miori qj fit mrriplicitas eoril
de nueroru.vt fi pportioalitatis fiat ex duplis mior nuci? diffcrcriafibi xquali exceditur
a maiori.ficxtnplisdiffcrctia fi bi dupla. Ii ex qdrrplis differetia trfpla &ficdc aliis. Ter
tia pprictas quicqd pducitur ex multiplicatioc cxtremoi u nueroru i hacpportionalitatx
idc puenietex duftu medii vlnicdiom nucrotup feipos:& hxc fuit qtapprictas i nueris
pariter parib9.Q_iiaita pp rictas hm9 fpei cft q> ta in niicris maiorib9q; i miorib?cft cade 4 , i pp J ( C (af
& fimilispportio:hoc cxpfiehj diffinitio pportioalitatis geometricxfupcriopofitarpo
fenr hic addi qda alix ppricratcs hui9 mediocritatis gcomctricx.f.q? in termis ei"' licet ar#
gncrccoucrfiucpmutati&aliismodisdcqiiib^in geometria diccT,9.Notandu cft ctiaq> THibroa 3
interoes duos nuerosqdratospxiosfcmp cft dabilisvnPrcrti nuci? medi9 pporrionali dr
tarc geometrica m cis facics:<|a duas fimilcs pportiocs.h-jadriucros cxtrcmos:& tale mes>
diu facile iuenitnr fi latera illorfi qdratoru adinuice multiplicetur de quib? Iarcrib9 1 fu pio ^poiiiona
rcrraftatudixim? attendetesquot vilitates h 5 quil 3 qdrat?I latere fuo. vtiten 4 .&. 9 - cft luari
fcnari? pdvftus ex multiplicatioc binarii eu ternario q fut corti latcra.filV inter . 9.&-1 t>.
fur. 1 2 . ex mlViplicatioe ternarii en qternario q ffit latera corft.& fic de aliis. Sed iter cfflib?
duos cubicos pxios fut duo media pportionalia.i.fiVcs pportioes hntia cii extremis & ad .pbaf
fc ipfa.quoiii mcdioiu nueroru mior pducitur multiplicato latere cubi maioris p draiii
nuorisimaior vero medioi u cofurgit ex mrtiplicatioe lateris cubi mioris p quadratu mas*
ioris:quadrsta cubicoiti vocam? ntieros quadratos cade radicehntcs eu talib? cubiciv.late
ta arcubicorfi fut vilitates fuc altitndis.vt oftonarii qdratii eft. 4 .l 3 t? vero cft duo.lifr vi*
gclimifeptimi quadram cft. 9 . 1 at 9 vero 5 ergo itcr. 8 .&. 27 .fut duo media pportionalia
l". 1 2 .&. 1 S quoru primu nafeitur ex mltiplicatioe ternarii cii qternario .altcru vero pineis
tur ex multiplicatione binarii cum noucnario& fiedealiis.

Caput tertiit de pportionalitate armonica & de eius pprictatibus.

a VM oispportionalitascofiftatad minoitrib? nttcrisiptcrduas comcoparationcs
fupradlftas poteft adhuc tertia a (lignari: qua nec files nueroru differetias nec xqles
eorii pportioes obferuabim9:hac armonica medietate ccnfucrt appelladacu i9Jiffin irio ta Bniwfci
Ii* cft. Armonica pportionalitas cft rriii nueroru talis colligatia vbi qualis cftpportio ex
tremi ad extremfi talis cft & duarfi diffcieriarii iter fc:quartl maior e di ffereria maioris ad (u.
tnediti:nuor vero caru cft differetia vlcxccifus medii ad miorc vt. j. 4 . 6 .vbi ext remi ma
iorisadmrorecpportiodupIa.cjctiacpportio binariiad vnitate diffcrctix fc 5 maioris
Sf medii addifferetiamedii &niioris.fii‘r 5 hic. 2 ". 6 .cxtremoiupportio cft tripla & cade Snnonicc
cft dnaiuadiuicediffcrcntiaiii.eifde atnueris duplatis auttriplatis aut aliter mltiplicatis
femp cade pportionalitas apparcbit.Hniuspporrionalilatisarmonicxfirr quattuor rep
peri m? pprictatcs .pria q> t maioribus niicris ei9 cft maior pportio & in miorib? m inor.
p cotrariu ad proportioualitate arithmetica. vt p 5 in cxcglis fupcriorib?. Secuda pprie^ ,

SECVNDI LIBRI ARITHMETICAE

ivPpifetaa tas cp medi? terminus tota miorls gte miore fugat quota maioris a maiore fugatur vt hic
a^.d.tnedlus fugat miore medietate mioris .f.vnitatc: & fugatur a maiore medietate ma
ioris.f.tcrnario.huDcotrariu habebat .pportionalltas arithmetica vblmedl? terminatos
ta fui gte miore fugabat quota etlaful a maiore fugabatur.milla fafta rclatloe differentia
ruadmieros extremos .fed i armonlca medietate differetix c6parau.tr ad extreos 81 non
ad nuerti mediu.i geometrica at pportioalitate mediocris fit cogatio.qa vna differentias-
ru refertur ad miore numeru alia vero ad mediu. naibimedpnumer? quota gte miorls
l.ypiktas miore fugat:tota fui gte exceditur a maiore. Tertia pprictas q> in numeris pportlonallta
tis armonfex fuma q pducltur ex multipllcatloc duorii extremornj adiuice medietas elt
nucri pdiifti ex mftipllcatloe medii cu copoflto ex extremis vt ht'c.5. 4. d.ex mltipllcatlo
nccxtrcmorupducitur.rS.fed duriis qttuori. 9.qcftaggrcgat9 exextreis flut.56.nuer?

4. ^ctas* dup!9ad.i8i8tflc de aliis cxeplis.Q_uartagprietasq>armonlca mediocritas! niteris fuls

mufica giter & geometrica exhibet arinonicaivu no imerlto armolca vocata e. Dicitur at
hlonio ? 3d annonia cofonatla vocii acute 81 grauis i certa ronc nuerali.hxc at n5 e nlfl quicua

tftt 1 plcx^degfeftlscofonatllsloquor^vldelj dupla. trlpl3.qdruplaimultiplicib9.5tfefqaltes

ra.fcfqtcrtia.ifugparticularib?.iiaialiisfpcbuspportionutahorugeneruqjfcquetiu:vo
Smonfcvr ccs copara te no hiit pfefta cofonatla fcd manca & igfcfta.has at vocii proportioes fuprass
csror.antie diftas mufidfvt alias videri hj^fuls vocabulis mixte coguotatib?vocat.dupla:dfapafon
uutaqj!** 9 vc * oftaua.trlplardiapafon cii diapete vrduodcclma.qdrupla bis dlapafo vel qmdecima j.
Bicipafon, fcfqaltcra vocat diapete aut quarta:fcfqtcrtia:diatcferon vel tertia voce fupra vel ifra alia
E&iapafori, q 0 es proportioes cofonatiani muflcaiiii reperiutur irr nueris hui^pporrioalltatls armo
btr bfapafi l,lcx ^ ct,a differenti* coru conflerentur vt hic.5. 4 * 6 *n2 . 6 .ad. 4 e proportio fefq altera
pcinc. • 4- a d*?-fcfqtcrtia.6 .ad.j.c dupla.ternari? at differetia extreoriiad vnitate q e differetia
©iaieicro. medii & miorls tripla f^pportioej.fcd.n.refuiras cx aggregatioe maioris & medii eunt
coni dihcrctia:quadrupij> cftadmioreq ctcrnari9.firrhic.2.t.6.mcdi9ad miore e fefqut
alter, maior ad medhi dtipl9. &: differetia iter maiore 8inicdiiicft triplaad differetia iter
mcdifi Simiore: ad quactla differetia duoiiicxtrcorii c qdrupla:& cadc cxtreoiii differe
tia 5 icfqtcr tia ad mediu. Armonla vero geometrica .1. gfcftiilicorgls latcrati difpofitlo
Slrmonla cft figura cubica q vtfupcri9dixim?hj.6.fugflcics.8.aguIos 8I.1 2. lineas latetalcs.hlaut
geomc;ii<a tres n iieri.6.8.i a.aifiutdupliadnucros primlexcpli fuprapoliti eade cii elshntpropor
tioalltatc.f.armotilca.crgonoimcrlto talis nucroru aggregatio armonlca vocatur ppter
t duas ratioes fupradiftas.HaftenPiglturdetribiis primis pporrionalitatlb? q fitnt valde
barffppor au ^tic* & magni peii apud grauilfimos philofophorti. vfi adearfi fadlcinetiocj op9 e
Hoiioittatfl rl^hui? artis adaptare. Na ppofitfs duob9 nueris icqlib9 flue (ltgcsfiucipares notabilit
tn a fc lpfis diftatesrp diuerfa medii nficri iuctidc3:haru triu fperu .pportlonallratesvaria
bim9:ita q? lldc nucri extremi cii vno medio fit proportionalitas arithmctfcarcu alio geo
i.rcgou mctrlca:& cii alioarmonica medletas.pquib? mediis iucniedlsponutur tres reguIx.Prl

ma q> mcdiiiarlthmctiaic dimidiunumeri copofltl ex extremis. vlcHnumcr? addes fug
jniore medietate differetix cxtremoru.Sccunda rl'a mediu geometricu femg cft radix
quadrata muneri pduftl cx mftipllcatioe extfemorii. ve! c niicr? proportlocj extremorii
g mediu dluldes. Tertia rl’n q> mediii armonlcij iuenltur 11 nrior numerus g differetia ex

5. reguta. ttcmori j ni ult/plicicetur: 81 j)dufto dluifo g copofltii cx cxtremlsmiier? quoties eide mio,

ri numero addatur.vt datis his duob'* nueris gibns p extremis. 10. 81. 40. mediu arithme
ticu iter eos c* 2 5. geometricu cft. lo.armonicn vero.1d.vtp3 cx rcgfis.iifr pofttis bisduo
bus nueris iparibns. 5. 8I45. mediu arithmeticum luter cos cft. 25: geometria^ elli 5. ar
monlcum autem. 9.81 fiede aliis exemplis fuo modo.

W5o5»,ps Caput quartum de aliis fcptcmproportlonalltatumfpcclcbus breullfinie
po!i(onaU= crtraftatlsdiffiifius tribus primis pportionalitatu fpeb9 aliaxii potifflmls: opus eft

nabUcTiit ^ vtfcpte alias imo 8loes alias huius generis fpes dlferamus:fuppofitoprius ordine
poffibUc». mltiplicadi hrfiol fpes quotquot fuerit imaginablles.vtpoftea reieftisipofti bilibus certa
numeru fperu poilibilixicQlligamus.Q.ueadmodufedire legitur ariftotclcsifcdo libro

m;.

PARS SECVNDA DE PROPORTIONALITATIBVS
dc gnatioc ad iquircdu certii nueru demetoru dices:q> qttuor prLiru quaUtatu cobinatfo £xfp\6 (n
nes fexfnntinugihabilcsrfcd ex eis dux fut Ipoffi bilcts:rcftat ergo qttuor fatu pofflbiles PNfca W
&totidclut elernctn.i.finiplicia corpora pria. Similia fere dicut comctatorcsiquircdo cer
tu. liuerii pdica nletoru i pris iretioibus tii fiplicibus tu etia mixtis fiueeognotationis mix gicaoe pie
te.na refte calculadoquigcta pdicanicta & eo plura funtimaginabiliarfcd no tot fntpoffi dicamentls
bilia raiitfaltc no tot repperibilia i vocabulis fcietiaru.&artincolf vilitatis vtalias videri
h j. Nue at ad ppofitii nrjdinii ffa arith m etica pportionalitate^i qua difFcrctiaru tatii fiTis
tudo & no pportionii squalitas attedebatur} aliarn fpem oiuni trib? quarernariisimagi £r< ® % ttr *
nabiniurmodos:vt oespportionalitatiifpcsfixit trcdeci: quot etia moraliu virtutii lpes
notabiles iuehertperitiffimi philofophorn.f.prudetia i intcllcftit & duodeci alias virtus
tes i arFcftu.ad Aritudine lactati iflmi collegii xpi & fuoru aptoi u.Quaternarii at fupradi
fti tria hffth ac pricipiacoparatiomi Iter tres mierosaIicui?pportioualitatis.pm copara jrrk fncU
tioeftflcutmedi? nucrus ad miore.fccfa ficut maior ad mcdin.tertia ficut maior ad niiore pia qiema
Quelj item iltaru coparationu i qttuor alias fubdiuiditur variado p difFcrctfas illorii triu rtomm *
microrii.vtficdicedo.ficutfeh* medi? nucrus ad mi»re:ficfch$ difFcretia maioris & me •

dii ad difFerctiamedii 8 i mloris, vel ficut medi* ad imorerficcoru difFcretia ad difFcretia ternarius,
maioris & medii.vel ficut medi? ad nuor e. •fle difFcretia cxtroniorii ad difFcretia duorum
maioru. vfficut medi? ad miore:ficdifFcrctia extremorii ad difFcretia duoru mioru.Et is»
tclligitur p hoc q> dicim? fc habere hoc ad illud:pportio maioris incqlitatis vni? mleri ad
alrcru.vt fit fenfus qualis effc pportio medii nucri ad miore:taIis eft pportio difFcretia htt
ius ad illa.6fc.Sifr diccdo ficut maior mlcr?fc hjadmedifbqttuor iuenim? coparationes
addedo :flc fchj difFcretia maioris & medii ad differetia medii 8i mioris. vel fle fe hjdifFc ternarius,
rentia niiorii ad difFcretia maiora, vel fiefe habet difFcretia extreorii ad differetia duoru
niaiorii.vcl fle fc hj differetia extremoru ad differetia duoru mioru. Eodc nio dicedo ficut
maioriiuer?fchj ad niiore qdrifaria eft c6patio:fi.addatur:flcfe habet differetia duoru
maiora ad differetia duoru miorii.vel fic fc habet differetia mioru ad differetia maiprii. vf
fle le habet differetia extremoru ad difFcretia duorii ni3iorii.vcI fiefehabet differetia exs
tremoruad diffcretiaduoruniloru.Heocsfuntiaduodecfcopatioes. prerqs funt adhuc %{( e ( ete $
imiginabiles alicc fex.f.dado oppofitas copatiocs duab? vltimis in quolibet quaternario, parationes
vt fic fe habet differetia niiorii ad differentia extremoru. vel fic fc h5 differetia maioru ad
differetia extreorxi.& hoc i plicttvariado fcdm tria pricipia fupdicta.q tfi oes fut ipofibiles
inii eri s.& etia vna duodeci pccdctiu c ipolflbiT vt ofidem?. reflat ergo vndcci pofflbiles:
qrii tii qtuor reducatur ad duas (|a coicidut & p cifdc nueris fnpponfit.& fic rcftat decem
fpes pportioa litatu pofflbiles & p diftiftis nueris fupponetes etia connerata arithmetica , ^.poitfSa
pporfionalitatc:qab hmoi coparationibus erat aliensffed aliarii oinm fundamentalis & Hias laritl?
pria.cniPdiffinitiocfuppofitaialicoes expdiftisficfuntdifFiniede.Sccudaergo pportio mcIf f a *
nalitas eft tres nucri taliter coparati q> ficut fc habet medi? ad niiore :fic fe habet differens * st0
tia duorii maioru ad differentia duorii mioru. vt. i. 2 . 4 .& hxc cli geometrica .Tertia pro C 5trarla,

portionalitas eft in qua ficut medi’ ad niiore: fic differentia mioru fe habet ad differentia geometrice
maiorii vt.z.4.5.& efteotraria gcometricK.Qjiarta pportioalitas eft ficut medi? ad mi
nore fic differetia extreorii ad differetia maioru.vt^.^.g.CLuItapportioalitnsficurmedl & uarta *
us ad niiore fic differetia extreorii ad differetia niiorii vt.4.6. 7.Sextapportioalitas e tres
niicri i qb?ficut niaior ad mcdiff:fic differetia maioru ad differentia iniorum .vt.i. 4. 8.& geomtnfca
hac iterii eft gcornetrica.Septia eft ficut maior ad niediuific differentia mioru ad differ c 7. picdicte
tia maioru vt.i ; 4. 6.& hac iteru efteotraria geometricx.Qffaua e ficut maior ad mediii
fic differentia extremotuad differentia maioru vt.3. 4.<».q coiciditcuarnionica. Nonap ^3. * rm °
portionalitas ficut maior ad mediuific differentia extremoru ad differentia niiorii et hac 9 ipofTibir
cftippffibilisiiiniieris.Dedniapportionalitasefttrestcrniiniiqiub? ficutmaior ad mi **>.crtlierO
nore fic differentia maioru ad differentia minorxi.vt. 5-4. 6. &hxc eft armonica.Vndcda *i*^craa<a
ficutmaior ad miore:fic differetia niiorii ad differetia maioru.vt.j^.d.&haccft cotraria armonice.

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SECVNDl LIBRI ARITHMETICAE _
armomcx.Dnodecima flent maior ad miorc fic differentia corii ad differentia daoru mas
ioriivt.6.7. 9.«Tcrtiadecia flent maioradmiore fle differentia eoruad difPcretia dnoru
minoril .vt. 6.8. 9. Pofl has fequntur alix fex ipoffibilcs dc quib9 pri9 dixim?.& ex fupr*
diftisnona ipofflbiIiexiftente:arc£fecunda 8 i fexta ad vnareduftis.ftfroftaua & decima
p eada coputatis: reflat vt dixim9 dece notabiles pporrion alita tu fpes differetes vt p3 hic
Arithmetica prima .1.2.3. Qjnnra .4.6.7. Nona impoffibilis.

Geometrica fcciida .1.2:4 Sexta geometrica Decima Armonica. .5.4.6.
Contraria tertia .2.4.? Septima .1.4.6. Vnderia cdrraria .5.5.6.

C^narta .5.5.8 Octana armonica Duodecia .6.7.9.

Vbifoledccemhiitnueroscxpflbsqaillefolc Tridecia .6.8.9.

fnnt pofiibilesS aliislno coicidetes vt patet ex didis. Reflat niicp coclnfioe hui? n ree arith
meticxitroduftidis vt de maxlapfcftaq? armonia difleram9:q trib9 nucroru intcruallis
tcftc boetiocoft/tuta magna vToptinetlmuficimodulamis tepera,mctis:&i fpeculatione
naturaliu qftionu pferti apud platone & piftagoricos .hxc at armonia qtuor numeris fo«
iidis coficitur q fnnt .6.8. 9.12.1 qutb9tresLiudatiflime pportionalitatcs prime, atq; oes
c6i'on5fj'x muficales difertifflme anotatur.Qjiod at hi oes fint nijerifolidi: hicpbatur. cp
mftipllcatioe replicata triti nueroru qlibct corii explicari potcft.vtfcmel duorcr funt.6.
bis duo bi s.funt.S .fcmel tria ter fut. 9.& bis duo ter fun t.i 2.q> at in eis fit pportionalitas
authmcticadamcftcoparatis duobus extrcmisadvnnmediu.f*9-geomctrica vero:fi ca
de extrema ad duo media fic referatur :q> iicut prim9 nucrus fe haber ad tcrtuv.fic ficund?
adqrtu vtrobiqj.n.eftfef^altera pportio.armonica at:fi extrema ad vnu mcdiu.f.8,adap
tcntur.vii & pprictates hariipportionalitatiiflipradide his nueris ficcoparatis manife=
ftiifiniecouenietpfcrriillcqdemultiplicatioe vcladditioncnucroiumcdiorufii extreo
ni loqbantur.Dc cofonatiis muflcalib? fedlis cflpbatio na.12.ad 9.vel.8.ad.6 eft diatefe#
ron. fcd.i 2.ad.8. vel. 9.ad. C.eftdiapentc.haru duarii cofonatiaru differetia eft fefqoftaua
pportio q di dicitur epoedus inter. 9.&.8.dcide. 1 2.ad.6.eftdiapafon cofonatia.fed diffc
rentia niaximiadpnmunicdiucoparata ad differentia duorunicdioruadinuiceefldias
pafon cu diapentc.tande di fferentia maximi ad fecudu mediu fc habet ad eande difFerea
tia duoni medioru iqdrupla pportioc q eft bis diapafon cofonatia. Nouiffimevcroflcut
pportionalitates fupradiftas virtutibus moralib9 coparauimus:(^q ireginue rei publicx
maxic'funtnccefiarix[) fic caru tres prime fpes:trib9valdc.differcntibus rei publicxfpe
bus coaptari poffunt.ponit ctia ariftoreles in f tio fuorii politicoru libro:fex rcrii publica
ru fpes tres primasrefttas&ftudiofas qfunt regnii.optimatiis.& res publica:& totide traf
grelfas &v/dofas.f. tyranidc.paucorupotemia.&I popularitate. bonarii at &mal3ru poti
fima h xc eft differentia : q> in bona re pubica q maiores fnnt virtute merito & prudentia:
pl9accipiutdehonorib9&bonisreipublicc:cpmioresiit talibus pfeftionibP. fedi mala
di tiranica re publica accidit cotrariu.qa miores virtute & merito:fiunt maiores ia honos
re & pticipatione bonorii rei publice.Quia igitur i arithmetica pportioalitatc i miorib?
termis eft maior pportio & ecotra:paucori1 potentix tippil gerit. Armonica vero ,ppor
tionalitas cotraria hfiscoditionc optioru gubernationi aflimilatur.Sed geometrica pro?
portionaliras q i vtriftp nueris ,pportionu feruat xqnalitate:rcfte popularitas dici poteft.
hxc ct alia multa nobis .pfcfto in acceffibilia arithmeticx introduftioncs comoda addu*
ccrcpoflunt.In his tamen qux rudi noftra minerua copegimus arithmetica pguftamejj
ta:laus omnis &. honor fit fummo deo feientiarum Iargitorii:& maioribus noftris quo»
rum opinioaibus communicauimus»

Arithmeticxintroduftionis finis

l^etriXiriicliBaroceftsqucIliucula

preuia in Muficam fpcculatiuam Diui Seucrini Boetii,

& eluddatione tbeodce Ahw

ficc^qua dintts Scucriniis Boctiits compcndiofe ex anti**
quioribusaitiftoribus recollegit modo quoda introdufto
rio) Videtur in primis quetetidu an theorica ifta Philon
fophorucocordetprafticeconitinium niuiicom voce aut
inftrumetis conratitm. Pro cuius folutione fine argumed
tiseftaducrtendirprimo: q> mufica fcietia cum fit mixta
mathematica fubalternaturfcicntixnaturali pro ea parte
qua agitur de audibili & de auditu in fccudo libro de anis
ma & in libello de fenfu 8i fenfato: flent etia pcrfpcftiua fubaltcrnatur eide Phificeirt
quanta agit in cifdc locis de vifibili & vifu: licet vtraqj carii imaginationibus mathe
niaticisrcsnaturalespertraftct:cteas dcmoftrarcconetur.nam flcutperipeftiua per
punfta lineas 8{fuperficics de irradiatione lucis & coloris difputabafcidcoqp diccba*
turfubaltcrnata Geonictrie:fimili modo etia muflea de fonisbi vocibus ages eas per*
traftat rationibus nuiiicraIib?:hoc cft ac fi voces eflent vnifates H numeri pares aut
impares:& cafde proportiones aut proportionalitates que numeris conueniunt:ifta
in vocibus & fonis imaginatur. Vndc non immerito nutfica dicitur etia fubalterdata
arithmcricc. Ad hoc propofitu qui da exponere volunt & fatis bene anftoritatem Ari
flotclis in carhcgoriis capitulo de quatitate vbi Uit:cft aute quatitas difcrcta vt n unies
rus & oratio: quia vt aiuntperilla verba noluit dicere que effient fpecics quantitatis
diferete de per fc an illud predicametu pertinentes: fed poti? voluit diftirtguerc duas
fcietias que funt de quatitate difcrcta:altera pure m a th crtia tica .f.arith m eti d qUadc*
notat per numeru. &altera mixta cx Phifica U Mathematica, f. mufica qua defignat
per orationem: no qualcniatqj fed vocalem que cftobieftii audibilc. vnde&ibi mes
tionem facit dc fillaba breui Si loga. Similiter intelligcndaccnfent littera Ariftotclh
fequente de quatitate cotinua vbi per linea fuperfreieni & corpus infinuat geometria
que cft pure mathematicatpcrlocuautc &tcpus defignat pcrfpcftiua U aftrologiam
que funt mathematice mixte de quatitate cotinua. Seciido c ft adnertendum q> ficut
Muflea fupponitcxarithmctica regulas numerorii et proportionum: que funt prin*
cipia autconclufiones arithnicticc:ficetiam fupponit cx Phifica feu naturali fc/entia
fonumet vocem efle propria obiefta auditus. Nccpertinctad muflea difputarc qne
res fit fontis aut vox audibilis vtrum d.rcs permanens aut fucccifiiTa: vel vtrii fit fub*
ilantiaacrisvclaliquaqualitasacrem informans &caufata incocxcollifione duora
corporum &c. Q.uia hocphiflci cft inquirere vel potius niethaphifici. Scimus enim
fupet hac queftionc magnas efie & graucs philofophorum altercationcs.na qui peri
tiores & fubriliores reputantur apud cos negant omnes res fucccfliuas in mnndo.
vndcctconfcqucnter negare habent fonum aut vocem efle qualitatem talem quale
antiquiores poncbant.f.fucceifluametnullo modo in aere permanentem fed raptim
tranfcuntcni.Ifti vero potius fonum & vocem dicunt cflcipfum aerem ab aliis cor»»
poribus percuflum aut inter caconftriftum et diuifnm : fed dc his alias operofius.
Nunc autem fatis fit nobis q> mufica noftra ad omnes illas philofophorum ditierfls
tates comunis & in differes cft: du modo generaliter et cofufe detur fibi a philofopho
fonum efle obieftnm audibilc: quicquid illud flt:ct fiueper fc fiue per accidens ab

auditu percipiatur. et in haefeientia ficutfn pcrfpcftiua &aftrologia omnia vocabu?
Ia propria funt mixte cognotantia adduntqj fignificationem Phificalcm fuper ter#
minosarithmeticos.vtdiapafonfupcr duplam proportione. Diatefaronfuperfefqui
tertiam. Diapente fuper fefquialtcram.& fic de aliis.cognotant enim tales proportio
n,cscfl~e rcsaudibilcs. Tertio cftaducrtendum q> mufici vel cantores praftid vix aut
•Taro vtuiitur fupradiftis terminis muficc rpcculatiue fcicntie:fcd ad faciliorem intcls
•ligcntiam finxerunt fibiquedam vocabula fui cantus punfta denotantia quefuntrvt
rc.mi.fa.iol.la.Et pcrtalia punfta afccndendo vel defccndcndo faciunt in vocibus co
-fonantias aliis tamen vocabulis ab cis nominatas. Nam quod thcoricus muficus vo*
eat diapafomprafticusdidtoftauam.et quod ille diapcntc:iftc quintam nominat.Si*
militer diatefaron vocat qnartam.Diapafon cum diapente duodecimam, bis diapa*
fon appellat quintamdccimam vocemfub vel fuper aliam. & fic de aliis multis hinc
et inde differentiis: que folii verbales funt.Na in re vtriq; ide dicut. quod fic declaras
mus.ponatur cp vox prima in aliquo catu fit eleuata aut deprefla vt quattuor.tiic alia
vox que fuper illam afceditper fepte vel ofto ex illis punftis que ponit prafticus mu
ficus:facitad eamconfonantiam diapafon.que folum per quinq5: diapente .& que
per quattuorrdiatefcron.Nam ofto dupla proportio eftad quattuor. quin qj vero fu#
per quattuor fi non omnes flnt toni integru-eft proportio fcfquialtera. Quattuor de
niqj punfta fi etiam non omnia finttoni: cft proportio fefquitcrtia.fimiliter vna
.duodecima efttripla. et vna quindccima eft quadrupla proportio: que bis diapafott
appellatur fimilis procefus obferuatur in defccndcndo fnb voce illa prima fupradi#
,fta que femper cftrcputada vt quattuor. Sed ad cuitandum oes fcrupulos cftfciendii:
q>in punftis illismuficeprafticeeftdiuerfitas. nam quidam eorum afccnduntvcldei
fcendunt per tonos integros qui reputantur velut vnitates. Alii vero funt fem itoni: &
nooesequales.Iteintertonosaluficnt maiores alii minores: qjuis inhocfcpiuspra
ftiddecipiatur.Seddchisiafatisrnaindifcurfuhniusfcictie deraoftratioiie cuadent
omnia qsmanifcftifTum. Has dcmonftrationcs nuper cx Arithmetica iordanidedu#
ftas:elcgantcr adiecitmagifterlacobus Faber natione gallus hacnoftra tempeftate
philofophusinfignis ctcelebratifiinius.Qui vt in ceteris fcientiis folct:ita&iu Mu#
fica introduftioncm edidit hanc quam aggredimur:per<| luculentiffimam.

, 1

Iacobi Fabri Stapulcnfis Elementa-. Muficalia ad clariiTimu
virum Nicolaum dehaqneuillc inquifitoruin Prefidentem.

*** i! ~“ t Ecrcucram clariffime virnulli meas elementorum muflealiu qualefcuncp
funt prius dicare vigilias: improbatas cogiioniffctn. qsuis fdme minime

■ lateret dcmonftrationcsrin quibus vel folis vis fcientie confiftit: non pro*
bari non potuifle. Verum fi prefcntiumiudicia parui ducis rcputafqj:hiti
bicx antiquis fummoperc muficos commendare labores iure valebant.

Mercurius' Tamyras Ptolomcus

Orpheus ~ Hyfiii cnias Jh cbanus Eubolides

Pythagoras Samius Terpander lcfbius Hippafus

Amphion Thebanus LycaonSamius Arilloxemis

L i nus Proph raitusPe riotes Philolaus Pythagoricus

Arion lcfbius Eftiacus Colophonius Archytas Tarentinus

Mydas Phrygius ~ TymotheusMilefius Albinus

Corcbuslydius Nicomachus Diuus Scucrinus Boedus

Hyaghis Phryx Plato

Marfias Ariftoteles.

Et firniliurn qsplurimi quos oes ctcrna memoria difciplinaril cbladitiffima Mufica
reddidit infigncsdtcr quos duos prcceptorcs meos Iacobu Labinid & Iacobii turbe*
linu annumero taurea arte pollcritati vifturos. Comedant & ea mirifici e i9 effeft?.
Pythagorici cmanimoru fcrocia tibiis fidibufqs cmollicbant.Efclepiadesfrcmcnti9
vulgi ledftiqncs crebro catu copclcuit. Ideqj turba furdis medebatur. Damon pytha
gori.cus ebrios & proinde pctulatcs adoIefcctes:grauiorib? modulisad teperantiam
reduxit. Febre & vulnera mufica modulatione curauit antiquitas. Eade quoq; faaui*
tate fchias coxcdiciiq; dolores cmedamt:qd Hifmcnias theban? tetaiTe memoratur.
Thcophrafhis ad animi perturbationes moderadas muficos adhibuific memoratur
modulos. Ncciniuria quidc.cftcr.ini mufica vtqueda moderationis lexatep regula.
Ojiaobrc betio iure cos ridebat Diogenes muficos:qui eu cithara ad harmonicos c5
fenfus haberet tempcrata:animu gereret incopofitii & prorfus harmonia vitedeftitu
tii. Xenocrates organicis modulis lymphaticos libcrauit.Talcs Cretefis fuauitate cis*
tharc: morbos pcftilcntiacp fugauit.Tcrpader & arion Aones & lefbioscatu a granif*
fimis morbis Ieuaflcrdiuus Scucrinus autor cft. Herophilus medicus egrorii vena»
muficis pcnficulabat numeris. Tymotheus aut muficus dum voluit efferatum reddi
dit Alexandrii ad arma q; furentem atq; aliter cum libuit abarmisadeouiuia retraxit
cmollitil.Thracius Orpheus feraru fenfus fidibus:catuqj inflexit, hoc efl ferinos ho*
minii mores leges ad cithara cancdo ad moderata humanitate reduxit. Ccrui fiftulls
capiutur ftudioqj modulationu detinctur.Cygni hyperborci citharc catibus alliciilc
tur.Elcphatcsindi organica dulcedine permulcetur. AuicuIefiftulisirretiiitnr.Teue*
ros adhucinfantiu fenfus pcfmouent catus: crepitacula qj vagientn fedat. Delphinos
fuis fibi fidibus cociliauit arion. Serperes catibus riipuntur. Sepultori! manes catibus
excitatur. In aftiacolittorc mare cithara perfonare memoratur. Megaris cithara per*
fonatfaxu:& adcuiufl.ibctpulfantis iftufidicinat.Etpoficm plera q? talia vir clarifli*
me ad mufica comcndationcm adducere. At tot tatifqj & recentiu & prifeorii comcn*
datam autoritatibustibi niicad me atq; bonarii litterarii ftudiis dicata difciplinam:
equo fufeipias animo tuis aufpiciis lucem habitura. Et me vnum inter tuos clietulos
tuarum virtutum tuiip nominis obferuatorem cfle cognofcito. Vale.

a ii

MVSIGE

Iacobus Stapnlenfls Iacobo Labinio & Iacobo Turbelin»
Muficisffuischariffimispreceptoribus.

■ Vod inter oratorem atqj rhetotarid inter cantorem & mulleum inttf effe
Volunt:neq5 t oratorem quemeg dici mereri qui idem rhetor non fit.ita ve*
iftrum femper iudiciu fuif.vt ne cantor quidedicl mereatur vnqhqui ide
Jmuficus non fuerit: pulchre mimos: ethyftrioncs a cantorum honefto ce*
tu fcqucftrantes tanqj Epicureosafobriamenfa:caftoqj philofophorum dogmate,
nec iniuria nam Homerus diuinus Poeta vbiqj doftumet feria modulatum introdu
cit cantorem vt apud Ody ffeam vbi Penelope Phcmiu Fidicine ad ncruos verba mo
nentem his verbis allocutam effingit.

Prctcrea illachrimans diuum eft affata canentem

Phemi multa tenes hominum mulcentia peftus

Facta hominum atqj deunuct que laudem autoribus addunt.

Ex iis pange aliquid.

Et quales Homerus probat: vos minime tales effe dubito vt qui dudum a vobis prf#
rna muficcs rudimenta perceperim. Quapropter ad vos noftros labores examinati*
dos committo, quos eo libentius me fnfccpiffe fateor:qno muficalem fcientiam neqj
apudGrccosncqj latinos quidem vnqj elementis traditam effe legerim: at introdu#
ftiones qjplurimas inter quas ea omnium nobiliffima eft qua diuus Seuerinus Boe*
cius fui monumentum reliquit.quem vnum in hac re preferti delegini meorii ftudio
rum ducem. Si ergo probaueritis fatis mihi eft. In re enim noftra malumus aliorum
indicia feqnftqj propria probare. Valete.

Antiqui qui dc mullea fcripfcrunt.

Infigncsex recentioribue
qui de eadem fcripferc.

Democritus

Plato

Albinus

Heraclides Ponticus

Ariftotcles

Diuus Seuerinus

Thimotheus milcfius

Thcophraftus

Bafilius

Philolaus Pythagoricus

Nichomacus

Hylarius

Architas tarentinus

Ariftoxcnus

Auguftinus

Duo Theodori

Ptolomcus

Ambrofius

Xanthus athenienfis.

Gelafius.

Argumentum quattuor librorum muiices.

Primus liber intcrualla niufids modulationibus acomoda difaitit. multiplex: du*
piare /triplarc/quadmpIare.fHpcrparricuIareffefquialtcru/fefquitertm/fefquiofta
uum/bis fefquioftauum /ter fcfquioftauum:quater fefquioftauum /quinquies & fe*
xies /fefquioftauum.

Secundus de tono/integro toni dimidio/femitonio minore /femitonio maiore^
comate /fchifmate/atq j diafchifmatc.

Tertius de fcfquitono/ditono diateffaru /diapente /diapente & tono /dia pafon/
diapafon &trifcniitonio /diapafon & ditono/ diapafon & diateffaron/ diapafon SC
diapetc/diapafondiapetc&tono/difdiapafon/acintcgrotoni&cofonantiaruoim
dimidio.Et de niaximarii Harmoniam oofonantiis: & quamdam medietatum.

Quartus de monochordo /tetrachordo /pcntachordo /hcptachordo /oftochor*
do /pcntadccachordo /diatonicis /chromaticis/enarnsonicismelodiis.Et de melop
diammodis.Ethccfubbreuitatecontraftarargumcntumlibrifunto,

Iacobi Fabri Stapulenffs E lementorum Mutica*
lium ad clariffimum virum Nicolaum dchaquc^
uillc prcfidentcm Parifienfem Liber primus.

Diffinitiones

Ntcruallum eftfonigrauis acutiqj fpaciorum habitudo.

Spacium vocamus neruu: chordam: expiratum aercm:ct quidquid
fimilc eft:a quo fonum elicimus.

Multiplex interuallum eft quoties maius fpacium cotinetminusplu*
ries.vtbis:et duplex intcruallum dicitur, vttertio: et dicitur triplex,
vtquarto et quadruplex nuncupatur.& hocpafto deinceps.
Interuallum fuperparticularc eft cum maius continet minus: & parte eius aliquam.
Pars eft que metitur totum:ipfum aliquoties fumpta reftituens.

Si maius continet minus et eiufde dimidium :fefqualteru nominatur interuallum.

Sf maius continet minus et minoris partem tcrtiam:diciturfefquitcrtiuni.

Si vero continet minus ct ehifdem minoris partem oftauam : epogdoum : fc fquioftaf
uuniqj nominatur. Et ita reliqua fupcrparticularia interualla perfacile eft diffinire:
fed parum mufico conducunt propofito.

Superpartie* autem diceretur interuallunxfimaius contineret minus et minoris par
tes aliquot:que partem vnam non efficiant.

Numeri fuutadinuicem primi:quos iola metitur vnitas.

Dignitates.

i | fa^yi i ,Vicqnld metitur altcrum:mctitur ct omne menfuratum ab illo,
x K fgfyl] Compofitum in ea refoluitur fimplicia:ex quibus componitur.

5 IklsfJ Cuiuflibct numeri pars eft vnitas :ab eo denominata.

4 • Vnitas in quemcunqj numerum dufta:ipfum producit,

5 Quicquid metitur detraftum etrcfiduum:metitur & totum.

6 Qjiccunqs vni ct eidem equa funt:&cainter fe funt equa.

7 Et que inter fc funt eqna:ciufdemfunt eque multiplicia aut fubmultiplicia.

8 Eorum quorum tota funt equa:ct dimidia funt equa.

9 Gjaicqnid bis auftumaliquid tranfccndif.id vitra illius dimidium effe ncceffc eft.

10 Et quod duplicatum non implet mtcgrum:id profefto non continet dimidium,

u Omnctotumeft maius fua parte.

Petitiones.

i Data cquali chorda: que fpacii ad fpacium proportio eft:eam efle 5i foni ad fonum.

x Inter numeros fola vnitate diftantes:nullum intercipi poffc medium,

j Spacium quodlibct in qnotlibet equas partes diuiderc.

4 - Totum ad fuam partem:etlaxius ad fe tenfum:grauiorcm fonum edere.

5 Omnem proportionem effe tanq;numcri ad numerum.

6 Si numerus numeru datu multiplicct:ideq 5 produftii diuidaf:mimeru datu redire.

7 Si numeru datu numer? diuidat:& qd puenit rurfus multiplicetmunieru datu redire

8 Extrcmoru proportione exmedioru proportionib? vt fuis partibiis cffccopofita.
Extremiordinataru proportionu:maximusminimufq 5 terminus intelliguntur.

CE Scictiafubaltemata qualis ad arithmeticam 2Duflradl:p:incipipifs et bcmoriftratisfcieiitiepjfotfa
fubaltemantifqjvtuur.Strtuduimusvtcpfieripoteltrariirfmcidinhacbifdplinaffat.verumpIerficp vbi
opoitunum videbitur alio $> in arithmeticis factum eft vtemur ocmonflrandt modo: quo flugula magis er
ptopnfs facta videantur quis arithmetico futfragto atqs ifs que in arithmeticis monflrata funt eadem pto*
ptiuefaciliuiqs fierent: attamen quando id fiet 7 quando nonfequentibus Dcmonftratlombus cuilibet per
q perfpicuum euadere poterit.

a iii

MVSICE

SI Interuallum multiplex binario multiplicetur :id quod fit ex hac multiplicatio^ i
ne interuallum multiplex eft.

' 1

c |

‘ 1

! 4 1

XDuItlpler er Duplatione,

ZDultipler interuallum.

3 1

CE interuallum binario tmiltiplicarcrcft interuallt habitudinem Duplare que quo pacto Duplanda fit du*
dum tertia ptopoiltione quinti Srithmetices notnm efie poteft. vt fi a b fit interuallum quodeunqs quod bf
nario multiplicare iubcamurrlpfum per tertiam quinti multiplicabimus fi Ducimus a in fe et b in fc p:oues>
niantep d c eritqj productorum o et c Duplet interuallum interuallo producentium a b.t&trod fi rurfum ou«
cimus a in b pioueniatq,- productum c erit per fertam quarti que proportio D ad c eadem e ad c et interuab
lumo c(n duo equa partitum. Sed cito nunc vt interuallum a b fit multipler quemadmodum proponit
propofitio quod modo pauloaute ofeto: binario tnultlpliccturrfitcp Duplum o c et ea proportio d ad e t c ad
c: Dico interuallum d ad c cITe multipler, THam cum a ad c multiple* iit interuallum cum geminatur mania
fertum cftmultiplcr addi multiplici quare per vicefimamfecundam noni arithmetices ftatim notum eft
interuallum eompofitum multipler efic.r propofitum. Sed idem aliter l?ic ocmonftratur: t0.uoniam enim
queproportio aadbcaclt d ad c et c ad c. nam v traqs proportionis Duplate aadb medietas, ip-roportio
autem a edbpoflta eft mu Itiplersigltur et proportio d ad c multipler eft, metitur igitur per Diffinitionem
multiplicis : e ipfum D vel bis vel ter vel oeinccps. £t eodem quoqj iure c toties metitur ipfum e. quare et
c per primum communem conceptum metitur ipfum a. d&uidqutd enim alterum metitur: metitur et oins*
ne quodmenfuratumeftabillo. Cftitaq? per Diffinitionem interuaHum a < multipler. quod erat often*
dendum.

Si fuerint termini proportion alifer conftitutircum primus fuerit vltimo compar %

ratas fi primus vlt/inuni fuerit nicnfiisrmcticturetfecundum.

I '

4 j 8 1

1 2 1

4 j Sbctrcstcrminfproportfo

M ‘ 1

1 *

j f j nales quorQ a numeratb.

CEKametetfi banc Decimatertia quarti Demonftret fiifficicntcr: eam tamen amplius bot in loco volumus
manifeftare. Sint enim abetermint piopoitionabilitcr conftftutf et a numeret croico idem a numeras 5
rcb.capio enim D cf terminos in ea proportione minimos. C&uonfani enim o ad cvtaadb: eteadf
vt b ad c. igitur per equam proportionalitatcm quam viceilmaprima fecundi Srithmetfccs monftra t
D ad i vta ad c. fed a per brpotbefim metitur c: igitur et d metietur f, St qufa d e f pofiti funt in fu a
proportione minimi, ergo per quintam quarti Detf funtadinuiccm primi. £c cum Dfefpfirm metiatur
pariter ct f per Diffinitionem D eft vnitas. St vero cum vilitas fit omnis numeri parsto ergo metietur e,
£t elima ad b vtD ad e: metietur igitur a ipfum b fecundum terminum : quod erat cognofccndum atq$
propofitum.

Si infernalium binario multiplicatum : multiplex effecerit interuallum : ipfum
quoqp ni ultiplex erit.

1 1

1 4 !

| B b interuallum binario multiplicatum

1 *

I b

| c

multipler efficiens.

jtagcrtirff noni interuallfi (Impier multipler erit.Bt id idem aliterortlditur.lHam fi a bcgemfnatum inter
uallum fit multipler ffc vt c multipler fit ad a et ea proportio a ad b 7 b ad c.-quoniam c ada erit mu!tiplcr:a
per Diffinitionem metietur ipfum c.quare 1 per prcccdcutcm a metietur ipfum b.£ft igitur interuallum flm

pletbadapi

4* Si tcrmfnorttm fnteriwllf prftmis ad fecundum comparatus fefe vt fertius ad qnar

tum habucrft:quot proporrionalfter medii primo et fecundortotidem tertio & quare
tointcrucnire necefTceft.

£ medium proportionale i nter o et f tertium t quartum vt b inter pilmuni ct fecund um.

■

‘ r

6 r i

0?anc duodecimo quarti monftrat cufus adhuc l?fc vt ad fequentia momentum habehsrcognitfo proni»
ptior babeaturirepetitur demonrtratio.

<L ©it a cuiufcunqj interualli primus terminus ad cfecundum vt 6 tertius ad f quartum: c t Ut b medius $
portiona liter coflitutus inter a t c. dico etia inter detf interuenire vnum proportionalfter medium. Capio
enim per fertam quarti g b k tres minimos feeundum proportionem a ad b et argumentor er vicefiniaprf»
ma fecundi per equam proportionalitatcm g ad b vt a ad b et b ad k vt b ad e. igitur g ad k vt a ad c. quare ct
vt o ad f.at IToetf funt ifdem termini cum g k manifefhim iam eft inter o et f interuenire vnfi proportiona»
liter mcdiuiu.Binmjnusrergo per viccilmam tertii Sritbmeticcs g et k metienturoct fequaliter: fitqj id
fecundum I.duco ergo 1 in sbctkt prouenfant o c f per feptimam fecundi t» ad e vt g ad b ctead f vt b ad k.
quare c in tcruit proportionalitcr medius terminis o « f quod erat mcnitrddum.

5 Supcrpaft/cularJs interualli medius numerus: neqj vntis neq? plures proportio*
nalitcr interucnicnt.

IHl proportio fupcrparticularls:in ouo equa diuidi non poiTit.

| j S|e fpacium fuperpartieulare.

1 • 1 * 1 5 1 f

| ©eftre0minfmi,pportfoniiaadb.

Clbanc intelligirnuomullum fuperpartieulare interualhim in duas aut plures infernaliorum habitudines
;ppo:tlonefq( fccabile cITe.quod ocmonftratlone prorime fubiuncta per§> facile liquebit.

CE Sita cintcnmUum fuperpartieulare quod ciuidatur in duo equalium habitudinum (padaabibe
certis conftitntifqr numeris fl pofTibile cfhSirtp idcirco vt a ad b ita b ad c.capio per fertam quarti Sritb»
mctieeodeftrcsminimos continue proportionales fn proportione a ad b.ctqnfad adcvra adbeteadf
vt b ad erergo per equam proportionalitatcm d ad f vt a ad c. 2tqui a ad c politum cft fuperpartieulare in*
teruallum r igitur t o ad f cft fuperpartieulare .2t vero quonfatu d e f funt tres illt’ habitudinis minimi ter*
minbfgiturd et f primus t vltimus per primam quarti funt adinufcem primi. St cum o monflratus fit fu»
perparticularisadftpcroiffinltfoncm o continet f et cius partem que ideo per diffinitionem metitur f. £t
Uca pars iit numerus cum ea etiam per communem conceptum metiatur d: metietur cnimfc partem de*
tractam t rcilduum quod equum eftf.non erunt ergo o ct f adinuiccm primi cuius oppofitutn tam monilra
tum eft 7 ItnpoITibilc, erit ergo eaparsvnitas.Onc addo vnitatem ipfl frfiatg: vt g-rf foiius vnitatis
difcrfmine diftent.mor argumentor d ad f v t g ad f. fed inter d et f polTtus cftvnus interuenire medius igi*
tur per prccedentem 7 inter g et f numeros folavnitate oiftantcs interucnit iutcrdpitiirqjaliquis numc<*
rus medius quod per fecundam petitionem e(timpoiTibilc,non fgitur fuperpsrticularfs fnterualli vnus
medius interucnit numerus, neq? quoqs eodem argumento interuenfent plures. £t batie etiam demon*
lirat ferageiTmaprima nonf.Ct ejrbacqttocp eognofciturrcprcbenfloncm oemonflrationie Srcbftc: q> nui*
lafuperpartfeularis in duo equa diuidi poiTit quam tertio fnflfrrttionfe tnuffce capite vndecfmo vfdctur di*
uusScucrimisadducereuon tameflediuf jSeucrinl q> U-lic!,'omad?f aut aliozumquos interpretatu relc*
gantilTtmcquitflmilcin pTerifqj tum Sritbmct ice tum XDuiiec inlHtutionis locis feeiiTc comperitur. £t
uon verentur quidam £ pace omnium dircrfnO cius libros perlultrare non vtfeiant fed vt cxfurculent et ea
tiino more IT quid bians) fubfultanfqs appareat altfus oentem infigant| mordeant i reprehendant ct fan*
ctum et venerabile TJMpllofopbic nomen ct fuorum eonuitiis lacerJt:-: quod aliorum vitium etl IT quod eft:
diuiScucrini ejrclament errorem faciantqr aliorum crimine reum, ctcumnibilnorint volunt litterarios
duces infectando |carpendo [laniendo omniaTcire vtdcrbatqj ftipra l|bbf lofopbicos vertice* fefe gloriabun
dos «tollere faduntqj quod dlapud Comicum ne intclligciido vtnfbil intclltganfquos idem ftatfnt vt
maledicere delinant ammonet malefacta nceognofcantfua. Scdbccpretcrprcfcntisnegoclf offletum.de
IfMjilofopbie enim qui recte fuerint natura inftituti vel abfqj monitione fctnper rectccogitabum.qut enim
fecus faciunt ab eorum fe fegregant confortio et vtUbbilofopbi quales fe videri volunt non amplius «fle
«ognofeantur ncceflc eft.

a UU

MVSICE

Si interuallum non multiplex bfnar/o multiplfcctun Id quod fit ex hac multipli*. 6
cationc neqj multiplex eft:neq$ fuperparticulare.

’ 1

‘ i

H c interuallum neqs multiple*

1 neqj fuperparticulare.

8 1

b I

1 ScDupIatum interuallum ab quod

1 quidem efl non multiple*.

(T Si intero alium non multiple* a bietDuplntn fit ae.itavtca fitpjopottio a ad b?b ad c.Dico inter*»
uallumac necp multiple* efie necp fuperparticulare, quoniam fl a c pfimo ponatur multiple*: ergo per
tertiam ptefentis et ab interuallum erit multiple* at pofitum efl non multiple*. Bt fi fecundo Diteris a c
efie interuallum fuperparticulare: cum ffta adbvt b ad c erit interualli fuperparticularie tnedius pto * 5
pottionalie terminu» quod per ptccedentem cil impolTibilc. €ft itaqj notum fiinteruallnm non multi®
ple* binario multiplicetur compotitum interuallum minime aut multiple* aut fuperparticulare efie. et
ptopofitum.

Si Infernalium binario mnltiplfcctur:at<$ id qnod ex ea multiplicatione creabitur 7
multiplexnon fitiipfum qtioqj non erit multiplex.

(EflJcceficonucrfa ptcccdcntt0.Sitcrgofuperioris ptopofitfonis figura in qua interuallum a c ptoue®
niat ct Duplatione babitudinie interualli ab et non lita c interuallum multiple*, dico itfdem interuallum a
b non efie multipIcr.THam II a b interuallum multiple* cil: cum a c per bypotbefim e* interaallo a b bina»*
rio multiplicato furgatiergo per primam ptefentie interuallum a c multiple* erit. St pofitum efl non mul*
t(plc*:ergo fl interuallum non multiple* c* alicuius interualli binario multiplicatione nafcatur neqj ipfum
quot» c* cuius multiplicatione ottum cil multiple): crittquod erat monltrandum.

A numero partium fupcrparricularis interualli queinvnum adafte totum rcftfc
tuuntet numero vno maiore: quot interualli maiores termini fimul: minoribus fi* ®
mulacccptisrefpondcant:cognofcuimir.

dSitaadb interualktmfuperparrictilarcmairifefhimeft per Ditfmuioneinfupcrparticttlaris a continet
re b et «nam partium b.ea igitur pars fecundum numerum ctconflituat fuum totum b:ct fit o numerus vno
niaiot cioicoafumpta fecundum numerum ceqtta cficb fumptis fecundum D.THam a fecundum c ftimpta
continent b fecundum c ftimpta et infuper patres b fumptas fecundum c.Stqui pofitum efl eas fecundum c
conftituercvitunib.(giturafec!indumcfi:mptacontinent b ftimpta fecundum numerumvnomaiotem c.

St vero D politus efl numerus vno inatot c. ergo a ftimpta fecundum c : continent b' fumpta fecundum D.
quod erat moti lirandum, £t fi cremplarem requiris Dcclaratioticmtfi a ad b interuallum cil fefqttalterums
quonfam a fefqualtcrum efl ad b. ergo a continet b * eius timidium: et duo Dimidia per commune ptolo**
quium fuum totum reddunt. ®ico ergo duo a tantum cric quantum tria b: quoniam enim duo a conti®
nent ouob.cKniupcr duo oimidiabque vnutnb rellituuut:crgo duo a continent triab:tribufcp cua®
dunt eqnalia. Ctfi a ad b efl fcfquitcriium a continet totum b ct tertiam partem b. at tres tertie b eque
funt vni b.ergo fuperiote argumento trfa a continent quatluotbiquattuotqs cuadunt equaiia. innno Da
ta quacuncp fuperparticulari maio:es termini fecundum ptopottionis minotem numerum: cquantur mi®
notibtts terminis fecundum ptopotlionis maiotem numerum fumptis. vt fi a ad b fit fcfquiquintarquo*
niam minimi ferquiquittte funt <s ct f. $dcfrco qufnq? a equi futit fer b.ct in non minimis quoniam 1 1 et
1 o funt termini fcfquiqufnte 1 o a cquantur 1 1 b. £t fi a ad b fit fefqtiioctauatqiioniam minimi felquiocta*»
nefunt 9 1 s «idcirco s a tantum funt q>tumnoucmb.£tqn(arurfum i n ad 1 <5 fefquioctauarideo fe*deciit>
a equi funt i s b.ct ita in ccterfo.Scd II id non modo particulariter fcd t vniuerfalitcr contemplari cupis ii
vnincrfaliter verum erit.

Data quacunqj proportione: maiores termini fecundum numerum minorii fum# 9
pti:cqui funt minoribus fecundum numerum maiorum fumptis.

| a SuBEti | 5 |

.TI‘(UTI

ZDuItfs

5 I

Suppar

| B culares j z (

1’H'mv

| plicce.

tientes. |

$ I 4

(E0t(Ttaadbquecun®p:opotiioetam3fotterminue:bverom(no:. Dico a fumptos fecundum b nume**
rum minotem equos clTe b fumptle fecundum a numerum maiozem.Wam par octauam ptimi 3ritbmctl*
cee quod fit et a in brcquumcfteiquodfiterb ina. ZUveroquodfit er a in btfunt a fumpti fecundum b.ea
quod fit cr bina funt b fumpti fecundum a.fgitur a fumpti fecundum bequanturb fumptis facundum a et
in qufbullibetalifs eadem cftocmonltratio ? pzopoflturn.
io Cum aliquot maiores termini aliquot minoribus equi funt: ea vnius maiorum ad

vnum minorum reperitur proportio: que et numeri minorum collcfforum admaio
rum colleftorum numerum.

(Etoeceft conuerfa ptcccdcntie. i&uoniam per piecedentem minotes collecti fecundum nutneram niaioiS
equi funt inaiotibue fecundum nutnerumminotum collectis, ©ed numerus maiotum eft vnus terminus
maiot et numerus minotum vnuc terminus minot. ergo eadem e It piopottio vnius maiotum ad vnum
m(no:um:que numeri minotum collectozum ad numerum maiotum collectotum. /ctquacp be tme vltfmecd
elutiones faciles funt: vfus tamen earum paulo latcutioz eft.Tp>cr ptimam enim earum que nona ert:babe«*
mus U numerus maio: ad minotem fcfqtialter eft vt trium ad ouoiouo maiotes equi funt tribus minoiibus.
£t fi maiot ad minotem fefquitcrtiusvt 4 ad 3: tres maiotes equi funt quattuot mfno:ibus.£t fi maiot
fefquiquartus vt f ad 4 quattuot maiotes equi funt qutn® minoiibus. Si vero maiot fefquioctauus:
octo maiotes equi funtnouem minoiibus.? ita inconflmilibue. Jn multiplicibus autem tl maiot ouplue
eft vt Ouotum ad vnunr.vnue maiot equus eft ouobus minoiibus. Si triplus: vnus maiot equus eft tribus.
Si quadruplus:vmis equus eft quattuot.Si octuplus: vnus equatur ad octo. $nfupcr partientibus vero
cofimileclfcvtil maiot eft fuperbi tertius vt { ad 3: tres maiotes equi funtquitiqjminoiib^.Slfuptrtri»*
quartus vt 7 ad 4: quattuot maiotes equi funt reptent minctibus. Si vero fuper octupartfensvt 17 ad 9;
noucm maiotes equi funt occem ? feptem minoiibus.? boc pacto in reliquis.

CE £x vltima autem banc mfupcrpartieularbus vtendi regulam elicimus. Si ouo maiotes equi funt
tribus vt minoiibus quattuo:adfet|fetadnou5]octo ad ouodecim:vnusmaiot ad vnum mitiotcm fcfqual
ter eft.Et Utres equi funt ad quattuot .’ fer ad octo maiot ad minotem cftfcfqmtcrtius. Si quattuot ma
fotea equi funtquincp minoiibus: aurocto ad becem: vnus mafot vnius minotis eft fefquiquartus. S£
vero octo maiotes nouem minoiibus funt equbvnue maiotum ad vnum minotum cognofdtur ferquioeta
uus. $n multiplicibus. 11 vnus buobus: ouo ad quattuot | tres ad fer equiiunt]: maiot minotis eft ouplus.
Si vnus tribue j ouo ad fer: vims mafot minotis eft tripius. 01 vnus ad quattuot: et ouo ad octo: vnua
maiotum ad vnum minozum eft quadruplus.©! vero vnusad octo ouo ad fedecim:mafot minotis eft octu
plus.CE ?n fuperpatientibue.. fi tres maiotes equi funt qufn® minot(bus:autferadoecJ: vnus maiot ad
minotem eft fuperbitertius. ©i quattuot maiotes feptem minotibuslmafot minotis eftfupcrtrfquartns.
©i vero nouem equi funt ad occcm ifeptcm: maiot minotis eft fuperoctupar;ienc.CE£t in copolltis nu*
meris flinilc cft.vt II ouo a equi funt quattuot b ? oimidium vnius: quemadmodum in ouobus coniunctfs
fefqualteris.quonfam 4 et vnius oimidium ad z tuplum funt et fefquiquartumtiddrco vnus a ad vnumb
Duplus eft at® fefquiquartus. ©i tres a equi funt ad quattuot b et tertiam vniu 0: vt in Duobus fcfqut ter ?
tifs quoniam quin® t tertia vnius continent tres fem cl ouas tertfastvnam nonam, ptoinde vnus acon*
tmebitbvmim ouaseiustertfasctvnam eius nonani, ©iquattuot equi funt ad fertquartam vnius: vt
iu ouobus iunctis fefquiquartis: quoniam fer ? quarta vnius continent] quattuot oimidium | et Decimam
fertam crquattiio::fdeo vnus mafot continet minotem femel|eius Dimidium)? cius vnam occimamfertflm.
Si vero octo valent oeccm ? ociauam vnius vt in ouobus fcfquioceauus:quoniam occcm continent octo:
et quartam: t octaua vnius ad octonos vna eft feragdlmaquarta: ideo vnus maiotum continet minotem
femellciusquar,ampartem|cteius ferageftmamquartam. £tficompo(lt(onfsferies ptotcnftotcuadittvr
flouoaeqni funt fer b] medietati vnius ct quarte vt in coniunctione trium fcfqualterozum : quoniam fer
continent duos ter ? oimidium vnius eft quarta pars ouotum:et quarta pars vnius eft octaua pars ouoiiu
Jdcfrco vnus a tripler eftb vnius (nfupcr quartam at® octaam partem b conttncna.£t fl tres equi funt ad
feptem ? nonam vnius quod in tribus fcfquitcrttfs eoniunctis cuenit:quonfam feptem: bis continft tres:
t trium tertfam partem : ctnona vnius ad tres eft vfccfimafeptima. ideo vnus maiotum continet m \»
notem bie| ciustertiam|ctciusv(cellmamfeptiniflm. £t IT quattuot equi funtfcptem Dodranti vnius boc
eft trjbus quartis ctfnfupcroccimcfcrte vnius: vt in con functione trium ftfquiquartotumtquoniamfcptS
continent femel quattuot et tres quaternarii partes: et tres quartcvnius ad quattuot funt tres oecime
ferte:? occimaferta vnius eft ad quattuot vna fcragetlrnaquarta. idcirco vnus maiot continet vnum minos
rem femel | et Dodrantem )et tres occimalfcrtas at® vnam fetagefitnanrquartam. Sivero octo equi funt
8dvndedm|tresoctauasvniu0?vnamfcr3gcflmamquartam:vtin iribus fcfquioctaufs coniunctistquotf 1
nfamvndedm continent femel octonarium ct octonarii tres partes:? tres octaue vnius tunt ad octo tres
feragcftmcquartc.?vnafcragcfmiaquartaadoctocftvnaqufngcntellma ouodccima. bine fit vt vnusma-
iotum contineat minotem femel) tres cius octauas|tres lerageflmas quartae ctviiam quingentefimam
ouodccimam.£tbcc adiecimuo quo vfus bsrum ouarum vltimarumin fcquentibus patenttot[maiiifc=
ftiot® babeatur.

MVSICE

Duplex intcrualluni ex duobus maximis iiiperparticularibus : fefqualtero at<$ u
fcfquitcrtio coniungitur.

1 ‘ I 4 1

’ 1

3 c Dupler interualinm.

a j b

1 *

3 b fcfqualiter b c fefqnitertius.

tESiuta bcintcrualltimtaquidem fefqualter ad b:b vero fefquitartiusadciDfcoabupIum eiTe adc.&uo*

niam enim afefqualtcr cltadbrcrgo peroctauam puiue duo a equi funt ad tres b.et rurfus quia b fefquiters
tius ad rugitur per eandem tree b equi funt quattuo: c:ct tres b poflti funt equi ouobus a.ouo igitur a equi
funt adquattuo:c.cum quecuuqj vnf cfd&p cqualia funt interfe (Tnt i cqualia. etquattuot numerus tnfno»>
rumcoliectoium ouplereit Duo:um numeri fcilj collectorum niafo:nm.fgitur per ptecedentem vnus a du*
pier erit ad vtmm c.quod erat oemonffrandiim.poteif 1 I?oc vltimum etiam oemonffrarf.t&uoniam eift duo
a equi funt quattuo: ctvitue a per octauum pioloquium equus elt Duobus c.quomm enim tota equa funt et
co:um quocp oimtdta funt equa. Btouo c Dupli funt vnius. fgituret vnus o Duobus cequue: Dupler erit e
tn tuo quod fuilTcr iiionftrandum.

Ex duplici intcnialloatcp fcfquaItcro:triplcxnafdtur interuallum.

1 ' 1 ’ 1 1

ac tripler interuallum.

1 3 1 6 1 ‘ 1

a b ouplcr intcruallfi, b t c fcfqtialterum

(E Sint a bc interuallum: et a quidem ad b Dupler i b ad c fefqualter. bico a cius quod cftc triplicem eiTe.
quoniam cnimaadbbuplerdV.ergoaperDtfflnitionemcontfnet bisb.igitur aequatur Duobnsb. etquis
bfc(qua\tercitadc:igiturbcontinete eteiuepartem oimidiam. ergo peroctauam buius Duobequifunt
tribus csetouob equi erantvnia.fgftur i treoc equi erunt vni a. tresautem tripler funt vnius. igitur per
Decimam vnus a tripler efl vnius c.quod erat Demonftrandum.

Duoduplicia inteniallarquadruplexcomunguntintcriialfum. ij

1 4

i | ac Dupler interuallum.

1 a

c | 3 c geminatum Dupler interuallum.

(£Sita bupler ad b: etb Dupler ad c. o ico quoniam a quadrupler efl ad c. Wam quia ouplcr efl ad b:
igitur duo bcqui funtvuia. e rurfus qufab onpler cltadc: igitur ouo c equi funt vni b.et ii buoc equi
funt vnf btquattuo: c equi entnt Duobus b. St duo b poflti funt equi vui a; igitur i quattuoi c equabuntur
vni a. 3t quattuo: quadruplum funt vnius. igitur per Decimam vnus a quadrupler cft vnius c. quod erat
offendendum.

Termiml rcpcrirc:ad que quotcnncjjvolumas: liceat fuperpartieulares a (Tigna re.

1 5 r 1

6 | B ad c fefqualter.

1 J

c | JBadefefquitertius.

(T Sit pjopolTtutn termfnnm rcpcrlre ad quem fcfqtialterum i feiquitertium valeamus aflignare. Capio
Duocttria numeros Denominantes partes refqualteri atcpfefquitertif: Duonquidem fefqualterum «tria
fefquitertium Denominant. rdiicoDUo fntriatproucniatqj ouctu (Ilo cmanifelium elfcpabcre partem ni#*
midiam pariter et tertiam. hmgo ad c partem eius oimidiamict eompoiltus fit a, et iterum ad c fungo par*
tem eiuo tertia m :et fit eompoiltus b.quoufatn enim a continet c et cius partem Dimfdid: ergo per Diffinitio^
nem aad c fefqualter cff. et quoniam b continet c et eius partem tertiannb itidem ad c fefqtiftertius. c ig(*
turrepertus efltermiiiusad quem petiti fuperpartieulares rite funt alTignati. et pac lege De qufbuflibet
cfleoperandmrnvtflelTcntailfgnandifcfqufoctamts ctferquinonuotbucoctoin nouenictfurgettcrmfuu*
octaiiam|nonatncp partem polTidens: ad quem «fefqiiioctauum-zfcrquinonium rite aflfguaucrfs.cteo*

dcmjuoqj pacto modo tres: modo q

j 6 40 j 600

luattuo: aut quote

liiot libuerit ad eundem terminum aflignabis.

f7*

f40

48 0

1 * 1 6 1 ‘

‘

vt fl ad eandem terminum peterentur aiTignari fefquitertius Ifcfqufquartus ] fcfquiquintus 1 1 fefquioctauu»

Ducantur trla|quattuo: qufnqj et octo in feimticem ct ptoueniat e qui idcirco babet in fe tertiam| quartam
quintam et octauam.adiungoefuamtcriiamcompontiif^nta.ctfH3tnquartametcompolTnis fit b.fnam
quintam compotitus fit c.fuam oeniqj octauam -rcotnpolitus Iit D.Dico Demonitraiioiie ftiperfoir: quoniS
ad e confl ituti funt a b c D fefquittrtiu» [fefquiquartus [fcfquiquintus |ct fefquioctauusiqucmadtflodum pies
firamonifrat formula.

1 5 Si fefqualtcro mteruallo fefquftertium demptumTueritfnternallitm: erit quod tct

linquitur fcfquioftauiim . 1

9 | 8 | «

Scfcfqualtcr.B c fcfquitertins.

1 * 1 ^ 1 ‘

2 ad b fefquioctauus.

(T Site terminus adquEper precedcntE afTignati]fint)aferqualter: t b fefquitertfua. abacfefqualttro
fnbduco interna Ilum fcfquitertfum b c relicto 'intcruallo a ad b: quod cieo cllc ferqufocfauuitt. quonfam
enim a cius quod eft c cft felqualterra (crncl !?abet c ct cius dimidiam partem, quare per oetauam bnius
cuo a equi funt tribue c.t quattuot a fex c. ct octo a ad cuodccim c. Siirfus quonfam b buius quod cft c
fcfquitertiue cfl,b fgitur I?abet (n fe c t elue tertfam partem. quo fftvt per eadem octauam treebequf fint
quattuor c,z fer b octo c z nouEbad cuodccim c.at octo a quidE equi erat ad cuodecim c. igitur octo a equi
fuot adnouE b.per occfoia fgftur a continet b* eius octaua partctn.eftqs a fcfquioetauusad b z ^pofitft.

1 6 Intcrualli quarta 8i duodecima vnam eius tertiarum rcftitutxnt.

CE TRam quattuor interualli qnarte:totnm complent injerua Ilum.? cuodecim eiufdcm tnteruaUi cuodeei^
mcitotum itidem complent interuallum.quarc quattuor qnarte i cuodccim euodeeimeadinuieem cquans*
tur.buc igitur quarte fer ouodcefmie|et vna quarta tribue ouodeeimie funt eque, quorum enim tota equa
funttet eorum ofmfdia.St quattuor ouodeeimetouodccim ciiodceimarum funt vna tertia; quare ?vna to?>
tine tertia cui quidem cuodccim ille Cuodecfmecognofeuntureffe idem atqs eque, vna igitur totiue quarta
que tribue euodccimie equa cfle monftrata cft et vna Cuodeeima illi adiuncta: totiue tertfam partem refti*
tuunt. Aquantur cnfm vna tertia z vna cuodeeima quattuor cuodecimie. quod erat ccmonftrandum. £c
qnilabec eemonftratio fcquentfe gratia particulariter facta fltrpoffle tamen tnodoconflmili monitrare
omnem minorem cuiufeuuq; totiue intcrualli partem: proxime maiorem partem efficere: illi ndiectavna
partium a numero qui ex cuctu ceuominationum vtrlufq) partinni enafcftiir: cenominata. vt totiue tertia
pare minor eft:? fecunda proxime mafor:et fictio in tria Duxeris funt fex: idcirco vna tertia atqj vuafcxta
vnam reftituunt fecundam. Similiter quoqs quarta? quinta partee funt proxime maior atq; minor: ct fi
Cucie qufncp (n quattuor furgunt vigfnti:p2oir.dc vna quinta -t vna viccfiina: vnnni quartam reftituunt. e*
boc pacto in fcqucntibus vtfubiceta monftrata formula.

Certfa etfexta vnam fecundam effiefunt*

jaufntactvfcefima vnamquartam.

Serta z tricefima vnam quintam*

Septima tquadragcfimafccund* vnamfextam.

iQctaua z quinquagefimafexta vnam feptimam.

THona ? feptuagefima fecunda. vnam octauam.

1 7 Duc proportiones fcfquloctauerniinores funt fcfqtntertfo intcruallo.

j SI | 72

j 53ccuofefquioctotiicon(unct(.

1 • 1 6 1

o | 21 c fefquitertium fntcruallum.

CE Continua per fextam quartil2ritbmct{cc0_ouae fcfqufoctauae inter a z c:£ta vt a fcfqiiioctauue fitad
bjctb fefqutoetauae adc.et fit a ad c fefquitertium fntcruallum. ©ico a ademinue clTefnternallum iyaad
c.t^uoniam enim a fefquioctauue eft ad b: ergo per octauam Ijufue octo a equi funt ad nonem b.fed e quia
b etiam fcfqnfoetanue eft ad erper eandem octo btantfi funt atqs neuemc. tErcum vnuebeqnue fitvnfc?
octaneefue.ergo nouentb equi funt occem e -roctauevniue c.Stquinoucmb monftrati funt equi effe octo
eligitur octo a equi funt occem c ? octauc vnine. 3t eccem ? octaua vniue continet octo femeli ciua qnars®
tam ? eius vnam fexagcfimamquartam.crgo per cecimam buius vnua a continet vnunt c| vnam cius quar*
tam|et vnam fexagcfimamquartamrt vna quarta? vna fexagefimaquarta per precedcntcni minuo funt vna
tcrtfa:complent enim quarta z cuodeeima vnam tertiam.cuo fgftur lefqufoctaui minuo funt vno fefquiter*

tio fnteruallo.qnod erat eemonftrandum.

Tres fefquioftaui: ani piius funt fefqtiitertfo:mimisauteni fefqualtcro intcruallo.

7 19 j 6 4S

fil j Zlotreofefquioctfluiconiunctf.

a | b

‘ l !

(E" Sint a b c C treo coniun etf fefqufoetani: vt a ad b primos fit fefqufoctauiiajb ad e fecundus | ct c ad o ter*
tiuaicico primo a ad c amplius cirefefquitcrtio. Quonfam enim aadb-rbadecuofunt fcfquioctaubergo
per octauam buius octo a equi funt occem c? octauc vniua,Sed ? enm e iterum ad epofitua fit fefqnfoeta^
mia: ergoper eandem oetoe equi funt noucmb[ctnouemcequi deeem e ? octauc vniuectbcccm c equi
vndeeimccCuabii6octanf0.cteumoctooctauceeontfucantnoucmc:crgopcrccfiniani frufaavnaocia*’
uaceontiuctocfauamo-rcfua octauam partem: boc cft vn2m fexagtfimnniquartaw.ceeetnergo cctvna
octaua vnf na equanturvndecimc| tribue octauiajetvni fcragcITmcquartc.ct per cecimam vtvndccim?
treo octauc ctvnafcxagcfltnaqusrta adocto:ita aado.fcdvsidccitn continent octonos fcmcl tres eorum

partes [tres octauas jet vnam rettgeflrnJqtiartamvttiu e. ac ires octonorum partes amplius ftint tertia eo*
rum parte.Snpcranteniro tres octoaarif partes:tcrtiam eiufdem partem triente vniucrboc eft tertia vnius
parte.a fortiori igitur tres octonorfi partes] crtres octaucvniiis-rvna fexageflimaquarta ita amplius funt
tertia octonotum parte.fontinent ergo vndeeim] tres cctauevnius]svna fcxagellmaquarta : octo femclt
amplius eorum parte tertia.quare t a continet b -r amplius tertia eius parte. £fl ttacp a ad b amplius fcfqui
tertio interuallo.Seefido&fcoaadbmmojcmeffcfefqualtcro intcruallo. THam vndeeim continent octo et
tres octauastbceil ergo vna oetaua ad complendas quattuo: octatias | que funt octonotum bimfdium. St
vcroqiicfnperant.-trcsoctauevniueletvnarcxagcfimaquamminuscfficiuntbiniidiovnius octaue.quat 5
re et multo minus efficient vna oetaua. vndeeim ergo]? tres octauel? vna fexag£iTmaquartavniu0Contin2l
octo femcl et minue octonotum bimidio.ergo per Decimam fruius i a contineto femcl? minus eius diinis’
riio.£fl itaqs interuallnm a ad b minus fcfqualtero intcruallo.

Quattuor fefquioctaiiil conhuifti:fcfquaIterum fuperant interuallum. 19

J d{6l |

f 852 |

?1S4 J 4(5 OS j 40?fl

Se quattuor fefqui*

1 *

c | b I c

octaui coniuncti.

(I Sfnta beo equattuor coniuncti fcfquioctauita ad b primus]b ad c fecundus]cad 0 tertius It 0 ad cquar
tus: dico quoniam interuallum a e amplius efl fcfqualtero fnteruallo.TBam vt in preeedenti vffum efl octo a

equi funt vndeeim o | tribue oetauie 1 ? vni fexageflmequarte vnins.-z vndeeim b ] tres oetaue vnius t vna fe»
cagtnmaquarta:equaturbuodccime|fejoctanfslquattuoiftragcftmisquartie| tvni quingentefime buo*
decfmc.ergoocto a equi funt buodecim e| fexoctauis|quattuor fexagefitnis quartis|?vni quingentefime
buodeclinc.StvcroDuodecimlfcroctaue|quanuo:rcxageftmcquarte]etvnaquingcntcilmabuodccima c6*
tinent octo femelct amplius q> octonorum bimidtumtquoniam continent octo fcmel 1 bimidiumtet (nfuper
fex octauaslquattuorfcxagcfitnaequartaslsvnamquingentcffmaTn Duodecimam vnitis/Jgitur perocci# 1
mam l?uiuea cotinet e femcl 1 amplius <p cius olmidfum.fuperat itaqjac interuallum quattuo: fcfquiocta#*
uisconiunctQtfefquialteruniinteruallum.quoderatmenftrandum.

Q.uinqj coniunfti fcfquloftaui:minus duplici intcruallo coimingunt.

<E THampcrrndecimam buiusouplex interuallum ex Duobus maximis fupcrpanicularlbuetfefquialtcro
fciljctfcfquiteitioconiungitnr.Stconflitutisquincpfefquioetauis tres primi fcfquioctani: per occinmin
oetauam bufus minus funt fclqiioltcro interuallo.i tuo fcquen tes fcfquioctani qui vna cum tribus prioris
biisquitupcompietrpcrbccimainfcptimabuiusminus funtfcfquftcrtio.iConfuiiguntfgiturquinqj fcfqui*
octaui minus Miplfct intcruallo.

Sex proportiones fcfquioftiticiniaiorcs funt vnoduplici intcruallo.

J1 »144 1

47:592 | 419904

57524S j 55177 ^ | 29^912

162144

Hgfes

fcfqui»

1 *

6 1 ‘

•J :

octaui

coificti.

(ISitagintcrualUimfcxcoiiiunctorHmfefquibctauornm:itavtandbfltprlmuofefquiocrauus|badcrccfi

d 110 lc ad b tertius] b ad. c quartus|e ad f quintus. fafit adgfettus. bfcoquoniil a ad g amplius cltotiplid iu -
teruallo. Quoniam enim a ad b fcfquioctauus efbcrgo per oetauam buius octo a equi funt nonem b. et no**
uem b per eadem equi funt occem c|etoctauc vnius. et beccm c 1 oetaua vnius: equa funt vndeeim b[tribus
octauie|ct vnifcxagcfimcqunrtevnius.-r vndeeim D|tres octauc|et vna fetageflmaquarta vnius: equatmir
Ouodeciine|fcxoctati(s|qimlluo:fcxagdTmiequ8rtie|etvniquingentcfimcDuodccimc. buodecim autem cl
feio£taue|quattuorrcragefimcquarte|etvnaquingcntclTniabuodccima:cquanturtrcdecfnif|oecctn octa*
uis oceem fetagefimis quartis] quinqj quingentcflmis buodeclmie|ct vni quarte milleflmc nonagcHme
fcttc.HtvcroDcccmoct.me vnum continent integrum tinfuperbuasoctatir.s.quo fit iterum vt buodecim
clfetoctautlquattuorfctagcfimequartcl tvnaquingcntefliiia Duodecima : cqnStur quattuordcciinf] bua»
busoctauisloecfinfetagcfiiniequartislquiticpquingentcflmismiodccimislctvnfquortemfllcflmciioiia*
ge(lmcfctte.Htveroquattuordcc(mf|bucoctaue]6eccmfctogcnmcquartc|QHincpquingcntefInic buodcci*
iiic]ctvnaqnartamilIcfimanonagcfTmafcita:equafuntqiiindcclmg-roctooctaufseius)boccllcquafunt
fcdecimg) Duodecim fexagefimisquartislquindecimquiiigentcflmis Duodccfmfs fer quartis millcflmifl
nonagefimisfextia]? vni trfcefimcfecunde milleflmc feptingJtcfimc fexagefime octatie.St fcdecim 1 Duodeo
eimrexagcflmequarte[-mliqucfcqucntcsparticii!c continent octo biectattipliiis.^fgftur per Decimam !?u
iiis a ad g matus efl Duplici Intcruallo. fexfgitur fcfquioctani maiores funt vno Duplici intcruallo: vtiuten
dit propofitlo.CEftfl becpropofltio quo ad fuam Dcmonflrationem nonnullis fnbdifficilior videatur: l;oc
Idcirco prouenictq’ illis promptitudolvtcndicp habilitas oetaue Inone]? becime buius bccrir. 3dcirco par:
eonfentaneflqxerit cos qui in mufieie modulationibus ? earum contfplationibuefc exercitare voI«: mul*
tosfefquialteroslDdndefefquitertiosletaliosfcqiiJtesfupcrpnrticuIorcscoIIigcrcrquoufqjvfusfOlJifiCt»
darum proportionum ipfls tam fit factus pctnius Ipatcnfcp ? quali iam iplte bomcfticus.

<L 1(b:im( Elementorum /Dtificaliutti ^itjis.

-^miOnfonantia eft fonf granis acutiqj mixtura: fuauiter vniformitcrcp mti*
bus inddens:cx multiplici aut fnpcrpartictilari ratione profcfta, DffTo*
1’K^k^ljnantia eft duorum fonornm non fe natura fuauiter niifcentium:adauretn
ii^S ^^Sll pcnienics afpern : iniocudacp percufl'10. Tonus cftconfonatfeprincipiu:
cx foni ad fonuni fefquioftaua proportione prouenies. Semitonium minus quod
&dicfis dicitur : eft toni pars:qua fcfquitcrtia proportio duobus tonis maior eft.

Semitonia maius qua& vocat Apothomcn: eft toni reliqua pars: qua ipfefemi
toniu min us fuperat. Coma eft quo fcfquicctaua proportio: duobus lcmitonis mi

noribus maiorcft:quod & ide eft quod Apothome femitoniu minus vincit ac fup e*
rat Schifma efteomatis dimidium. Diafchifma eftdimidiu femitonii minoris*
Hemifpheriumiuficii eft inftrumetu p quod aut ncruo aut chotdc vt decet fuppos
Iitu:fcmftonia:tonos:c6fonatiafq3:&c6fonatiaru particulas:ad fenfum pueftfgam?.

Sonus emmclis is eft quo apte vtimurin melo. Ecmclis vero is dicitur: que mclos
concetufq5 116 admittit. Equalcs foni atqj fimilesdicutur:qui cx cade intcrualli p*
portione nafeiitur. Numcroru atqj interuallorii pars ea maior eft:quca minore nu
mero dcnomiatur:5i minor q denoniiatur a maiore. Multiplexpportiomaior eft;
qua maior denoiat nuiner?: & minor qdenoiatur a minore. Supparticularis ppor/
tio maior eft: que a maiore den omiatur parte.Miuor aut que denoniiatur a minore.

1 Tonum fuper datam chordam collocare.

a ri I r f 1 1 1 1 y

CSita b ccbotdaquecfi® fup» qu3iubcamur tonit collocare: diuido per tertiam petitionem cbotdatt»
ab fu nouicquaspottfonessitavtcbillarfinoucnarfi octo teneat t acvnam.E>icoqtu abi cbtonfi coti
tineiiticonftitiifir® (iipta data cbctdam c(Tc tommt.Wa tctfi cboidc fpacifi a b continet fpacift c b 1 infuper
oetaua eiuepartf;® a c vni illarfi octattarfi equa Ut. igitur per diffinitioni fpacium a b epogdoum: fefqui»
octa uO® eft fpacio c b.quare per piimam petitionem ca erit foni totius cljoide a b ad fonuni c b piopottio.
ext ita® tonus incbotda ab qui in epogdoalrefqufoctaua® ratione conftfttacollocatus.

2 Tonum tono ct quotquot Ii buerit:in data chorda fubiungere.

a «1 » 1 . 1 1 1 1 1 1 1 "l 1 M

<ESit data djoida a b in qua ptopofitum fit tres c oniequentcs tonos fubiungere partioi per tertiam peti»
tionem vt in pieccdenti factum eft fpacium totius cfrotdc ab in noucm equas pouionce. 1 in nota octauc
pottionfs pono esita vt b c octauas illarum noucm partium teneat. manifeftum eft per picccdentetn a b x c
b elfe tonum et per eadem petitioni partioi fpacium cb in nouS equas pottiones, 1 in termino octauc par»
ticule pono dlita vt d b contineat octo earum partium quarum t b noucm continet. per piecedentem c b ad

0 b fonat tonnm: eft® iam vni totioftomis vntie fiibiunctu s.&urfmn fpacium 0 b co nim ii modo in noni
equas poitiones diduco:? notam octaue fectionis littera e dcftgno:(ta vt e b octo carit partium contineat:
quarum d b continet noucm per piecedentem d b ad e b refonat toiiuiti.0imt igitur in data d?°tda a b tres
continue fubiftcti ton(:fcilj a b|cb.cb|db.bb|c b.quod erat ptopofitum.? hoc pacto quotquot lubet fub^
lungerc §>facillimutn cft.Ct ft id fcnfu crperiri oeptebendere® cupias poft pulfum totius cbot-ica b fup»
pone benttipberium d?oide a b in tigno c:iia vt fola perftrcpat lefouct® partlcuUcb tfenfas fudicfooc»
piehcndes foni totius a b ad fonum c b elTc toni iutcruallum. ® ft l?cmifpi?eritim tranffers ad notam d: ce
pulfu c b t e b iterum tonum deprehendas, fcd ct totius 3 b feno ad fonum panicule d b duos tonos[duos=
rum® tonoium interuallum perpendet audirus.-r hoc pacto fenfuum indiciis quotquot voles tonos oepte
hendendos cotnmittteres: z cotum mfpturas tum fitauee: tum inconcinnas C quas auditus tau® otfenfus
hotret refiigit®3deccmcndas.

$ Tonorum continiiarorum:minfnios numeros afTignare.

f 9 o 49 1 fz4 8g~l 4I472~ 1 5dS(?4 |Ti7<i3 1 t^ r(n®tonoitiniaditnriceni^ott»

n i o_[ p_l q 1 r T s 1 nuatotummfniminumcri.

1 6 t 6 1 i 1 fis 4 1 4tfog 1 4Q5»<? 1 1 t&uamtot tonotuniadiimieicoti»

) b I i 1 *t 1 1 1 tti 1 1 nuatom m minimi nu meri.

] 7 : 9 I 6 48 1 t~l 6 l «u l 1 1 Criunt tonotuni a dlrnticemcon»

j t> 1 - c 1 f 1 g 1 1 | tinuatotu m minimi uumeri.

I * 1 l 7 : 1 6 1 l 1 1 jgmomtn tonotuni adinuicem con

1 a l b ( c | l J 1 tinua totu m minimi numeri.

CE Si Duo:tres:quaituo::quiu® aut quotlibet toni llnt continue in neruo cortituthfic cotum minimos nu
meros repcrletmts.t&nt ctnnouJ? octo minimi fttm numeri toni duco noui in fe ? .pueniat a: z noucm in

MVSICE

orto 7 pzoueniat b:« odo In fc 7 pzoueniat c, per vicefimStertiJ terti} Brltljmctfeee (nter a b t b c funt brn»
fcfquioctaulin minimis numcrioc6ittcti:7 pinde otio toni in minimis numeris cotinuoti.Ct IT noni ouco
in a b c ct octo In c «Purganto c f g.pcr eandem inter o e f g tres funt in minimis numezio fefqufoctflui c5
ftitutizquare e c f g funt trium cotinuaiozum tonozfi minimi numeri. £t n nucis noucm in n e f g ct octo in
g et turgantb tklmper idem quod pzius I? t k l m quattuor con tlnuozfi fcfquioctauozfi minimi funt nume
ritquarc 7 quattuoz continuozft tono:um.£tfi rnrium l?oc paeto nucis noucm (n b i k I m 7 octo in m ct fur
gamnopqrsripficruntquincpcontinuozumtotiojfimintminumcri.sbocmodo quotquot tonozumvo
les minimos numeros reperias, attamen in modis muticis tot continue fubiungerc opus non eft: fed to*
nis femitonia ftibimigunturzcc quibus pofterioz pzopzius accdmodufq; cxpcctandus eft fermo.

Spacfo quolibet pet quotlibct equa fpacia diuifo:totius ad tota proxini c feftionis 4
partem minor cft proportio:^ ciufdc parti s ad tota reliqua proxime feflionis parte.
Quo vt quato ton? tono fubiugftur acutior: tato ipfum cotrafhora cotincat fpacia
«f *>.!_ ~J I f\ sl frl j[ ftl t» l

<r£bozdani[ncruQltlbiamlctflatfiacrfi|cs timnulum t quidquid fonum edit in barmonicis modfr(vt iam
quoqj otetu eft 3 rpacium niicupamuaiin quibus ntmlogicratio viin|nntnraep feruateadem. Si tergo ab
totum fpacium per a e) c n|n e \ e f:t reliquas noucm equas parte* vt fit in interuallo toni babendo bini 9
fumJquotquotenfm alias pofucris ide valuerit.nico mino:? eiTe;ppoztion? a b ad c b cp c b ad db.THamcrt
a b pofltfi fit in none equas pattes per medias netas c n c f 7 rdiquosniuifunuc b continet folfi earfi partili
octotquarfi a b cotinct nouc.crgo a b cotinct fpacifi c b 7 eius octauam part£.fcd 1 cfi c b octo partes parti
c n equas cotincat: ergo o b cotinct partiti totarfi (oium (ept?. ergo c b cottnct fpacium nb^fnfuper cius
fcptimS parte. St octaua pars per diffinitione mino: cfi parte feptima: igitur iterfi p diffinitioni a b ad c b
p;opo:tio fuper particularis minoz eft q>c b ad 0 b vtpote que a minozc parte denominetur. eft enim bec a
feptima parte fciquifepttma pzopoztfotitla vero eb octa ua fefquioctaua.Ct bac 116 modo iit fupcrparticu#’
laribus. veru 7 quibuAibct medietatibus ocmoftrafpzima bccimi Sritbmetices vbi fcilj ratio mcdietafcp
azitbmctica copcriatur.quod 7 in oicta fpacij dluiflone 7 fumpta (vt ptopofltu cft]) pzopoztfone: inucntuni
c6fpicicbatur.CCi£o:rclariuverobinccognofcaturq»totftperquart5 petitioii£adfun partf grani 9 fonat:
pars afirad fufi totfi acutius.^taqc fi tono a b 7 cb tonfi lubifircris: fubifietus erit acutioz. £t qm ipacium
c b in nou? equas partespartircturtquarfi quclibct minoz erit fpacio c 0 quod eius octaua cft: na quelib«
carueft nona z a maiozc numero denominata. Erit igitur 7 quclibct carft non? partium minoz Ipacio a c.
equa funt enim a C7C 9.7 bocpacroocquibuflibctfubfunctisacutiozibus tonis e fiet Dicendum. Zftanife*
ftum eft igitur vtquaio totius tono fubifigitur acutiozztato ipfum cotractfoza cotincat fpacia.

Mcdiocxtrcmir.ita toni fpacio i duo equa diuifo:ton? mime in duo fccatur cqlia. 5
13' cl p I e| f ) g[ ~ bl II fc l ~~ b[

I i 1 tn [ n 1 0 1 p I «1 1 r 1 e j t |

C Ibcc 7 fcqucntiainteUigunturvt tonus minime in euo equa ratione geometrica dirimatur non autem
aritbmctica.nam 7bictonuston($ tnteruallum in tuo equa latioueariibmctica pirfptum cft.®iuidocr
gofpaciumabvtpziusin noucm equafpada:pcrnotosa|c|ple|f|glb|l|klb manifcftficftab7cbcfretoni
ettrcniitatceitomiqs contin cre.&ico ergo queni2 a c medio barfi cxtrcimratfi f nerftitio fn duo equa per fis»
gnum l circmpto:tonus minime in emo equa partiatur |q ^ fenus a b 7 1 b cquafte non fit 1 b 7 c b. oiuido
enim lingula reiiquoifiocto CQualffi fpncfozfi cofitnili modo per cqualia per notes in|n |o|p|q|r|o|t:uiani^
felium cft rotfi fpacifi a b diuifuni cfTc in 1 s cqualia fpacia que liintfl |l|c{in (p (n |c|o 7 reliquo. ergo pcrptccc
dentem minoz cft pzopoztfo a b 7 1 b cj> l b 7 c b.£ft enim bec Icfquifcrta occimadlla vero fcfquifeptima pcci
ma.uon cft ergo tonus boc pacto (n duo equa piu ifus. ct feni 3 b I b)7 1 b c b per diffinitionem adinuicem
(tiequalcs;qut quidem foni ccmelcefuntinnillcoqj melo perparum apti.

Tom fpacio hocmododiuifo:totius medie fcftioiusfonus: maioris extremi toni 6
fonum aoimin c: minoris vero grauitate fuperat.

r a « i ~n c ~ r si in n g g

1 1 1 .

C Sit 0 b vt in pzcc edenti iam Pictum cft piulfumtita vt a b ad c b recrepet tonum. JBlcoquonia fontis Ib
acumine Itipcratfonum a b)<pq? idem fenus I b grauitate vincit c b.lfiam a b totum eft 7 1 b cl 9 pars: ergo
per quartam petitionem a bgrauiozcm fonum edit 7 1 b graciliozcm.et per cgdcm qncniftl b totfi ellndc b:
fonuslbgraiiiozcftfonocb. Superat ergo Ib maius toni «circinum acumine: 7 minus grauitate. quoc}
jpzopofitumerstpcmonftranduni.

Tonum in duo equa cccrtoconflitiitoq; numero diiiidi impofTibilc cft. ; 7

CClHam per quintam pzfmfbuiiisnulhimfiiperparticularc intervallum in plura cqualia dirimitur: et que
p:op o:tfo fpactozfi interualli inter fc ea quocp eft 7 foni ad fonfi.- 2 }tquf tonus eje ftiperparticularinafeiiur
intcrunllo.nafciturenim er epogdoa jfefquioctauaqs ruticnc.igitur tou 9 minime fn cuo equalfadirimitur{
pfuiditurcp.immo X>o necp in plura duobus cquasvt in tria aut quattuoz. (E £rquo facile cognofcitur 3ri
ftorenus mulleus autifi iudieio eficta c 6 mitt 2 spcrparfi cfTc pzobadus.qui femitonia fccus q> ^rt^asoziv
ct non arbitra rurelfc dimidio tono eotractioza:fcd quemadmodum femitonia dicitnturnta quocp ctelTrtns
tegra tonozum dimidia, IHcc minus XDartianusfclif: fimili lapfus erroze oepzebcnditur: qui non modo

tonum inDuo equaliJifcd ? in tria 1 ? quattuor birimft at? fecat.Sccat cnfm (n prfmfs tonum ftt Duo cqua^
lia que idcirco Semitonia vocat, fecundo in tria i earum tertiarum quamlfbetoieflm tritemeriam nficu^
pat.Kertioinquattuor ct hanc toni pariem quartaimvocatoicflui reirartcmeWarm ? hedlefcs uunctntit
nunc quart: toni luut partcs.fcfteinm tritos tcrtlus|tetrartoequartuej? meros pars, ifS>onit? tertia ble**
fcoe acceptione vt eaipfa toni tertia ? fert (c bfmidfs pare oicatur.£t rurium ptimi modi prime? acceptio*
nis Dicfeercbromattca e vocat Ifecundae vocat enarmonlcat |terttao vero cnarmonice pfuifTonie bemfollaB:
pariim Srlftopcno fimiliteripartim autem bilTImilifer.Sfmiliterquidcm ? Sriftorcnuetonf Dimidium fe
mitonium ponat cl toni tertia oicfTm chromaticam vocet fed chromatis moliet? toni quartam bicdm enor*
inonicani. atoilTiiniUtcr ? toni quartani cum ptoptia quarte medietate vocet olcdm chromatis bcmloltj,
£t certe vel JDartianus in tertia Dfefeoo acceptione notio errore lapfiis putandus elhvcl eCdem p utafTe \?c
mitonium ? Diefim enarmonici Ijemioltf fdem efie.nam cum omne totum tribuo fufe tertifs integretur: vn 3
ergo tertiarii ? tertfe medietatem totiue Dimidium implere ncccfleeft. Sed cfihecfc fatis falfa edieptobJtj
? nulla fui parte cobereantmon cd cur in I ?is Ditufus fermo fit protrab&lus. Sic enim qui dolidum fcnfue
iudicium fcqucntee intellectum relinquunt: facile ct Difcipllnarum aditio fe crplofoe fentiunt.

Quicunq? numerus in terminos toni diicatur.interualhun toni relinquet.

CE fflam cmn tenuo ? toni fiiteruallum In proportione fefqnioctauacofidat:fuitcrmini erfitnouem acocto
aut qulcun? oli| qui flnif li flbi piopoitione rcfpondeant.^St cum per feptlmifeclidi arithmetices: II vnus
idem? mimcrusouos multiplicet p:oductonmi?n»iItlplfcaforuui eadem dtp:oportfo:crg<jqufciin?nu**
tnerue bucetur in terminos fcfquioctaucrfcfquioctaud producet|reIlnquct? tond nt? toni (nteruallfi quod
ed ,ppontfi.£tno modo oe fcfquioctauo ? totiitiitcruallo (d (entifdfi ed:fed ?DcquoIibet altero intcruallo.

Omnis numerus:extremonim toni differentia conftitm poteft.

CE Si enim tonus fn mfnimls eoftituatiir vt funt iiouem at? octo monao Differentia crt:cum noucnarius
at? octonarius fola vnltateoidcnt( 5 t.£t IT Dueaturblnarius in nottenarfum ? octonarium ? producatur a
? b per picccdcntia ? b crfit toni extrema. Sivero per non 5 ptimi Sritbmctices quod fit ex binario in no<*
ucnarium tantfi cftquatfiquod fit cx binario in octonarium ? vnltatem. fcdbinariuo In vnltatcm pcrcom*
muncproloquififeipfumproducitiigltiirertremojum toni a ? b bfnarluo olffcrJita codituitur. £ilT oucai*
tur ternarius In noucm? octo: eodem quoqj argumento ternarius extremorfi toni bfffcrJtia codittictur. £t
ita qufcun? alter numerus in cofdem minimos toni terminos Ducetur: idem extremorum toni Differentia
condituctur.XPanffeftumita?cftomnemnumeruincxtrcmo:um toni Diffcrentll conditui pude. £tqu 5 cf>
ita ctT placuit tfi ipbdolao ipyihagotico prlmordlfi toni Iprimordfad? eius oltfercnrid temarifi condltuc*
retquf ptimus cubum a ptimo impari numero procreat jac gignit.? is numerus apud Tg>y tbagot Icce ms*
sime honorabilis fuerit. TBam cum ternarium primum quidem imparem numerfi tertio burerfetnoutcon*
furgunt. que ter oucta feptem fupra vigltt t(:feil5 cubum a primo impari reddunt, at % 7 ad 1 4 tono Didant |
toni? claudunt infernalium:? horum Differentia ternarius codituitur. cd enim ternarius fumme 2 4 pars
octaua:quc eidem adicctafummclprfmft atetnariocubfirurlue inflaurat at? perficit. £t idem Philolaus
fumniafcpteitt ? viginti in ottas partes fccuit 13 ? 1 4 quarum hecma(or[ illa vero minor habetur i ct hanc
primordium. 3 pototncofat(::que edtoni portio ma(or:i!Iam autem fadt principium Diefeos: que ed toni
DcellTo minor at? portio:? qua poftcruts fcmltoulli minue nlieupabimus. ? illarum •narum partium Diffe
rentfam que cd vnitas facit comatis principiunt.Sed oe his fatis.

Numeri dati parte quofaciinqj rcpcrirc.Q_u° fit vt emuflibet nnmcri pars ab ipfo
(it numcrata:&a denominate ciufdem partis fit denominata.

J 12L

' * 1 1

1 6

. . [

CE i&uauis em mittierorfi tiumcrantift quj cxtplares (nata funt: vnitas mfceabilfsexidatmumcrorfi tamJ
numeratorum quales luphKklefuntniotutinumerllingconietridaUnesrli? planorfl|(naflrologldetcm
porum l'n mudeis autc tonorfi at? interuallorli vnitas aut verins vnum. rectionem recipit. Sit ergo a qui*
eun? numerus cuiusvna partium Denominata ab bqutflta fitrrcfoluo a In omnes fuos partes Denomina*
«asab btDucendo firflj benominantt numeri a in Denominanti partis b:ita vt proucniat c.mamfcftfi ed par
tcscflmul Denominatasab bcquaritottnumeroa.Diuido igitur cpb?proueiiiatD:DicoDe(rcpartipctita|
cc numerata ab a.hoc ed a numero Denominate a.(i&6 eni dt pars a Denominata abb que petita erat: patet
qra in 0 per fcptlma petitionem reproductt esquare D ed pars c Denominata ab b. at c cquatur a. igitur ? o
pare cd a Denominata ab b.Sed ? <p D numeretur ab a:patet.quia a in b .pducit e: ergo per fexta petitione
c Dittifo per b redibit a.fed ? eodem c Diuifo per b prius veniebat D.numerat igitur a leinclD.? dc propodtio
at? fuum corrclariQ nota funt.CECt^uiohec vt modretur perfacilis dtivfus tfi eius aliqu 3 to latetior: qui
exemplaris Deductio facile cui? reddet illudriorcm.vtqucdtadtverbicaufa fumme Decernet feptem pars
fextadccima duco vtriul? Denominantes in fcinuice.hoc ed 1 7 et 1 6 ct furgent ; 7 : fcxtcdccime. tot enfm
fcxtardecimas continet numerus 1 7 rcfolutus.oiuido ergo 2 72 per 1 6 etp:oucnicnt 1 7 fcxtcdccime : que;
erunt totius fumme paitium 2 7 rlpars fextadectma.quare ? numeri 1 7 pars itidem fextadeelma.at 1 7 fer *
tcdeeimcvnitatem continent ?vnam rextanidccfmam.£d(ta? vnitas?vna fextadccima: sati numeri 1 7
pars feytadccima. £tdnumerlpeccm?octo quereretur pars leptimadecima PucoDcecmct octoinoeccra

MVSICE

i reptem et productum biufdo per 1 7 et venient 1 s fcptimedccime { quevnum complent integram] vnam
fcptimamdecimam,£(icrgo vilitas « vna vnlmtfs feptfmadedma oate fumme occem «octo pare vna fepti<=
madedma.Sf vero fumme Decem «feptem volo partem oetauam reperfrctouco \-jinocto «quod piodu*
ctum fuerit oiufdo peroctorpioueniettt 17 octaucquebuas vnitatcstvnam oetauam efficiunt, erant en
a 0 duo t octaua vnfue totius fumme necem « feptem pars octaua.quod qucrebatur.ee ita in qufbuflfbet fe
'quinis valeatcrerdtare:babcnt tamen que particulari icremplariqr Dcmonflrationc funt oflenfa: ad fequfe
tia pondus ac momentum.

Sidnoinequales numeri ad eundem minorem comparentur: maioris adipium 11
maiorcftproportio: et minoris minor.

(E€t (Int a‘b duo inequalee numeri qitoifi a fit maioi [et b minouqui eoparentur ad eundi mfnoil c. Dico a
adcmafotldTcptopottionlq» b ad e. iRamcfi per octaua petitioni crtremoiS a ad c proportio copofita 111
er pjopoitionibus a ad b « b ad c vt fuis partfbue.-ergo pioportio b ad c parselt proportionis a ad e et pro»
portio a ad c totum. « eum per vltimum eomune proloquium: omne totum maius fit fua parte : igitur pro*
portio a ad e maior c(l proportione b adc.etfta cequfbuilibctalifs ilmili argumento cft agendum.

Scfqmfcxtadccima pi oportiorintcgrum toni dimidium fnperat. 1 1

m » 1 c l f l g l i> l 11 hl bj

I "i I i n I n 1 0 1 p 1 q I r 1 e | X I

CE&ufnt j buius moilrauit medio ertrcmoru toni fpacio in ouo equa bfuifo: tonfi minime in ouo equa Jgeo
mctrUepartiri:ctfection£I?iiic«inde altrinfec’fefqmfcpifmadecima ] et fefquffertadecimaretincreptopor»
ttonl. 10 cc vero oiledit fefquifertadectma p:opoition£ queillic er parte intenflonis aeuminifcp relinquitur:
bemitoniolintcgrocptonioimidiociremaiojcm.etfequenomonflrabitrcfqmfcprimamdceimflm ergrauio
ri parte fumptam: eodem toni oimfdio efle minorem. Sit ergo vt in quinta l?uiue fpaeium a b in Deccmet
octo equas partes per a c e e f 7 reliquas notasoiuifum. ita vt a b earum partium contineat occcm et octol
ctcbfedcdm|« Ib occem « fcptcm.manifefhiin clt a b « c b vt p:iue vifum dt eifctouumrctlb 17 adeb 16
elTeferquifenadeciiimm qua babitudinem bico effe integro femitonfo maiotcm.quoniam enim per oeci*
iimm Ijuius vnitas « fertadecima vnius: efl funittie oeccm « feptem pars fertadeeima.que fi eidem fumme
adijefatur fient occcm « octo| ctfertadecima vnius. at octo bcccm « fcrtadccfmo vnius ad bcecm «feptem
per Diffinitionem cft fefquifertadecima. Sunt ergo oeccm « octo «fertadecima vnius ad beeem «feptem et
Decem « feptem ad ferdecim Duc confuncte fcfquifcrtededme.fcd ocecm « octo « fertadecima vniustper pr&>
cedentem maior eft fefquioctaua ad fedeefm.lHam occem « octo ad fedectm vt piius vifum «fl: fefquioctaua
cfWgftur fcrquifertadccima bis aucta tonum] tonicp intcruallum tranfeendit, quare per nonum pioloquffi
fefquifertadecima ptoponio integrum toni oimidtum fuperat. quidquid enim bis auctum tranfeendit alis»
quidtid vitra ejus oimidiumeiTcnccefle eft. £r quo volemiore iurc cognofdtur fefquiqufntamdecimflm et
omnem piopoitioncm fefquifertadecima matorcnr.intcgrum toni Dimidium fuperate.

Scfquifeptimadedm.rminor cftintcgrotoni dimidio.

I 1 9 1 1 ip. 1 I is [ 17 1 8 ad b f efqui decfmgfcp tfmatn piopoitioncm ciri

| 0 g I c 17 | a | b | nctiqiic integro toni D imidio contractiot efl»

(ESint 0 ocecm «octo interuallf partes «b oeccm «feptem | c Decem « noucm « vna fcptfmadcdtna|bvc^
ro oeccm « noucm «vna octaua.per Decimam buius a ad b efl fefquifeptfmadedma.« c ad a flmiliter fefqui
feptimadecima. funt ergo c fld b duc fefquifeptitucdecime adinuieem coti functe, fed et per eandem badb
fefquioctaua efl atq$ tonus. Dcnfm continet b« cius partem oetauam. atoad bpiopoitio maioiefl pro**
poitloncc ad b.nam vnius pars octaua mafoicll vna feptimadecima. ergo fcfqulfcptimadccftna piopot^
tfo pr r bedmum proloquium minor efl integro femitonfo. quod enim ouplatft non impiet integrum: nccp
id quocp continet Dfmfdium.£fl ergo notum fcfquifeptftnamdeeimam piopoitioncm integro toni Dimidio
eifcminoiem.

Integra toni medietatem : inter fefquifextamdcc/mam & fciqirifcptunnmdecima 14
proportionem cadere neccfTeeft.

(E Iflam per Duodecimam fcfquifertadedma maioi eiltoni Dimidio: « per Dedmamtertfam CefquKepitm
decima minoi efl codc tonioimfdfo.at per communem fdcntfam inter maius atep minusDimfdfo: (pfum of
tnidium eonflllcrc nceclTe efl.crgo integrum toni oimidffi inter fefquifertamdeeimam et fcfquifepffmamde
cimam cadere nece(Tecll. 0 ed id in itoto|intcgroq? numero nullo pacto vtfeptima buius monftrauitfieri
ccmrfitgcnvtncqdn geometricis Diameter quadratfrcius cofte certolconftitutocp ntjmtro comenfurnripo
tcft.Sed boc vltimum cr altero loeo requirendum efl.

Semitonium minus: duobus tonis in chorda fubiungerc. 1 *

fa c l t>l el 1 I bl

CE #ntclligitur femitonium fubiungi quaftdo efc acutioti parte duobus qufdem tonis adgraufotcm partem
«lictis (pium femitonium collocatur, pteiuhgi vero quado (pftim et parte rchiiffioti duobus tonis adbibe»
tur.Cotinuo ergo per fecfidabui* duos tonos in cbozda a b per notae a c &b. Sftcp ab cbiptimits.* fccfis»
dus fit c b t> b qui quia per oWWtfonem iti fefquioctaua ptopottionc confiftfit: i per oecfmfifepttm 5 ptimi
l?ui 9 mic fefquioctaue tnittozes flint fefquitertia pzopottionci£rit ergo a b i b b tnfnue felquitertlo,£dui*=
d® ergo a b in quattuo: partes equas:* initium tertie lectionis fecio ftotam e. ita vt e b tres earfi quartarii
cotincat :per diffinitione igitur a b ad c b fefquitertia ptopottio efi.fedfefquitertis .ppottio a b i e b fuperat
nuos tonos abtdbfn ptopottionc ob te b.fcfk igitur d b z e b per bcfcrfptioncm femiMqiunt mimis duo*
bus tonis: vt pjopofitum erat fubiunetutn, .

1( 5 Scniitoniiimnimns:duobus tonis prcporicre.

m ei »1 ei i i i i j i i bi

CE 'facio a b ad c b fefquitertium intcruallum et ditiido c b in octo equas partes et fitpta c verflisa: facio b t
vni earum octo partium equalita vt b b earfi partiti nouem cotineat.iper diffinitiohed b t c b vnum confti»
tutmt tonum. Similiter oiuido o b fn octo equas paites: ivna earfi adifigo fupta » per notam e. quare Iti»
rum c b t o b erit touus.funtqj buo toni cbtc b.fed a b « c b fefquitertia ptopottio tmafot cfi buob 9 illis to a
nis in ptopottionc a b ?eb. £ft igitur perbifFinitfonem abtcbfemitonium miitusiquodcum fit duobus
tonis ptepontumtquonia er parte remifia illis adfuhctum.factum eft ptopofitum»

17 Duobus tonis:dicflm femitoniumqj minus fnterponerd.

{ B t> e c b )

CE 5 dem biefim atqj femitonium minue blc(vt iam quoqj bictum eft)lnteIligimus.J 5 itergo ab icb vtitt
ptecedcnti fefquitertia ptopottio in tota cljotda a b.ab a:c vcrfusdntendo tonum per notam &.? abe verfus
a remitto tonfi vt in ptccedfti factfi eft per notam e:ita vtabt b bfft tomistt fimiliter cb t c b tonus.nmnf»
fefium a b ct cb fefquitertia ptopottionem fupcrarc duos illos tonos in media ptopottione obteb. £ftigi
tur per diffinitionem d b t e b femitonium minus duobus tonis interceptum ct ptopofitum.

Semitonii minoris minimos nttmefos reperire: & quomodolibet femitonm m U

nus in chorda vna aut pluribus collocare*

1 524

1 138 I

if5

245 1

I f

1 S 1

k i

l 81

» 1

1 8 1

1 a

l b l

1 4 _

_1 5 1

t l L . m 1

CESit a nouenarius t b octonarius minimi numeri toni .duco a in felet’,n in b| et b in fc| et confurgfit mime*

ricdc.intcrquosperfcrt«m quarti arithmetices cruntduolefquioctauilduocptoniinminimis cotinna»
ti.Sit pteterea l quaternarius i m ternarlus<buco linede? ptodeant f g b: inter quosper fcptimn fccfidi
arithmetices fimiliter coiimcti funt duo fcfqu(octaui|t ptoinde duo toni. J^uco pteterea itidem in c i pio»
ticniatk per oetaufi fccfidi Sritbmeticesfadh eft ptopottio fefquitertia que per 1 7 ptimi hui 9 minot cfif
b t differfiia cll h k.dico ergo I? b clTc minimos numeros femitonif mino:is.q> emfint numeri femitonij mi'
notis per&iffinitionJnofumeft.fcdqnninitnitidiaindeclarandficft. ttam quia ce funt infoa ptopottione
tninimiipcr decinmoctaua tertii arithmetices f unt cotra fe ptimi. tquia etiS I 2 a quaternarius 1 noticnas
rius funt contra fe ptimi. ergo per vndecfmi tertii arithmetices I eft piimus ad c.? per bccima eiufdf I? quf
nafeitur cxltc ptimis etdS numero cterit pzimiie ad c.Surfus m t b ternarius atqj octonarius funt adimit*
cem ptimi.ergo per vndeeimS tertii t m ptimtis eft ad e fed t cfi l[m quaternarius t ternarius fint etiam pti
mftergoper oceimam eiufdcm m etiam ptimus eft adi?. «Cum ergoctm monftrati funt ptimi adi?: ergo
per eadem decimam tertii numerus k er c t m ptoductueiptfmus eft ad I?,Sunt itaqj l? t k femitonif mi**
notis numeri adimite? ptimftquare per vicefima terti) arithmetices in fua ptopottionc mfnimi.quodcft
ptopofitfi quo ad boc.£t »ata quaefiq? cI?otda fl ea diuides fccfidfi mimerfil? 1 earfi partifi accipias fccfidi»
numerum k numerosfcilj femitonif minotis vbilibet in cadScbotda conrtitutum erit femitoni) minctis in»
lentalium.?» diucrfie afit facillime tdem feceristfi caschotdas equalcs cqualiter tenfas vnifou afqj pofue#
rislct partiaria earum quacunqs voles fecundi» bquarfi partium alterius acceperis fecundfikcrit tum fit
pluribus chotdis femitonif minotis conftitutum intcruallum.quod eft totum ptopofitum»

1 9 Semitonium minus in minore q; fefquifeptfmadedma fit: proportione conffftft*

Q.110 fit vt regula femitoni i futuendi: non fit differentiam extremorum toni in duo
equa partiendo..

MVSIGH

\ !;* 1

288

l tf 7

f 1

2 <6 |

I 4 J 1

1 f

l 6

1 1

17 1

b I

s 1

(E Sltitvt in ptecedenti 1? k mlnftni numeri femftonff minorievt ouccnta quinquaginta fex: i pucftaqua*
draginta tria. Capio per Perimam buiueifcptfmamdedmam partem numeri I? Pucironitn fdl; quadragin»
ta triumierikp quattuotdrrim i quinqs feplimededmc. 2ddo fraqs quattuoidedm et ; fcplirtiafdecfmas ad
k ifiatlnumcrua : f 7 et : rcpnmedcrimc, £rit ergo numerue lad k rcfqutfeptimufdcdmus.at l ouccnta
quinquaginta feptem et quinqs feplirtiededmc tranfeeudit I? quifolum erttueentotum qufnquaginta fer.

Con(Wctitaq5rcmitonfunini(nu0pervndfc(rti0mbufu6innimo:cpjopoufoneq>fltp:opo2tfo rcfquifepris

madedma.quarcctafoitiCK iu mfno:eeonfifHrpjopoMione §■ flt fefquifmadccfma. Coire larium bfncno
tum elUBam 1,’ocparto partiendo crirctnojum toni ipacfumicr quinta buiuftcognofhinturfcrqiiifhtade*’
cima arcp fcrqui.eptimadecima altrinfecite conftitutitquarutn vtraqs pzefena iiionfirauitfcinitonij minoris
habitudinem cil'c mlnojcm,

Scfqufoftaitadecima proportioifemitonio minore rurfus maior enadit. 20

r I 1 1 S 6 1 :45 1

I C 7 | a | 6 l

(E Sint a b minimi numeri femftonff minoiis per Pecimamoctauani buiue reperti fdl3 oucenta quin» 51
quaginta fcr|ctt>uccnta quadragfnta tria. eapio per perimam buius octauam Perimam partem numeri
b:qtiam reperio effe tredeci m 7 femielquam quidem addo numero b 1 fiatqj aggregatu 0 c.tunc e ad b fefquS
oetauadedma pioponto efhat e niaiot numerue cft a.nam a oumtarat continet pueenta quinquaginta fet:
c vero eqimlium pardum totidem 7 fofuptr luntiTcmvnius.clt igitur fc fquioctauadcdtra ptopojtio fcmlto
niominoK nxriot.

Sefquinonadcciniaicftfcmitonfomittore irrinor.Qjiofit vtfcnritoniu mimis ine 21
ter fcfquioftauamdecimam ct fcfquinonamdecimam confiftat collocatum.

1 zf < ? I iv 1 t4y 1

I • S 1 c ty 1 b . 1 .

CESfntvtpriuoiiriniurifcniifnifcmifcr.ffmittotteactbipfcofcfqtrinonatudcrimampjopojffonem mino
rem efTe pzopo «f onc a ad b.capfo cn ini per Peeimam I?nlne:nonaindcctniGni parcem n umeri bfquam iiiuc
nfo e (Tc Pitodeeim 7 qufndceim nouafdcc impp.quam pariem adtfcfo numero b 7 flat c. p7opo:tf® c ad b eft
fcfqmiionadcriinfl.fcd a matus cftfpc.fgitnr per vpderimGtnbiifus! maiue eft femitonimn minue fefqtiino
nadectma piopotdonc|at^ fcfqufuonadccinia proooMfp fcitritpitlo mjnotc tninot. Cotrclarium vero vt oc
cfmflquartabuiue notum «fle poteft.

Semitonium mamstfn data chorda conftitucrc.

wn «r 1 i r~~ \ 1 i 1 bi .

<E Sit ab -r c b femitonii minotie intcruallum. S?iu(do c b in octo partee equae : quibue equam facio
pariem c o.ita vt p b nouem contittcat.ergo t b 7 c b crittonue.pctuo igitur a tono p b 7 c b fcinifonium ini
nue fcil? a b?cb(reUtiqucturtp ob 7 a b tonirdiqua paret qua ipfc femitonifi minue fuperat.igiurper
PtfFinirionem p b t a b femitonium maiue cft in peta cboida C vt pjopofit^m eraO conlliiututn.t quemads
modum femitonium maiue collccafti ad partem grauiotcmriraquctp ad partem acuminis collocare fa?
cillimumcfret.

Semitonii maiorisrmininios numeros rcpcrirc.

1 J 187 1

J04S

1 r

194-4 i

I e 1

c i

1 1

216

1 1

Z4$ l

1 ■ .1

1 1

b l

1 1 Isi l

1 1 » 1 i

CE Sinta b minimi numeri femitonif minotie er Pccimaoctaua bufus reperti ct f octonarius, quoniam eje
Dfiiionftrationc oecfmeoctauc bniuef oetonariue primtiscftad b. ergo f non numefat b. non bafcctfgi** 5
fur b octauam partem.puco igitur f in b ct in a et cofurgant c Piper feptimam fecundidemeutojimi Srltl^
sueticee oad cvt a adb.cfl igitur inter pc femitonium m(nue|fem{ton(fcp minoiie intcruallum. et qufa
c babet partem octauam vt biaddo eidem numero c partem octauam cfue blt coaccruatue fiat e.rotinetigf
ture numerum <Iet partem cfue octauam. quare e c tonus, tquia tonus e c fuperat femitonium miniifl b e

; II 2187

intemaUo c t>:ergo eofunt numeri femitonii maioris. i Q.6 autem Mero flnt minimi faefle er ercfmaquinta 204.8

tertii 2 rtthme^ j.ces cognofcas biflrabcndo oab c « quod reliquum fuerit ftcrft quoties potes piflrabettdo
ab e.«boc pacto ocinceps« videbis advltimumrtlfctam vnitatC(efftq; inodo qui ad latus apparet oiltra*
ctio.quarc per eandem oecinmmquintam 0 et c futit adimifcctn primi. Surit igitur per vicellmam ciufdem
in fua proportione minimiiquod e(t propofitum.

Semitonii mai oris habituciotiefquiqiiintamdccimam fuperat proportionem.

_1.1s.7_

H84

2048

CE Sinta b minimi termini habitudinis femitonii maiotisperptecedentem reperti: oleo habitudinem»
ad b maiolem effe fefqUiquintadecima.Simio enim vt in pieceden tibiis iam tepefactum cflperctcimahu»
(110 quintamdedmam partem numeri bthecinuenitur centri triglntafcretoctd qufntcdceimettriusque
tlc 0 adifeio ergoo abbctfiatctcertumeftc adbefrcfcfquiqiiintamdecmiam.at cminoz humerus eftepa.
kli enim a numerus ouum milium citum ocmagmtafcptf .c autein folii tui tun tniliit cf tum cctuagihtaquai
tuo: ct ferefemie paulo ampliue.£ft igitur per vndeeimam huius ftmitonij maioris habitudo fefqutquinta
decima pzopoitione tnaio: eamq» fuperans quod cft ptopolltum.

Apotomcsinterualhim:minuscftfcfquiquartodccfmointeruaIlo. Vndc niamfe*
ftum eft fefliitonri maioris proportionem inter fefquiquintanidecima & fcfqufquar^
tanidecimarii rcpcriricollocatam i

LL 9 ±_

2187

I4<T

_|c_

2 4y

CE Sit a b chotda fupta quamfit ptopolltum reperire mulleum comma :(n qua ab «obiit fcfquioetaua
piopottio atq» tonus. Sint pteterea oc minimi termini femitotiij uiir.oris. tSiuido fpacium a binpar^
tesequales fecundum t>: cr quarum numero ab ipfob verius a: capio fecundum numerum c«iu termino
eartimponotiotctlif. tuticquepjppojtio ttadcteacrit 0 badfb.quareabadfb femitonium minus, 8 ur*
fimi cb i^cuitti feto in equas partes fecundum numerum e «carum partium ab fpfo b verius a metiendo:
fumo fecundum numerum oictinearum termino pono notam g.tutmifeflum etiam citg beteb clTefcmt;

b ii

15*
1 02
57
28
9

J • . . . .

CESpotomen «femitonium mafusiiddh ciTc iam tjirimus.Sint ctgo abmfnfmi tnimcrf fefititonif mafo^
ris vt ouo milia centuni et dctuagintafcptem « ouo milia quadragiiitaocto.jSumo peroecirira huius quar»
tam oecfmam partem b fdlj ouum miliuht « quadragfntaocto qnaimicntoelTc centuni quadragtntafcr ct
quattuo: quartedeeime que ftt o.addo eam qtiartamdccimam ad b:et fiat numerus aggregatus c. tunc nu*»
meric ad b rcfqufquartadecima piopoitio cft. at cmafo: numerus cfta «quidem ouo tnilia quadraginta
oeto et centum quadragintafer « quattuo: qtiattedCciitie fumtnam fiitiiil attollat ciouum tniltum cJtuin no»
nagintaquattuouet ferequartam vniue.«a folutn fumma fltcuum inilfum centum octiiagintafeptcm.con»
ItatcrgofcfqiiiqiiartartldeciitiampiopoitionemmOioiemelTe femftonid maiojejatcfcpiopofitum.itoircla»*
rium vtpiecedcntinm nottntt cft.

Semitonium minus atc^ ienutoniiini maius in fuperparticulari proportionenon
caduntfcdea in fuperpatiente ratione confiftcre neccffe eft.

CE Wam femitonium minus percoirelarium viccllmepritne huius cadit fnter fefqufoctauamdccimam et
fefquinouanidccfniam.atquifnterfefquioctanomdeciinametfefquinonemdecfmam nulla cadere valet in*
tcrccpta mcdfiup fupcrparticularis habitiido.funt enim ille fupcrparticularee pjortme maio: atqj mfnot
igitur femitonium minus in fuperparticulari ratione non conftftit. necp per idem femitonium maius,
THam per cotrelarium ptccedentis cadit in atiqua pjopoitfoncincdia inter fcfquiquintamdccltnam « fcfqui
qunrtamdecimamouas piorimas lupcrpartlr ularee: que fuperpsrticularcm mediam nullam admittunt
nonigiturfemftoniummainscaditin fuperparticulari rationesfedctcum rationes femitonii minoris atqj
niaiorismoltfs fuperparticularibus vtiamvifnmcft fintminoies ierunt etiam minoies ratione ouplarl
que multiplicium minima cftivt que a minimo numero ocnomfnetttr.nullus enim tititneru? binarfo niinoi.
non cft ergo femitonii minoris habitudo multiple»: ITmilitcr neq» femitonff maioris, relinquitur igitur»
fufficienti oiuifionc cum ille (Tnt inter maioicm terminum « rninoiemreas efle in fuperpatitrf genefe. quoti
ell p:opoflium.CE?dtamcnpioptcrfophillaflflduertcre licet tp tonus «fuepartesconfonamieetconfona
tfarumpartes intciifeifemperin fuperparticulariirnperpaticnti aut multiplici habitudine cadunt: remtlTe
vero in fubruperparticnlarirubruperpatfcnriaatiubmultfplici.St vero ctlfiealirifolemus tamen eas oms»
nesoicerecnelmfuperparticularehabittidinefuperpaticntiiautmultiplidfdcmfuperparticularcctfubrn:*
pcrparticularc reputantes 1 pto vno computantcs.fimiliter fuperpatlens « fubfuperpatiens;« multiple»: i
fubmultipler.

MuficutiKotmm in chorda rcpcr/re. ;

• b

MVSIGE

ronfum mfaus.fed et cum abffbpiobatumflt etiam femitonium minufl.ergo inieruall* f b et g b eft quo
fcfquioctaua proportio a b ct c bmiafoz eft buobus fcmltomis mlnorlbus.cft igitur per Diffinitionem f b ct
g b inuentum muUcumcommatquod erat monrtrandum*

Comma: in minimis numeris conftitucrc.

55144 i
5 24. 288
7«55
2 119
7 96
517
269
258
1 1

l $51441

$24288 I |

497664

472592

1 k

S 1 1

l ■

<$$$?9 l 1

6110 8

59049

C f l

2$6 I I

245

a i i

1 1 l s 1 l l

I 1 1 f l 1 I

a in fe ct in b[ctb in fe- et exurgant cb ctcruntqjc t>
z 0 eouo femitonia minora commicta. Sit ptcterea f octonarius qui cf oedmaoctaua bufus eft primus ad
b.quare per vndccfmam terti} Sritbmetkcs et primusad e.non l?abet fgiture oetaunm. Duco ergo f octo*
narium inc be:*pzoueniatgbi: vtifcilicct oriatur ex fin e. certum eft etiam inter g beti? i effe buo (cfi
mitonia minora.etquiaceftoctauapars i addo e z ( ilmul: fltqs eorum aggregatus b. Dubium nullum eft
kadiefle fcfquioctauam: et kgefTe proportionem qua fefquioctaua maior e’ftgb et b i Duobus feraito*
nijs minoribus. Sunt igiturkg numeri commatis.fcdq>fint minimi ejc&eitfmaquinta tertii Sritbme*
tices notum cft.lfiam fubftracto vtcaipfaoocctg ab hl et eo quod relictum efl! fubftracto quoad poteftab
£.z ffc Deinceps tandem vtad latus adfeetum apparettrelinquitur vnitas.fit quemadmodum comma otia?
bue&fcllbus eft prepofitum : ita quo<£ ^facillimum eft comma ouabus oiefibus fubiungerc: aut Duabus
interferere*

Scfqiiifcpttiag;eiTniaqiiarta:c6niinatisprop ortionetra : nfcenditur.

C514-4I

W511 72 I fr4:38

1 7034 11 r

i a 1 t> 74 1 b | c 74

CESint enim a bmmimiinumeri commatis per precedentcmreperti.elf ciopcrDecimambuiusfeptuageft*
mamquartam b que fit c.adilcfottaqtbctciTimiltTcoalercataggrcgcturqeniimerusD.qui IT ad b confcra*
tnr comperitur fefquifeptuagcflntufquflrtus.atqui idem omittor a effe bcprebcnditur.fupcratcrgo per vn
decimam Ijuius ratio comatiefcptuagcflmamquartam pzopoztioneme

Comi»atisratio:fcfqinTcptuageiiniatertiaproportione minor cft.vndc fit. vtcom
matisratio inter feptuagefiniamquartam ctfeptuagcfimamtertiam conftituta repe*

riatur habitudinem. • ;

I <514:70 2 \ Q144.1 - I Cr4r8s‘ 1 7 182« 2 1

1 _ & 7? .. 1 % 1 b I C 7? 1

CE Sint a bvt prius minimi numeri eommatis.capio feptuagcrtmatcrtfa partS b que (It c. iftgo b z c.flmul
et aggregetur D.eritqj & ad b fcfquifeptuagcfimufterti^.t b maior efle cofpicitur.ergo commatis ratio fcfquf
reptuageflniatcrtia proportione minor cfbquod erat monftrandum.iCozrelarium vt alia notum eft..

Commatis ratio:in fuperpatiente ratione conflftit. .

CE THon enim in fuperpartieularl cofiftetqugdoquidJbue fuperpartieulares proxime fefquifeptuageiTma
quarta ctfcfquifeptuageflmatcrtia:omncm prorfusmediametcludautfupcrparticulari.ttatominusin gc*
uerc nmltiplidconfiftercvalebit.vtquefeptuag(ntabuas fuperpartieulares l?abeat fe maioies.rclfnquitur
ergo vt ea in fuperpatiente genere eonflftcre polTit.cft enim ca maforis et minoris babiludo.

Rationes fchifmatis atej? diafchifmatis funt ignote :atc£ irrationales.quofit vt qua
rum minimi numeri tetragonicum latus non habcant:mcdietatum rationes ignote 9
irrationalefcg fint omnes.

1 S i b_ 1 C j b ] c 1

I , $51441 1 i z4;88 _] 1 1 1

CE £as rationes ignotas atqj irrationales bfeimus que nullo certo conftitutoq? numero beftgnarf.valent
vn$: vt neq? in geometricis biametri ctcofte quadrati proportio : quales fcblfmatum oiafcbifnwwmcp

piopoitioneseflcbfcfums. Sfnt ergo primo abmfnimi humeri femitomlminozisjperbecimamocffloam
buius inueniitb enim vt illic quocp niondratiun ednafcftur ernoucnarfo in fc t ternario in productum no
nenarif in fe.atnumerusqui « buctunoucharif in fe erufgcbaucratquadratuB etternarfus non ed quadra
tuelcrgo per oecimamquartam fextf Sritbmcticcs b minus femitonif minoris ertremum e* buctu quidem
non quadrati fuquadratum pxoucnicristnoncdnumcrusquadratus.Sipofltofbifcd ergo vtbfafcbifraa^
too proportio in numeris fit nota:fmt ergo per Tertam quarti Sriibmctfces buo biafcbifmata in minimisc
bcconumcta.manifcdmnenimedciitnoiafcbifmaflt fctmtontfinitiorisbiniidiumcDetbefimuicfiefcmi*
toniutn mfnus.t c ad e efTefemitomf minoris interuallum. fcd et cu m p roportiones co roefint continuat
te in minimis ergo per quintam quarti Sriiijmetfces c e funt in fua proportione minimi. Sunt ergo mini* 9
mi in proportione Temitomiminoris.fed-rtalespoITtiruntatbligiturect eifdem erunt numeri cuma -rb
fdlj c idem a et e idem b.Kbreterca quia queproportio c ad o ea edo ad erergo per primam ferti Srirbme*
ticeo c numeruseft quadratas et c numerus quadratus: quare i b idem numero c etiam quadra tus.at b oe*
monftratus ednon qnadratus.£rit itaepidem numerus quadratus et non quadratustquod cft impoiTibf* 9
le.non igitur ofafcpifma note proportionis habebitur, et idem bc proportione rcpifmatos mondrabftur.
Sint enim a b fubter befignati minimi numeri eommatisrquia per viccflmamoctauafn buius b niino: pro* 9
portionis commatis teftninus fit er ouctu octonarii in quadratum lateris ouccntorum quinqtiagintafer. i
octonarius noncftqnadratusicrgoperoceimamquartam ferti Srftbmeticesbmino: terminus comma* 9
tis nonclt quadratus.non igitur Umilf vt priotis partis bcmdndrationca b certis befignatiftp numeris po
ted equis proportionibus oeduef. £d igitur fcpifmatos citis Icfij medietatiO ratio fgnotatatqj irrationalis
torrelarium er modo bcmonftrationis notum ede

, Tonus:duobus fcmltonlls minoribus ct commate conflat.

CE TRamratiofefquioctauabuobusfcmitonifemfnoribusafcp vnocommatc condat. Superat enim buas
bfcfesouocpfemitoniaminaza vnocommatc: at tonus in eadem rationeconfldit.condat igitur tonus ef
tntobus remitonifsminoribus et commate.

. Tomis a duobus femltonlls minoribus: vno commate dlftat.

CE THam fubdracto a fefqufoctaoa proportfonc vno commate rclinqiifitur nuo femitonfa minora: igttnr et
eodem commate a tono oiduaooueDicfesiouo femitonfa minora relinquantur. oidat ergo tonus a duo* 9
bus femitonif emfnotibus vno commate.

Semitonium minus tribus commatibus fnalits efl : minus vero quattuor. Vn*
de manlfcllum cft apotoincit plura quattuor et pauciora qumcj continere com# 9
mata.

277 f5l5>5>fzmfS50l<?*lf5 0747994llj

5:81285894 45 tf95fIlif728f77<S25!7<fl

265tfo 0 06 19 5 2 4 0 18 025^05125896 97 55 6

2178596179652 950626746568

2l55d9?9<f5O7fff7i7<S05lo 747

m 20673954509S79648527Ji9°4

I 17 0 9 8 6 0 485 f 17 2 552

I 6 6 11 IS l 6 9 9 <566569

t 6 25 I 2 6 5 52 7 I 56 2 56

»54217728

II 91 40165

* 27401984

524288

5514 41

. 2 4 5

CE THoncd greca curfofltas calculi labore beterritd quominus quot commata inbiefi quot in apotome
quot beniq$in tono ilnt: peruedigarct. quod nid a prioribus lentatum cognouiiTem cum id quocp plus
laboris vt milji vifmn ed3 In mufleis modulationibus vfus|vtilitatifqjafferat:mlfluni fecilTcm. qui ta*
men idcognofccre bedderauerint boc pacto beprebendent. Sint ab minimi numeri femitonif minoris
ctcominimicommatis:per oecimamfcptima i bedmaoctauam buius rcpertirbuco binco etproucniant
efeta in ct venia tg: perfeptimam fecundi Sritbmeticcs fad ced commatis l?abiludo| etperoctauam
«ftifdem gad e babitudo eiefcosl femitonif <$ minoris, deinde buco e in et f in fete in getnafeantur
b b l : per fertam quarti Sritbmcttcee pcrq> facile cognofci poted hi? continet buo commata, et per'

b iii

MVSICE

reprimam fecundi eiufdcm ladtpcfTc femitonium minus, deinde bueo b In I?: i e in k : et b in 1: * eo ordi»
ne veniant m n o : per eandem fertam quarti cognitu facillimum eft n m continere tria commata, et per
reprimam fecundi: om continere femitonium minus, at n numerus eognofeiturefle minozo.ergoo adm
femitonium minuo tria vindt|«fupcratqj eommata.^einde ouco I? in 1? et k in k et I? in I.t iuo ordine «fur
gantrotfanturip p q r.majiifeftum eft per idem quod prius q p contiti«e quattuot commata et r p continet
re femitonium mmus.at numerus r mino: eft numero q.igitur quattuo: commata amplius funt femito^
nio minorc.tCorrelaritim autem i?inc notum cftq> femitonium maiuo folo comate ruperat femitonium mi*
tius.atqui femitonium minuo plura tribuo i pauciora quattuo: vt modo vifum cftcontinet commata, igi*
turvnico fuperadtecto commate femitoniu maius quod vocant apotomftplura quattuo: i pauciora quinqj
continere eftnecefTe.

Tonum: plura feptem continerecommata ticceflc cft. 3 6

(Dflam tonuoer femitonio minore i apotome eoalefcit atep condit uftur.at femitonium minus per penuls
t (mu m tria comfnct commata ? amplius : et perpreeedentem apotome quattuoretamplfus triaautem ct
quattuo: t ampliusrieptem funtctampliue.igitur tomio plura q» feptem contmeteommata.

CE Secundi Elementorum XDuflcalium finis.

Efqiiitonus: eft qni tonum ac femitonium minus continet, quem ct

trihemitonium:trifcmitoniumc^:infcrius dicemus.

Ditonuscft qui duos complcfritur tonos.

Tritonus vero qui tres.

Confonantie fimpliccs funttdiatcflaronrdiapcntc 8C diapafon.
Compofitevero:diap3fondiapcntc:bis diapafon.

Diatcffaron eft confonantia: que ex intcrualli fcfquitertia ratione nafeitur.

Diapcntc:que nafeitur ex fefqualtera.

Diapafon vero: que cx dupla. ■

Diapafon diapente: eft quam adimticcm iunfte conftitmint diapafon ac diapente
confonantie.

Bis diapafon: eft quam coniunguntdue diapafon confonantie.
dWccnUius afcciiduntiPytljjgoricicpaltme offendentibus voccoquoqtio pacto illisftridulevifc tlnt-x
q> vnfcuiqj fcrme fue vocis modumrifmitefcp ad confonantiam bis otapafon natura feccrit| q>qj pabita coi»
temptatione nuificfl adufcp coufonantiam bis Diapafon:rc!tquam vt t?abcatur q-facillimam putaueruntvt
qui ad ter atqj quater oiapafonnmflcos modulos aptare voluerintictbacquoqj oecaufa mullei fermeom
nes in oefimendatoctcrmmandaqjatcp tradenda olfdpUna murtea limite» -^vtbagore non tranfccndunt
putantes cius limitibus eontenti:et prlfcamlvctcremq? autorftatcm fccuti fnffieientcr oeterminaric. quod i
nos in Ijoc opere tentabimus imitari.

Scfquitonus inter fefquiquintam atqj fcfquifextam collocatus cft. vn dc fit vt etfi i
fcfquitonus iocude: fuauiterq; auditu feriat: nondiitamen confonantia ponedus fit.

l:9i 3 1 2SS 1 :S ? ; 1 U6 1 1 45 1 _4S _ f _ 1 4 0 5 l

j o i | B | e 6 [- b | c l f ( | g a J

(ESit-erg o a Ducenta octuaglntaoctolb vero bucenta qu(nquagintafcr:rtc Ducenta iquadragintatria. per
Decima moetauam fecundi Ipuius manifcdiim eft a ad b c(fe tonum | ? b ad ceiTe femitonium minus, quare
a ad c per biffinitionem erit fcfquitonus.quem bico in proportione minore cofiftere q> iit fefquiquintajetma
iotcfcfquifctta.lflameapio peroccimam fecundi f?ulus quintam partem cctlvenict numerus 48 et tres
quintequiilt f.Sddo igitur f ad c et aggregatus fiat b:qui mafor inucnftur a. igitur per vndecimom fcelS
di buius b ad c proportio maior eri «p aiad c.St vero D ad c fcfqufquinta cft. eft itaqs fefquitomis in propot»
tionc minore conftitutus q> fit fefquiquinta proportfo.tCapfo beniq; per candi bcdmafccundi ferta parti c
et veniet mit>in umerus 4 o ct femfe qui flt g.aggrcgatns igitur g ad numeffi c reftituat n umerfi ercertfi cft
numtriS e minor? elTe q> a.qnare vt prius a ad c fcfquitonus maior eft cp e ad equi (n fefqtiiftrta ^portione
conftltuitur.qnod cftproporttum.tCorrclarium enim cognofeitur. i primum fcfquitonus in fuperparticulari ratione non couftftittquandoquidcm inter fefquiquintam t fefquf
fertam proritnas fuperparticulares nulla cadit in terftes: mediaqj fnperpartfc ularis Ijabitudo.ncqj quldi
cft in multiplfdgenercrqrli per vndecima prfmi puius bupla ^portio que multlplidiS minima efttcr fefqual
tera -rfcfqtiitcrtia proportione marimis quidi fuperpartfcularibusrcrurgit atep nafeitur. cofonantia auti
ots per Diffinitioni in fuperparticulari aut multiplici ratione coflftft.cft «go totft pxopoftlum notum.

isa

III

It/dem ditonus interfefquftertiam atqjfefqmquartam mediusrmnifmeninffcam
complet atqj perficit harmoniam.

187771 l ~ ■ 1 a 1 1 - 1 8o 1 1 72 1 U4l |?i i l U 6\

| b> y l lai [g i i » i ici if Ti OD

CEIbartnonfam etcotifonatifiamidem Dicimus et buius vt precedentie procedit oemonftratio. Sint ergo
a b c Duo tonf in minimis eoftituti. vt s i (7 2 ! is 4. trico oitonifi a ari c conitere in piopoitionc mino re fcfqui
tertiaret maiorefefquiquartar murteam confonantiam baudquaqiperficere.tCapioenimtertiampartcme
per oeclmam fecundi buiusvt fepe factum eft. et venit vmim et vigintf entn triente vnitieiqui numerus fit
f.addo ftacp f 1 1 et trientem ad numerum c 6 4.ct aggregatus eft s ( cum tertia parte vnins:qui idem fit 0»
manlfeltum eftoadeefie refquitertium.at Dmaioieft atcontfnct enim a Dumtaxat viium et octuagf nta:b ve
rooctiragintaquinqs 7 amplius. £ft ergo fefquitertiap:opo:tio eitono mafor. £t rurtum capio quartam
partem c que fit g:quam addo ad c et fiirgat erqui erit ad c fefquiquartus.ota maio: eft c.igitur per viidcci#*
mam fecundi Ijuiusmltomis fefquiquattum tranfeendit. ct cum inter fefquttertium et fcfquiquartum nub*
Ius cadat fuperparticularis medius nccp multiplexterit ergo Ditonus in proportione fuperpatienti colloca» 1
tus.quare tnuUcam confonantiam ( ctfl in mulTcis modulationibus (It cupljonus fuauitcrqj auditum fes*
riensj) nondum tamen perficit.

Ditoni fntcrualliini : fola fefqiutonum fuperatapotome.

ClHam fefquitonus vnum tonum continet integrum ct fecundi toni continet femitonium minus : fedeum
tonus ex femitonio minore 1 apotome conftct euadatqj coalftus. ergo fcfquitono ad fecundi toni comples*
tionem fola oeeftapotome.atoitonusfolos duos incolumes fntegrofcp polTidet tonos, ergo Ditoni interi*
uallutn folaiapotottietfoloqj femitonio maiozcifcrquitonifnperfltintcruallum.quodeftptopontum.

Diatefiaron confonantiam in data chorda collocare.

H 3 1 I I 1

i a. < [ ; 0 1 t[ bi

CE (Cum enim epitrita fcfquitertiaqj proportio rconfonantfam DfatdTaron creet : idcirco cata quacuncp
cbotda vt a b eam iti quattuor equas portiones ciuido.vt a cte c:c en e b.ct trico a b ad c b contonare 0 ia?
telTaron.lHama b continet cb ct iufupera cquetertie parti c bcquatur. eft ergo fnteruaHum a b fefquiter*
tiumad cb.ergo a b ad c b per Diffinitionem contonat Diatefiaron: 2 confonantfa ciatcffaron (n cljoida a b
Datascollocata.quodeftpropofitum.

Tritonusrconfonantiani diatefiaron tranfeendit.

(E lHam pcroccimamoctauam primi tres fcfquioctaue proportiones amplius funtferquitertiointeruallo.
atqui in tribus fcfquioctau(s:pcr Diffinitionem tres confidunt toni, igitur in tribus fefquioctauis confidit
trftonus.7 in epitritorrefqultcrtioqMntcrualioconfiftitconfonantiaoiatcffaron.fgitur confonantiam Dia*
tefidron tranfeendit vt proponcbatur:tritonue.

Confonantiam diatefiaron: duobus tonis atej; femitoniominore conflare ticcefTc
eft. Vndc facile comparatum eft fefquitonum tonoret ditonum femitonio minore ci
tra diatefiaron concentum deficcre.Compcrtum item eft confonantiam diatefiaron
quinq; diefes & duo commata co ntinere.

Ciatcffaron confonantia.

fS" • <1 I I bl

CE Sit a b ct c b confonantia DiatelTaron.Dico eam Duobus tonis 7 femitonio minore conflare. IHam cum
a b z cb fit DfatelTaronrerit a b ct c b per conueriToncm Diffinitionis fcfquitcrtius.at cum fcniitonium mi*
nus per Diffinitionem fit id quo fefquitertia Duobus tonis maior cfi. continet ergo 0 b z c b femitonium mi*
nue et duos tonos, igitur confonantia Diatefforon onobue tonisjfcmitonioq* r ninorc conflat. £t primum
corrdariutn l?inc facile cognofcitur. tCutnenimfefquftoisusfoIum tonum 2 femitonium minus contineat:
Deefl igitur ipfi ad confonantiam Diatefiaron complendam pcrprcfcntemvnue tonus, et cum Ditonus fo*
Ium Duos complectatur tonos s oeeritipfl ad eandem complendam femitonium minus. Secundum vero
bincljaud Difficile perfpiciturcognitnm.Ulam cum tonusper triccffmamtertiam fecfidi Duas olcfceirvnfi
comma contineatiDuo toni quattuor Diefes 7 buo continebunt commata. Stper prcfcntcui Diatefiaron con*
fanantia Duobus tonis vnam Dicfim faperaddit.contiiict igitur confonantia Diatefiaron quitie^ Diefes a tqj
Duo commata.quod eft totum propofitum.

b iiii

MVSICE

Quinqj toni: duas dfatefiaron confonantiasvno commate vfncunticuaduntqj 7
maiores.

CT IputauitHriftomiueinuflcus bfatdTaron confonantiam buobus tonfsct integro femitonio confla*
re.c piolndecmae biatdTaroncoitfonar.tlaeJquIiiqstoiiosimplcre.cuius errorerterlio ZPuflcesbiuiSe»
uermiboeUfcterbactptcccdentcfadlccomiiiicttur. flamper piecedcntcm confonaiitfa oiatefTaron tion
er buobus tonis et femitonio integro conflattvcrum er buobus tonis 1 femitonio mfnotc.quod crvlccflma
ptinia fecundi inter fcfqufodauani Decimam et fcfquinonam Decimam ptopottionem colloratur.iiitcgrum
autem fcmitoniiimperbcduiamquartam eiufdcm: inter fcfquifcitaitidcciniatn ctfefqnifeptiniamdedmani
folloearetiir.biminutiusdl ergo femitoiiitim minus integro femitonio. J&uia ergo vtpcrptecedcntenibfs
etutn cflieonfonantia ofatdTaroncuos tonos et femitoiiium mimis contineUbuc igitur DiatelTaronconfo**
nanticcontinebunttonos quatiuot et duo femftottia minota . et quia pcrtriccfinamtertiriin fcennditonns
Continet buo fcmitonfainfnoia et vmini comma, ergo ouc oiateflaron confonantfe quinop tonos vno com#
mate minue: continent, quinq; igiiurtonfcbuas biateflaron confonantias vno commate vincunt atqs ena»
dunt inaiotcs.quod intendebatur.

Confonantiam diapente:in affignato neruo conftituere. 8

1$ U. 1 | (CohfonantfabiapSte.

ia ]e \9 Jb -

CTSit alTignatus neruus ab rupta qticmfufium fitconfouantiam biapente collocari : eiufdoa|b in tres
adinuiccm equas partes per notas a c 0 b:ita vt a b tres contineat et cb earum contineat euas.erltpcr oif fi«
nitfoncm a b ad c b bcmiolfumifcfqualtertimq; (ntcrualluin.ted cum confonantia biapente: pcrblffinitfoni
crea (iitcrualli ratione nafcatur.ergo a b ad c b contonabit biapcnte.crftqj a b ad c b in pota cl?o:da alTigna
10 ve neruo confonantia biapentecollocata.

Trestoni: confonantia diapente minus funt. & quattuor eandem confonantiam 9
tranfccndunt.

CE £td cr quinta Ijuias fatis cognofcatur tritontim non pofTc efficere biapente confonantiam: l;ec etia olten
dft tritonum biapente confonantia elTe mlnotcni. flam per becimamoctauam ptimi Ijuius tres fefquiocta
luminusruntfefqualteroiittcruallo.ctperbeeimanmcnamciufdcniquattuo: fefquioctaui fcfqualtcrumf»
perantinteruallum, confonantia autem biapente in fcfqualtcro fita dt. ergo tres toni (ntrfbns fefquiocta^
iiis eonilituti. minus funt confonantia biapente. t quatiuot toni iit quaitiioicofiftcmcofcfquioctaiiusca^
dem confonantiam magnitudine traiifccndmittquodefttotumpiopofliiim.

Confonantia diapcnfcrfribus tonis:fcmitoniocp minore conibt. Quo fit vt a diat= 10
pcntcfubdufto tono: dia tcfTaron confonantia relinquatur, fiibdufta autem diatcfla»=
ron confonantiarrclinquatur et tonus.

CE IHnrti per oedmamquiu tam ptimi rt a fcfqualtcro intcruallo fcfquitcrtiumbemptum fuerit: relinquetur
fcfquioctauum.fcd vt iu bcmonflratione ferte buius vifum elUfefquitertlum continet ouos tonos cum fetui#
toufo mincte. ergo confotiantfa bfapentefefquioctauum l;oc «(Itonum vitra buoe tonos cum femitonio m{
note continens: tribus tonis et femitonio minote conflabit quemadmodum ptopofitum cfl. cCotrclarium
cognofdtur.TRam biapente per ptefentem contincttrcs tonos cumfcmitonio minotc.at fubftracto tonore#
fldtri funt bito touitatqifemif ornum minus.? per fertam bnfusbuo toni cum femitonio minote conftftuunt
confonantiam biateiraron.fubllracro igitur tono a confonantia biapentc:rcIinquituroiateffarou.fedt cum
biapente conflet cr tribus tonis cum femitonio ni(notc:fubfiraeta ergo biateifaron confonatla qticbuobus
totilset femitonio minote completur.TelinqueturqueuMdinodtimfccunda parscotrclarifptoponitttonus.
quod dt totum cotrelarium.

Diapente confonantia :minusofio femitoniis minoribus continet. n

CE ■flatu cum tomis vnusbuofemitonia ininota ct vnum eoitmia eont(neat:trcs toni t vnum femitoiiitim
minus feptem femfronfa tninota ? tria eouunata continebunt, ac tria commata per tricc(7mamquiutain fc«
eundi buius femitonio minote funt contractiota.ergo biapente que per pieecdentcm tribue tonis et fernito
itio minote conllatmiinus octo feniitonffe minotlbiis contfncbit.fed quemadmodum facile moiiflratiitn e It
bfapeute confonantiam nondum octauum attingerefemftoniuui minustoctauamqj bicfini :(ta quoqj facile
monllratueiTetteadcni confonantiam nondum feptimam attingere apototnf.

Diapcnteconfonantia:ditono fefqnitonoqj coniiingitur. 1 1

CE flant biapente pcrpentiltimant tribus tonis ct femitonfo minotcconftat.etbitonus ? fefquitonnsfTmul
tres tonos ct femitonium minus efficiunt. fgiturbitoBus atepfcfquitonus pariter copulati confonantiam
biapente iungundquod intenditur.

Confonantiarum diapente & dfatefiaron: tonus differentia eft. quofitvtdiatcfia*
ron confonantia adiunfto tono: confonantiam diapente reftituat.

III

CE Sufferentia l?fc voeafnr ea pjopottio qua malo: ruperat mfnotetn. Iflam per cozrelarlam cecfme^ufus
fubducto tono aconfonantia tilapente relinquitur confonantfa DfatelTaron. folo Igitur tono confortantia
biapenteconfonantla Diatcflaron eft maf o:.£ft Igitur per olffinitfonJ:baruin confonantiaram tonus olffc'
rcntta,2co:relarlutnftatlmcrp:c>polltioncnotumcft.

14 Bis diateflaronrfcfquitonoconfonantiam diapente tranfccndit.

CE felatcffaron enim per fertam buiusouos tonos atqs fcmltonlum mlnns con tlnel, ergo ble DfatelTaron
quatttio! tonos 1 truo femltonla mittoja continebit, atqui a q uattuo: tonis 2 Duobus femltontf s mfnoilbus
Dempto fcfqultonotrellnquuntur tres toni et femltonlum minus. Stvero per Dedmambulusconfonantla
Diapente totidem tonos eunt femitonto mlnote complectitur, ergo bis t>latclTaron:fefqultono .'confortantia
Diapente tranfgredltur tranfccndltqt qucmadmodnm proponitur.

1? Confonantie diatcflaron aediapente: in maximis fuperparticularibus funt coi?
locate.

CE IHam er Diffinitione confonantfa DfatelTaron fit epitrita le(quftertla<pp:opo:tlonecollocatur.etDlai*
pente In bcmfolla at q$ fcfqualtera. at nulle fuperpartlculareofcfqualtcra 1 fefqultcrtla funt malotcs nam
a fecunda 2 tria parte que marlmc funt fefe confcqucntee partes Denomlnantur.lgftur be confonatlc er ma
rimarum fupcrpartlcurarlum originibus ouete tlnmarlmls fuperparticularibus funt collocate quod eft
ptopofitum.

J <* Bis diatcflaron aut bis diapcntcmullam confonantiam com ponere poteft.

<EB?cc proponit Ditas Diatcflaron conronantfasautDuasDlapenteconfonantiasjnuIlamconflarepoflecS
fonantiain.THamct Diatcflaron et Dfapcr.tc non In multiplicibus fedfuperpartfcularlbusfunt conftftutcz
per ptlmam petitionem que Imeruslll ad fntcruallnm ptopoztio efttea qtiocp eft et lonlad fon£t< at per fert»
ptlml duo (Tmilfa Interualla non rmiltfplfcfamcqs multlpler neq? fuperpartlcularc creat Intcruallum. qua^
a re neq; lllotft fonl In nmltipllcfmcq? In fuperpartlcularl genere eriftfit.omnfe aCt confonatla aut In fuper#'

| particulari aut In multlplfcf ratione collocanda eft.fic em confonantie nomine boc In loco Tg>vtbagorlcan*

fequcntesatitotltatcm: fufceplmus vtendum. ergo Dtte confonantie DfatelTaron aut pue Diapente: nullam
efficient confonantlam.ct no modo id verum fittfcd 1 quotquot confonantie Dlatr ITnron fn Immcnfum co^
pulenturet quotquotDlap 2 tc:nulIavnq> confonantiam er quinta ptfmibulus efficere valebunt.

17 Adiimfto ad confonantiam diapente tonornulla parabitur confonantia.itcm neq?

I ad diateflaron trifemitonio.

161171 1 | TH umero y oifferttla. 1 | £ [?5a 4 1 TRumcro tC g Q Dlffertt ia

1 J£ 1 27 j-f 1 i<?[ Sert a maior | 8 1 92J <7 | jSj f s it 1 Serta mino:

I C [sil Conus '1^1 ; 3 Q 4 lia I 1944 I Sefqultonus

1 Sis l » U 1 diapente 1 ifi j 4 j <E> \ 5 1 ©lateflaron _

1 j 1 I | | | g. | tfgf a frj 1 43 1 gemltonlum minue

1 1 j I I 1 J Ifr 1 9 1 8 1 S onus

CE£*nbic fonotum congreflus nondum conConantla fit cnpljonum tamen muflei reputant melo: modula»
nilnibufqi aptmmfcrtanup q' fer Impleatur voefbusnoftrl nunc nfkupant.rquattuo: tonis a.qs vna DieS
bocfeft femftotilo minore coiiftflt.qnfq’ nondum confoiiantlafltpatct.Ucelpfo enim a tb tcutarllttbiua»
rlumtmlnlmos fcilj numeros confonantie Diapente, 2 c D iiouenarlft atq? octonarium minimos numeros
tonl.et duco cina: venfat d feptem fupja vlgfntl.et d In b 2 venfat c Decem 2 fer. per tertia quinti Srltbme
tlccso ad e continet fcfqualterumtfefqufoctauumtqtiareD ad e continet ofapeittc atcpadltinctum tonum,
at manlfcftum eft d ad c 2 7 fcillcet ad 1 <s non effle multlplcr.nam feptem 2 vigintlnon continent bis aut ter
tlo aut Deinceps fededm.nctp d fuperpartlcularlseft ad e.nam Dlffercntfa numeri D ad e eft vndccim qui nu
merus linnme 1 6 pare nulla eft. tranfccndlt enim vndenarluefcdenarffDlmldlutn.fglturadlunctiis adeo»
fonantlam Diapente tonueinullam porlc confonantfam.ct fimlll argumento adieeto ad confonantiam Dia?*
reflaro» fcfqultcuomulla fit confonantlavt er fecunda flguratloncpcrfacilcpaterepoteft.flt tamen cupbo
na vocum congreflio:quam item fertam nuucupanttfcd que a p:ims contractio: tota Diftet apotome.eft er»
go bcc mino: illa vero maloz.conftat enim p:fmn vt Dictum fam eftlquattuo: tonis et vna olefitfecunda vc? 1
ro tribus tonis 2 Duabus oiefibus.l£>:lmam fonat ubarbvpatc bvpaton ad mefent fecundem vero que con
tractio: cft:fonatbvpatebvpaton ad JLfcbanon mefon, que autem bypatequcparbrpatciquIUcbantctquc
mefe ofcantur:fequens Uber Declarabit.

«8 Qjio pacto diapafon con fonantiatfa chorda fit adamgen da.

r J, 3 j C | B 1 Confonantfa Diapafon .

CEfcecconfonantlarum vt In lib:o nbtoblemuauim teftatus eft Sriftotelcs: eleganti ITInia pulclpcrrlmaqj
eft.cbotdam ergo 3 b fcco per medium per notam c.ct quia a b ad c b eft Dupla intcrualll l?abi tudo.ergo per
Diffinitionem a b ad c b contonat oiapafon.

MVSICE

Confonautia diapafon: fn fex tonis niinimeconfxftit.fedquingj amplior: fcxve^ >9
ro tonis:confomtcontraftior.

C IRam perviceflmam pziml qufncp coniuuctl fefqufoctaui: minus buplici interuallo coniungtmt. et per
vfccflmamprimam eiufdem fer coniuuctl malozes vno Duplici interuallo cuaduut.crgo quinqj toni mino»
ree funtoiapafonconfonoiitfactfcr eadem funt ampliotes.coufouat ergo Diapafon quinqstoufsamplloz:
fed et fex eadem modulabitur inferio:.

Diapafon:ex diateiTaron ct diapente confonantiis conituigitnr. 20

CC TRamper oedinaniquartam buius oiatclTaroii ct Diapente iu maximis fupcrparticularibus funt collo»
eatc.at per vndeciinam pzlmi Dupler Intcrualluni cr Duobus marinus fuperpsrtlcularibus coulungltur et
otzplex Interuallumtconlonan tlc Dlapafon. (uteruallum erllllt. igitur confonantiaiu Diapafon : DiateiTaron
et Diapente confonan tle llmul coniungunt.quod eft pzopofitum.

Confonantia diapafon: quinqj tonis et duobus feniitoniis minoribus que tonum 21
numme complent: perficitur. Vndcquoqjmanifeftumcfiepotcft:confonantia dias
pafon foloa fex tonis commate diftarc.

(E i|bcr piceedentem enim DiateiTaron 1 Diapente confonantiaiu Diapafon fungunt. DiateiTaron autem
perfexta ijuiusDuobuetonle etfemftonlomlno:eeonlTarenionllrataclT:etefapcutepernonam tribuo to»
uisfcmltouiocp minoze.at duo toni ct femltonlmn minus ettres toni et Itidem femftonium minue fimulco»
flatliquiuq? efficiuntur toni atq; duo femiton fa miuota.atqui ouo fcmiton ia minota tonum non pcrflclfit;
verum ab eoocfidimtcommate.iglturconfoiiaiitla Diapafon qulnqjtonlsetouobus femltouifs minori»
bus:que tonum minime implent quemadmodum iam pzopofltum eltpcrffcltur.dtCozrelarlum cr Demon»
Arationis calce notum c(Tepotcfl.£r quo liquet perfacile eflc in neruo mufleum comma pcrucfHgare. Wa
in eo a pzincipfo con(lftntis:eontinuatfrq 3 fer tonis ct ab eodem nerut Initio ad mediam cfyozde notatu inten
faolapalon confonantia quod inter mediamneruinotam ct vltlnmm fcrtonozimifignftcontfncturzerpre»
cedentis cotrclarioeritcommatisinterftftlum.

Dempta exdiapafon confonantia diapente: relinquitur diateiTaron. et cx eadem 22
denipta confonantia diatcffbron:relinquiturdiapcntc.dcniptisautcm ex ea diapen*
te ct tono relinquitur fefquitonus.

( I U&rima pars ct fecunda ftatim per pemzlf imam cognite funf.jltcm ct per pzecedenteitz. IRam per picee»*
dentem Diapafon quincp tonfs 1 Duobus femitonfs minoribus conftotrn quibus IT tres tonos et vmzm (emi»
toniummfmis tollas que per Decimam bulti 0 Diapente confortantium contliicntzrclinqtifitur Duo toni t fe»*
inltonfum minuszquc per fertam bufus DiateiTaron confoiianiinm efficiunt. Dempta igiturer Diapafon con
foiiamlaolapeiitcircIiuqulmrDiatcfraroiirqiiod eftprlimini.Gectmdntn eadem facilitate Dedaratur.TRam
erqufnqjtoniset Duobus femltomls minctibus rt duos tonos tfemltonlmn minus tollasx relinquuntur
trestonl et femitonium mfnus.Ccrtfum eonlTmfllter.Dcmptls enim aeofonantla Diapafon, Ijoc eft a quinqx
tonis ct Duobus fcmltonljs minoribus o?ptie In qziam qusttuoz tonfs ct femftonio minore reliquus eft to»»
nusvnus 1 femftonium minus.£t quot Dlcfcs quot apotoinas quot ocniqj commata contineat Diapafon:
Depzcbenfionls funt facillime: in nulla tamen equallter: tota ipfu tiuldua cft quandoquidem Diapafon in
multiplici ratione conflftlt que omnino in quotllbet equas pzoportiones que multiplices non flnt per fera#*
geftmam noni arithmetices oiuldi non poteft.

Nulla fimplcx cofonantia:in duo cqtialia: certo coftitntoqj numero diuifibilis eft.

(C Simplices confonantfss vocamus DfatelTaron Diapente Diapafon.DeDiatdTaron autem tDfapentc con
ftatquccrfupcrpartfculaifbusintcnmlllsfurguntzque perquiniampzimf nullo pacto bunc (n modum Di
rimf pofliiut.Dc Diapafon vero confonantia idem fubit iudiefum, iHam quoniam minimi cluo numeri funt
duo etvnuimetOiio quadratus non cftiigftiirpcrcorrclarfiiintriceflmcrccirndcfecundi bnfuoconfonontfa
Diapafon que confiftit in pzopoztfonc Duozum ad vmim minime in duo equalla partietur.? eodem quocp iu
re necp eadem confonantia iu plura Duobus DfmctlcturzDirline turqs cqualfa,£t pzofccto velle boe pacto co
fonantlam Diapafon In plura equa Diducere: eft.fn geometricis Diametrum coftc quadrati velle conmenfu»
rarc.fcd id vltinmm mufleum non eft.

Diapafon acdiatcfl*aron:confonantiam non eflc.

(X £tfl in Diapafon ac DiateiTaron fltotiarum vocumDulclstamcnacpcongrelTfo vtquemadmodum eunt

2 4

pulfaturfefquitomis:non fddrco tome cuenitDfapafoii ac DiateiTaron confonantiatnDfci mereri. STatnetll
Hbtolomeo fecus cp iJMtbagorida bac In re vifum fitrquod monftratu facillimum eft. Sint enim a ct b bl?
narius a vnitas; minimi fdlj numeri confonantie Diapafon et e D quattuor 1 tria minimi idemtidem com**
(onantic DiateiTaron duco cina et veniet octonarius qui fit cictoinbct veniet ternarius:qui fltf.pcr
tertiam quinti Sritbmetlceo e ad f continet Duplam et fefquitertlam : quare Diapafon ac DiateiTaron.

III

fed c octonarius non eOmuItfpIex ad f ternarf um:ncqj fuperparticularfsij» eunt bis contineat et fnfupcr bS
narium qui temaiif no pars vlla e II fcd partes. £rt em octonarius ad ternarifi Dupler fiibpcrbipartiJs. Wo
ed igitur Diapafon ocoiatclTaron confottatia.(01s em confonatfa aut in ruperparticulari: autininiiltfplfd
genere er Diffinitione confidit.£tinboc facile cognofci potedex nono 7£»obkuniatfi l(b:o biapente confonantia polita in ptopottionc fefqualte#*
ra efl; biatefiaron vero in fefquitertla.q» II duo fefqualterf ainferquitettif numeriotdinc Dffpouantur: ertreis
mi nullam inulcempiopoitionSijabebfit.necp em fuperparticularcs ticqs multiplices cfiepoterunt.atoias
pa(bncondn?tiaqminbuplari ptopottionc co(Ifl(t:bacgcminata:quadruplam inuicem extremi trncbfit:
babebfitcp p:opo:tioncm.^idco ergo quo pacto Sridotclcs confonantiarfi ptopottiones folaa fiipcrpars’
ticularcsautmultfplkesefffcitsfupcrpaticntes quali pto:fusnitIIclTntreptidias.£t revera iJbtboiomeictf
TJbytI?agojfcis magis in nomine q> In rcipfa DdTentio putanda tft.Qedbc bis bactenus.

Diapafon acdiapentc:in triplici confiftit ratione, Eftcp diapafon aediapente coit
fonantia vna.

<E £it> enim Diapafon ac biapenteintriplaratione confidat: Ijoc ideo crt q> er Duodecima primi ex Dtiplfci
etqj fefqualtero (nteruallo triplex nafeitur intcruallum. stiplcx autem t fcfqualteruui funt confonantfamm
Diapafon t Diapente (uterualla.igitur iuncte confonantic Diapafon ac Diapente in tripla ratione confldfit.
fcd cum fenfu fam fatis Otcxplotatum bunc concitum modulfite:fuauitcrq$ ad auditum peruenirc: ergo per
Dilfinitfoncm is concentus confonantia cd.quod cd totum ptopofltnm.

Diapafon diapenteae toiinstmeios citra confonantiani eliciunt.

CCZDelosbic vocamus luauem auribus acceptam voculationem: amenficp plurium vocum congreffum:
fcd q> Diapafon Diapente t tonus fimul iuueta inelos condituunttdatim notum eft.THam bcc fonotutfi vocu
latio fuau(tervtfrperfentiaDifeituraar(busacc(dit.fedq>conronantfamtmlIamparet:od5ditur,qm enim
pcrptcccdentem Diapafonac Diapente (n tripla piopo:lioncconfid(t.£5int ergo a b triar vnum minimi c&»
fonantie Diapafon ac Diapente numeri;? c b nouem ? octo minimi numeri toni, duco c in a ? d in b i veniat
e f j 7 ftilj t s inter que ed Diapafon Diapente atep tonus.fed e ad f necp fuperpsrtfcularis neqj multiplex:
quinimmo e continet f ter et tres ciusoctauastcdcp c ad f triplus fuperiripartifs octauas. nem concinit Igl'
tut e f aliqua confonantia.quod totum ed ptopofitum.

Bis diapafon confonantia: te quadruplari conte' tufa reperitur habitudine.

CEl2U5 em bis Diapafon iti quadruplari cofidat: datfm cd inanifcdnm. iHam per Deeimatertiam primi duo
D uplica iutcrualia quadruplet (ungunt (nteruallmn, Diapafon aftt in Duplari confidit. Igitur bis Diapafon
quadruplarem (ungit Ijabltudincmtque cd multiplex.? cum bis Diapafon ad auditum fuauietemodulntaqs
perueniat vtidquoqj fenfu fatlopcrccptumcri.crgoperblfflultioncmcritconlonStia.qSeratmonrirandfi.
<El(bV*bago:(ci i ptiotes mullei omncs:conccntumn modum in terminis quadruple otqj fn finibus confo
nantiebis oiapafon perdrfnrcrimt:non temere (ongius piogrcITi aut q> inter illos terminos vnlculqj fact*
a natura reperitur fue vocis modusioutcp dridulus ille cano: illis vtieniquocp Dictum cdvifus cd q> vefes
riatn iatn relinquunt niediocritatcmtaut q> bactenus contemplatio fatis ipds cfle vifa ed ad mulleam fodi*
tutioncm.i^odcrltas autem ad ter Diapafon vel? amplius adauxit ad terminos vfqj octuple longius cuat
gata: Deqnibus ncccdaria fpcculatio non incumbere videtur: fcd pauca paucis drinxfflc fatie erit, ffla qui
modulationem fttpta bis Diapafon cognofccrc oefiderabunt: facili cemondrationcttpzeccdcriria percis
pfent.bis enim Diapafon aebiatefiaron in ptopottionc quincupla fefquftertfa confidit, cpioinde plane cos
fonantia putada no cd.bis Diapafon ac Diapente in ptopottionc fcfcupla et ideo coofonantifs annumerata,
ter vero Diapafon in ptopottionc octupla,

Omnes confonantias:te data chorda fuo ordine fubfungerc:et eas fenfu percepti*
biliter experiri.

rs c | "d ! e ~ | ' fl gj b I

CCiSit fl b Data ebotda in qua ptopofitum fit confonantiae bfatelfaron [biapente Ibiapafon [Diapafon ac Dia
pcnte|ct bts Diapafon fituare.iolloco in ligno a btaebium circini immobile et ad totiusebotdequarta pars
tem extendo circini btacbtfi mobile: t in termino eius pono notS c.ocindc cxt?do fd? btacljifi ad eiufd? d?ot
depart? tertia: t in termino pono D.mot ad totiuscbotde pari? inedia qud Ddlgno nota c. Deinde cod?btas
<bfo capio totius cbotdcbilTcn:boc cdbiias tertias: t in termino bilice pono f. moxcxtfdo circinfi ad cbots
de Dodrantf: boc cd ad tres eius coplctas quartas:(n cuiusfine affigo note m g.tfic ficabrcb per quartam
buiuscofonatDiateiraron.BbiDbperoctanaoiap?ieab tcbpcrDedmgoftana Diapafon n btfb pervis
cefimgqninta Diapafon acbfepJtc-poflrctno vero a b ? g b per pzcccdcntcmbis Diapafon. Suppone igitur
muficolcbcmifpbcrifi fenfim fiugulie cbotdc notis ? fonos ad totius <bo:dcfonfibilfg?tcratt?de.ctfuo otc
dine^pofitos c6dn?tiasatinotabie.quodp:6priu0£xpcririvaUbie:ficbo:dcabcbozdacqnifonam:vmfo
«ames etla collocaueriekuius Tonum cum lingulis fcctionfi 3 b pcrcudionibus non fegniter attenderis.

MVSICE

Confonantiaruhocpafto digcftarumrfinisconfonimtic di'atcflaron:ad finem dia
pente fonat tonumrad finem diapafomeonfonat diapente, ad finem diapafon ac dia*
pcnte:inconfonus.ad finem vero bfs diapafonlcoti fonat diapente ac diapafon.
ia <1 »1 ei f l g f bi

CE Sint a|c|t> [e |f |g (b ni odo qui Dictus cft Digefte ccmfonantiezDicocb fincluconfonantie Diateffaron ad o
b fonarc tonum |ad e b e(Tc Diapente (ad f b fticonfoiium effe[ad g b Voce Conare Diapenteac Dtapafon.Wam
per ptecedcmem ab t c b eft DiatcfTaron et a b et d b Dfapfte.Dempta ergo a b t c b Diateffaron confonantia
ab c b i e b Diapcntczpcr cozrclarifi oecimc buius relinquitur tomis.quodafit relinquitur eftcbiob: igi*
tur c b ad d b fonat tonum.i qni per pjcccdcnti a b i c b c6cinit|modnlatur<s Diapafonzfubftracta igitur a b
et c b oiatclTaron ab a b et eb per viceflmafecfidd l?uiue quod relinquitur cft bfapente. atqui quod relinqui*
tur efte b et c btigiturc b ad e b cofonat Diapente, i quia per ptecedentem a b t f b confonat Diapafon ac Dia
peiitciCubducta igisur a b i c b confonatfa Diapafonzquod relinquitur cft oiapentc.quod afit relinquitur cft
c b i f b.fgitur ebtfb confonantia cft oiapente.fcd per modo monftratutn c b t e b etiam Diapente cfhigi*
tur cb t f b eftbis biapmtc.at per Decfiiiiiqiiarta buiuobisDiapentcconfonantia componi non potefttigis
tur c b ad f b incofontis eft.i^oftremo qiTi vt er pzcccdStf notficfta bi gbocfonatbisDiapafon.oJptaigff
a b t c b ofapa fon confonantia relinquitur e b t g b cITe Diapafon. atqui c b t c b per fecfidam partem buius
monftrata efteffeDiapentc.igltur adiuncta c b t e b confonantia Diapente ad c b t g b conftituftur Dfapente
ocDiapaibn.conronnt ergo cbtgb Diapente acoiapafon.qtlod cft totum pzopofitum.

Si pofitis confonatiis:finis diapente ad finem diapafon modulatur diateffaron: &
ad finem diapafon ac diapcntemiodulatur diapafon, ad finem vero bis diapafon cus
phonus cftrfed qiu' nondum confonantia eft.

1 3 c[ t>[ c| fl g I b~ |

CE £ftopzeccdenti& bvpotbcflsibfcoob finem Diapente ad cb eonfonareDiatcffaron.adfbDiapafon.tad
g b fonare DiatelTarott ac Diapafon.THam per penultimam ab et eb confonantia cft ofapafon.t abetobein
pentc.fubftracta igimr a b t d b Dfapentciab a b t e b confonantia Diapafonrp.er vicoffinafccCdan» buius rc*
linquitur Diatelfaron*quod aut relinquitur cft D b ct c bffgirur D b ad e b cofonat Diateffaron.! qufa in pzecc
denti monftratumeftcbtfbciTeDiapentezt nunc D b et c b effc Diatelfaronlergo pcrviccirumm bnius eb
•zfbcr illis btiabusconflataicoalitaq; confonantia uioduIabiturDtapafon.lmrfumcum ebigbinpzecc*
denti monftrata fit oiapafonrct c b 7 f b Diapentczcrgo per vicefmiamfccftdam buius f b t g b cfloiatelfaro»
tobctfbmnc monftrata cft Diapafon. igftur d b 7 g bcft Diapafon ac Dfntcfraron: que cum modulatio fit
cupbona i eam monflraucrit vfccfmtaquarta buius non cffeconfonantiauoifi liquet monftratu ptopofftfi»
et er bacquocp pariter cognitum cft finem biapafoniad finem Diapafon ac Diapente modulari Diapente vt
cb adf b t ad finem bis Diapafon confonarcoiapafott.

Coiifonantiarum ficcollocatarum: totius chorde atqj cuiufq; feftionis numeros
defigriarc.

I 24 | IS ( 16 I 12 ' 1 S i d 1 1

1 t" ' r C - "1 e 1 e | f I g | bj

CE feneo Duo(tria]ct quattuoj in Tcfnukemtct numerum inde Turgentem ntq; productum qui babebit fecfi*’
dam tertiam iquarta:ponototius;lince numerum que idcirco voco numerum a b.abjquo Demo quartam
partem i reliquus fltc b:t erit ptimus numeruo ad ipfum rcfquitcrtius.quarc Diateffaron. et ab eodem nu
mcroDcmo partem tertiam i rcflduus ITto bzcritqj a b ad Db fcfqualtcrtquarcconfonantia Diapente, ct ite*
rum ab a b Diduco partem mcdfam ct rcflduus fit e bterftq? a b ad e b Duplus. quo circa oiapafon confonan*
tia inter cos «urget, i numeri a b fumo folam tertfatu que fit f b.crit ergo a b ad f b babitudo tripla conti»*
nebunt igitur a b ct f b Diapafon ac Diapcnte.Snrfum numeri a b fola quarta fit g b:erit a b ad g b quadrui
plue.quarc a b ct gb funt numeri bis oiapafon.Sunt (taqs totius cbozdc abi cuiufcp Tectionis eius fccun*
dum aflignatas confonantias oefignati mnncri.quod erat betnonffrandum.

Qjiotcunqj harmonicas medietates aiTignarcrintcr quarii terminos corilqj difFc.
rentia s om nes miiflcc reper ia n tur con fon an tie.

nbannonice ( i; | s 1 6 1 1 iSpiSfiu» | b c ( ©iateffarou (

j ZPedietates } 6 | 4 ( 3 | | i bemiolue ( a b | ©iapente i

1 1 a 1 b | c 1 1 ©uplari s ( ac ( ©fopa fo» |

1 ©iiferentfe j j | 2 j 1 1 1 Eripiaris ( c cj ©la pafono iflpfte(

1 | | I t> | e 1 1 t& uadrnpiarfg jb e | ©isoiapafon. |

CElbarmonica medietas in Srftbmctfcfs Dfffinita cft qfi trffi terminotfi vt marini 9 ad miniinfizita titferen*
tia maioziz ad Differentia minozG. Sit ergo c quicfiqj numerus partem tertia babene que fit c: Duplo c.fitqr
Duplattzs a.tnan(feftum cft a ad c e Ife Duplum, t quia cotinet tria eiipfum a cotincl feje e.aildo e 8d c 1 fiat b

» crltnotumbfldccflefcfquitcrtfiitmetbcontlncrequattuorcatqseflc blffcrentlambad c.lftfdernqtifa V
cotln«quattuor c » a cottuct (er c:a erit fcfqualter ad b.-r quia b cquatur quattuor e ct a fer: ergo DlfFerStla
a ad b cquatur Duobus e que (it o.qula ctn 0 cquatur Duobus crergo o bupluscftad e.olco ergo a b c oataitt
cITc harmonicam medlctatcm.luterculus terminos a b cteorfi blfferftlas o cofe mullea confonatle repe*
rfautur.nam a ad b marlml ad mlnlmfi moftrata eftproportlo elTe Dupla * flmllfterbflbltudo b ade Differet»
tlc fcllj malorfi ad Differentia mlnorfictlaoftcnfa oupla, fimtfglturperblfflnftionemabc termini Inbar* 1
monlea medietate coftltutl.Stftbadccopares moftratuscftfefqmtertlussquarecofonanlleDlateffaronm*
teruallum.etlTaadbimoftratuseftftfqualtcrah^btifloluectDlapentelnteruflUum.ctnaade: ouplumba
bes -rconfonantlablapafon.fi vero cadccotulcrlsJbabes triplum: -rpervfceflmaqufntl tertii confonantfS
compofliam Dlapafon ac 'ofapentc. ct fl b ad c: quadruplum:» pcrvlcedmamfeptlmam tertii bis olapafon.
Stcumcetera monftrata (intuon ciTe confonantias : condat oiateffaron | Diapente | cfapafon| Dlapafon ac
Diapente:* bla blapafon omnes cofonantlas quibus In Difclpllnlefeerercere folentinuffcl: In ter terminos
barmonlce medietatis i corG Differentias: fulffe rcperfas.ct 11 Dureris binarium In a b c i In Illos qui fridc
ptouciier/nt et quoties volucris in proucnfentcsjer feptfma fecfidi Srltljnictlccs eognofccrc ptomptum cfl
toties coftltutlbarmonlca mcdletatScSffmiles Inter fuostermlnos i fuoifi terminorfi Differentias : cofo nsS*
tfas mulleas reruantS.ctfdSfucrltllquScmupaltcrum numerum in illos terminos Durcrls.placuittamJol*
uo Scucrino quadrageflmo octauo capite fecundi fue Srltbmctlccs ad o£s confonantias muticas coplc**
ctcndastDuas otdinsre medietates barmonicasivnain in Duplari ct alteram in triplari.fed i idem ettsS fieri
poffevna fola conllltitta fam fatis monftratum arbitramur,

Qjiotlibet maximas harmonias quarum quclibcf primordium confonantiaru:

confonantiafq; contineat omncsrconftitucrc.

] ZDatlma bar.

1 24 | 18 | Itf I 12 I II 1

1 2l5arlma bar.

1 12 I p 1 8 1 6 | /epogdous 1 bc Itonus

a | b | c 1 D | /epitritus |abl£>iattflaron

1 ©Iffcremlc

3 l Is IlOemfolus | ac |S>lapcnte

c j f |25uplarls |a o 1 ©lapafon

[ ©Ifferentie

4 I i iZTriplaris | Db| ©lapafon Diapente |

<C ZParlmam bannonfam vocant qti5do quattuor folidoift terminorfi in geometrica medfeta te condituto *
ruiminter marlmfi vnfi mediorft t ntinimfi medietas 3ritbmctica coifnctur:* rurfum inter marlmfi tenuis
tioifi.alterfi ntedlotfi etmlnlmti cotinctur barmonica.XDedlctas geometrica cft qfi temiinoidertpiopoitfo
numftmllltudo.arltbmeticatfoquSdotcrmlnorficftoIffcrltlarfi equalitae.quidBParmonica iamoictficli.
Solidi termini olcfitur qni er trifi in fe laterum Ductu pioducfitur.fed \pcc ofa er Srftbmcticis tpuotlflima
funt.i£:lmo:difi confonantlarfi appellamus tonum. (TCapio ergo d numerfi qufcficp qui fecunda t tertia
babeat:fltqs cius fecunda f ct tertia b. Duplo b ct fit tuplatus a: qufquidcni a Duplus erit ad D. addo b ad d
fltqj copodtiis c.crltqj fcfquftcitius ad D.fcd ct cfi a monftratus iit Duplus ad d: ergojpcr vndecimam primi
bui 9 aadccllferqualtcr.q(bjetcrcaffecCd8partcmDaddoipdDctc6pofltHBfitb:£ertQcftbadDcdcfefqual
tcriim.quare per eadem vndecimam primi a adb cftfcfqultcrtlus.Bba c igitur qui moftratus cfl fcfqualter:
oblato a b fefquitertio per qulntSdccfma primi relinquitur b ad cfcfquloctauus.Sjitpjciei-ca g Differentia o
ad c:qula D cotlnet tria btc cotlncblt quattu c: ct a fer. ergo g Differttio a ad c cotlnet Duo bteft itacp g ad b du
plus.et quia f cfl medietas o:ct b cft fcfqualferum ad osergo b continet tria f. cllltaqs f tertia pare b: fcd i a
fcfQuItcrtius ad b addit fuper efi tertia parteiiflpflus btergo bifferitia a ad b que fit c cquatur f. Dico ergo a |
b|c|olniar(inacoiHtuerc bariiionlaiii:quctonficonfonaiitlarfielemeiiruin|-zoSmc6pleciltur cofonantiam,
TBam a ad b moftratus fefquiterilus -r fiiiilllter c ad D fefqultcrtlus.cotfn» Igitur a ad b ct c ad D per Diffini*
tlonem geometricam medietatem.» blfferftla a adb inarlmlad vnfi mcdlorfi eff e| etbadD eiufdl medif ad
ininimft cfl f [ct e et f mortrate funt eqnarl.iglliir per Difflnltfonc m a ad b ct b ad c couftitufitur In Brltbmc*
tica in? dletate.fed t a ado marlmue ad mlnlmfi moffrat 9 cfl Duplus.-r flmlllter g olfferftla a ad c mariml ad
relfqufi mcdlorfi bemoftrata Dupla ad b Differentiae ad D clufdJmedij ad iiilniiufi. Igitur per Diffinitionem a
c d coflftunt In harmonica mcdlctate.Coilat Igitur perplfflm'tloncina|b|c|DllfolldiiTntconllltucreiiiar(tiia
baniiom'am.q> il folidi non fmtiDuc quJcfiq? muuerfi in quilibet Ipforfi -r pronenftt folldl In elfdein babitu^
dliiibus quorfi ciiui fllbct latera erunt Vnltae|numcrue in illos Du ctus et Unguli eoiumad (inguIoe:fIecp co
liabit tua rimam conftltutam clTc barmonfam.fed laiu oftcnfus cfl b ad c fcfqufoctauusjigftur per bifflnltlo*
nem b ad c continet tonum.confdnantiarum primordium. ct a ad b ell fcfqultcrtlue.fgltur a ad b cotlnct Dia*
tcflaron.ct a ade monftratus cfi fefqualtcrtigltur a ad c continet Diapente.» a ad D Duplus: Igitur a ad o Dia
pafon.-eDad b triplus: igitur t> ad b Dlapafon ac DiapSte. ct c ad b monftratus quadruplus Igitur c ad
b continet bis oiapafon. ct quoties Dureris qtiemcuncp numerum In alb|c|oautln prodtirtos er Illis adlu»
uantcfeptlma fecundi 3rltbmctices -r Dlfflnltfonlbtts: toties conftltues tnarlmambatmonla tonum «»u»
nes confonantias contlncntem.cftfglttir effectum quod proponebatur. £t c x bac intclllgere potes effe De*
monftratumquc binus Scumnus affert Dcbarmonla cublquadragcfimonono 1 ,» oemajtltna harmonia
qulnquagcflmoquarto capite fecundi fue Srltbmctlccs.

Omnis numerus ternaria progreifione adfcadicftus: omnem confonantiain in
Arithmetica medietate complet.

MVSICE

I Colonarie I&ritbm ttic a medietate 1 jjTpria enitete 1 1 S~?7tfa vnitatc |_ | Btertfa vnitatc ~ »

I I s 1 !> 1 n I h I : '1 ? 1 4 1 |i o ^ o I 50 J 40 j Iio6b6ol}oo|4oo

j_ i&uadrupjus.bfe biapafon | ]<2 ,nad ruplaris [ 1 3S<e t>iaparow~~f | Bis bia pafon [

C5ntelligitur ternaria piogrdTlone adfe addf numerus quando additur primo ad (e fcmeltbcindcbis:
bclnde ter.Sieo ergo quicunq; numerum ad leljoc pattoaddiiumsomncm coPltucre «intonantia muUra.
Wflm femel flbt adfectuetbupler ad fe efficiet biapafon confonantlam.ct bis fibi additu*: ad prima rddi*
tionem fefqualterum eoftituirrbiapentci-jadfeiriplfi arep biapafon ac biapente. nom in prima addltfone
biett in fecfida ter corinetur.fcr vero fibi additus ad rccfida addiricliZfacit fcfquiterlifi 1 biatciTaron:n8 pii
muenartieruet?(cqtsater : illic vero ter continetur, t adfe quadruplum facitetbiocfnpaloti.in bacigittir
ptogrcITioncomnis continetur confonantia mufica.etqufa continucnumeromm er cius additiohefurgen»
tium ipfenumerus additue eft bifferftiatergo reperte confonantie in £rftbmctica medietate continentur,
etcrbaccognofeitur cur in omnium vnitatutn quaternaria ptogrelTione qucvbicpbenGril i|bytl?agorici
plenitudinem implettomnee confonantie mufice et in 21ritl?metica quidem medietate reperfantur.

Tontim ct omnem confonantiam fimpliccm:in duo equa partiri: veraq? medietas
tum punftaigcometricc monftrare.

{ElfcJeccdeiucs feptima fecfidlit vlccfimatcrtla tertif ptetcndfit tondibfatcflaronsbfapante acbfapafon In
buo equa oiuldl non poiTe.lDec #0 monft tat quo pacto ea omnia polTint in Mio equa partiri, nce boc quldJ
repugnat. iRam pteccdcntee contendunt id effici non poiTc Srltljnictiee certo conftitutocp numero atqs ra«
tionati l?abitudine:l?ec vero id effici poiTc geometrice fine numeri conftanriq? ratione.

* »? 1 fe

& c 0 < f b

C ©it ergo sata djotda a b fupcrlot in qna inbeamur integrum femitoniumtet eonfonaniiartim blatcfla^
ron : oiapente ac biapafon vera media reperire. •f ocio a b t c b tonum, a b ct b b biatefiaron. ab-ze b
biapcnte.abetfb biapafon co quiinptcccdcmibiis ftionfiratus efimodo. feclnde in inferiori linea ac
Indefinite qufititatis capio a b rqualcm linee fuperioii o b.t b c continue rquolcm linee b c fupcrfoif. ct 9
puncto bverfuee: capio lineam bbcqualcnt cfyotdcb b.ctbc cqunlem cljotdc b c.etb feljotdeb f. et ln&
tclMgo quattttot bimidiosc(rculosae|ab|a c|a f.et a punctobcduco perpendicularem linee a cad cfrcfi*
fercm(aafemicireulotumaclab[ac|a f.et puncta vbicoeeon tingit linea (Intg|b |t|h:adque puncta edu<
co agl<glablt>blai|c i|afc |fk.atper nona ferti gccmeirie ab ad bgvtbg ad bc. ■facio igitur in d?otd*
(uperfote ab lineam bgcqualcfn inferiori linee bg et cum ptopoitlo abadgbatgbad c bwt ptcoflm*
fum crtricquitur tonum a b r c b effein c uo cqtiabiuifumtTptiuctunigcficmcdfuinverffcmitonii fignum.
ct per eandem que piopoitlo 0 b ad b I? ea fit b !> ad b b. £tto igitur b b f n cljotda a b equo lio linee b b per
idem vt priuatea erit ptopottio a b ad b b que b b ad a b.qttare ab et ab biateffaron in touo equa partita cfh
«teodem pacto facta cbozdaib fuperiori equoli linee bl.ctcbotda k b cquall linee blrimoiiflrabiecon*

IIII

fonatlag Diapente i bfapafon in trno equa die partitae:? rc vera poc pacto vera fcljifmata atqj
ta|ct6icfcetctrartcmeriaercpcriaea(Ti<jtiatiec6matie:Dfefcoe: atqj completi femitoni) interna Ilie ct fums
ptfe vt in prccedcntibue factum cft mcdtfe p:opojt(onalibue d?o7dt0.fcdi?ec flatitn alfquatulum in geom»
tricis etercftatie nota clTc poiTunt.IDcc autem poftea$ repercrie offcc Q fi libet) per djotdamin voce tonfi
mediare ct femitonium:? quacunq; voles in arte tmifica confonmitiam,

<C Serti} £!cmcntotum WuUcee f infe.

Armonica regula inftrnmentam eftiquo cum ( rationis adhibito fn
dicio )confonantic:confonantiarflqj partes: in chorda perquirunt
tur. Melorum tria funtgenera:Diatonicuni:Chromaticu: Euarmos
ilicum: Diatonicum genus: meloseft cuius partitio per femitonium
minus 5i duos tonos c6tinucproccdit.Chromaticum:quod per duo
inequnlia femitonia & trih emitonium confccndit. Enarmonicum
vcro:quod per duas diefes coufceiidit & di tonum. Diefishocin loco femitonii mino
ris medietas eft:cxdiiVercntie extremorum habitudinis cius: partitione prouenies:
que & tetrartemeria difta cft.fed vt cara femper maior que acutior et min or que grat
uiorrreperiatur neccfle cfh‘Vaccs:ncrui: chorde:fpacin:hoc ordine a graui inacume
nitentia in vnoquoqj melorum gcncrc funt nuncupata.

Grccc nuncupationes

Nuncupationes larinc.

Proilambahomenos

Acquifitus

Kypatc hypaton

Principalis principalium

Parhy pate hypa ton

Subprincipalis principalium

Lichanos hypaton

Index principalium

Hypate mefon

Principalis mediarum

Parhypatc mefon

Snbprincipalis mediarum

Lichanos mefon

Index mediarum

Mcfe

Media

Trite fynezengm enon

Tertia coniunftarum

Paranctc fynezeugmenon

Penultima coninnftanini

Nctc (ynczcugmcnon

VItima coniunftarum

Paramcfe diezeugmenon

Submeclia clifiunftarum

Trite diezeugmenon

Tertia difiunftamm

Par a n ctc di czcugm enon

Peuultima difinnftarum

Nete diezeugmenon

VItima difiunftarum

Trite hypcrboleon

Tertia excellentium

Paranctc hypcrboleon

Pemilrima excellentium

Nete hypcrboleon

VItima excellentium.

quod chordisquattuor.Polichordu vero:quod pluribus chordis id continet q; quate
s uor. vtpcntachordu:quod quinqj.hexachordunuquod icx. et ita de Heptachordo:
Octochordo: Ennachordo: Dccachordo: Endccachordo: Dodecachorclo: Tridccat
diordo:TcfTaradecachordo: &Pcntadccachordo eftintelligendum: quod vltimutn
omnino quindcdinconftat chordis. Proflambanomenos:cftin vnoquoqj gcncrc:
primo tetrachordoru grauiiTimus neruus adiuftus:a pxiino primi tetracliordi nert
no:toniinteruaIlo diftas.Tctrachorducomnnftumieftcuiusprincipiucftpreccdctis
tetrachordi finis. Difiunftn vcro:cuins primordialis neruus in vnoquoqj melorum
geuerc:a proximo preccdcntis tetrachordi finali neruo:vno tono difiungitur.

MVSrCE

Tetrachorda funtquincp: Tctrachordum hypaton:Tetrachordum mefon: Syne*
zetigmenon: Diezeugmenon: Hyperbolcon ,

Tetrachordon hypoton cft: Tctrachordum fynezeugmenon.

Hypate hypato n

Mcfe

FarHypatchypafon

Trite fynezeugmenon

Lichanoshypaton

Parancte fyn czeugm enon

Hypate mefon

Nete fynezeugmenon

Tetrachordiim mefon cft

Tetrachordon dicjcngmcnon.

Hypate mefon

Paramefc diezeugmenon

Parhypatc mefon

Trite diezeugmenon

Lichanos mefon

Parancte diezeugmenon

Mefe

Nete diezeugmenon

Tctrachordum hyperbolcon

Nete diezeugmenon

Trite hyperbolcon

Paranetc hyperbolcon

Nete hyperbolcon

Modum hic vocamus remiffionemautintenflonem omnium tctrarchordorum

gradatini in aliquo genere melorum: fui generis progreffionem feruans.

Modifuntfcptcm.

Primus Hypodorius i

Secundus Hypophrygius

Tertius Hypolydiiis

Qjiartus Dorius

Quintus Phrygius

Sextus Lydius

Septimus Mixolydius

Monochordi regularis partitionem :in diatonico genere dcmonftrare.
<Ei&iiauieinlfrumcntamuficeetfpIurim8repcHSturvt£ftl?are:£ibk:£ubc:;lftuf:Xl?ultifoz.itiIc«3 : i»
ftulc: ©ertre: Z.«uc: ©implicce: ©upKcee: in quibus vno fpiriiu animandis vt inquit Bpulcius. fertur
IbiagutotydotumrarDarficcp pater ptimuafo canendo manus mYeapedinalTcrputcrea vttjfee!fc:<£bw
daeilte.Qambuci:fDrdrauIc. 1 Flabiiic:i(t>faItcria:Zl?agade 0 :JDarbiti:lHauIa.lp>entadee:e:omua:ipepta«»
gona.iPcIer^cftudotBarbfltituMeetratXDonoebotdaJKctracbotdaJl^olyeboidflretcctenjfdgcnus mu®
Uca iiifirunienta.lptlacuit tamen pl?fiofopl?i«inn 0 onocbo 2 df« £etrael?otdio: attp fl^olr<l?o:dis mon^
Itrandfstceterotum noa intcllfgcre ratfoncmta to:dirc*
gularie nos oftcnfiouem conucrta mus.

S S o e f g b i k I m n — o ~p q b |
Si 1 Si 1 6 | £ \Z | 0 t Z | r l Z_\_3_ | £ 1 £ | _0_ I C 1 Z 1 1

g| I c f S b i fc i m n o > q r 1

1 2 1 Z Eoiiu s & Semitonium mimi»

8*1

CftDonocfjoidfi igitur regulare idcirco oicittir q> in vnico neruo mtifTeeeonfonStic harmonica regula pera
Ncflfgetur. Sit ergo a b djotda (n qua volumus in oiaioitko genere confouantUs regulariter collocare.

Sccfpfo c planilTimam r< •iguIamjnuHatp cc parte fubfultantcm:«iualem Ifnec a b.ci perptfmam et bechnS
octanamfectmdf l?uiije st) c iu o intendo tominuetabb in e femiron imn minue, et al' C iitft f in g intendo
tmos tono0.ee ab.g in I?.fc,'nicoiiimnimiiue. ab I? iit icti in ksuos tonos, JKurfus ab bini tonum, et abi
iu m femitoni um minus. at) trt iu n et n iitotmoe tonos.ab o iit p femiton(um.ab p in qetqittr duos tonos
ita t?, continue femitonio itifnotifubiuncti flnt t>uo tonirocmptfscb q«f X> pzoflabanomcnoptimo femlto*
iuopzepofTtuscfttomis:ctkUonoquttctrachotdibfc5eugmcni bocertoillimcti ptincipium cft. JSurfum
applico totam tegulam harmonicam c r totid?o:dc ab. itavtciltcum a| ctreumb.etin c!?o:daabvbi
applicantur blelf|g|?relfqite factionum regulcnote: figito 0] e|f ig[b|i|bll|m|n[o[p|q.et&icomonocbot
dumabelTcingencrc&iatonico regulariter oiuifum. Quoniam enim lita interualla interuallie rrgulccr
refpondcntteuaduntqs equalia a b et t> b fonat tonum et o b et e b femitoniumtet iterum e b et f b tonum co
tfiict.igftur a b et f botioafonoe t fcmitonfimt minus contittcnsiper fertam tertij confonatbfateffaron.£(
quiafbct g.b vtfhi-e^Ul&contincttbnum.ctgbtbb femitonifi tninus.et b b: i b.T f b 7 k b t>uos tonos,
ergo per ticcimam tertii fbfbb trcstonosfemitoniumcp minus continens concirtitbiapente. Sedetmon
liratum! elt ab t fbtfi6du!atioiate(raron:ergopcr vfceflmam tertif abetkb quod tt confonantifs oiatcfTa^
rori 7 eiapente corifurgit icoalitumtconfonat of apafon.Kurfns k b ct l b fonat tonum [l b et m b femitonfum
minus m b 7 n b ct o b tntoc tonoe: quare k b 7 o b tres tonos 7 fetuitonium minus eotinens : per occimam
tertii confonat ofapente.Scd a betkbmonilrataeltoiapafonconfonantiatergo ab to bconfonatbiapa*»
foti ac oiapente. qp-Jcterea quia o b 7 p b femitontum ellctpbtqbetb tmo tonitergo o b ct b coemit biat*
teiraroii.kbigituretbcrbfapenteJbfatcfraroncpconftanstpervicdlmamtertifconfonat ofapafon. 3tve'
foabikbftfdemmonrtratum cilcoucinere ofapafott. crgoabtb concinunt bis ofapafon. /Stquia bcc
mon ocbozdi partitio per femitonfum 7 01100 tonos facta ptocclTfttet eeque modo monltrate funteonfonan
tfebarmonice regule fitffragio peruertigate : ergo monoebotdi regularis partitio in genere oiatonico per
oftfinitioncm monrtrata cPr.qttod elt pzopoflttim.

* 1 Monochordi regularis conftitutioncnr.in genere chromatico declarare.

a . s k_ 0 T__

. a 0 e f g b i : k l m n o_ p q b

lS fc 1 s i«f 1 a [3 larrariE is 1 a 1 zs re 1 g 1 g» 1

5 | c b e f - g b i k, i 1 m n o p q r

|S| E.£om»s. S.Scmitonium. S.Scmitoniutn maius. SC^.5Crtl?em!tonfum.

« «1 ; ; ■■ „ ■ '

C^n omni Wonocbotdoiatcpq^olycboido i?ec obferuatur ptopzfctas vt octaua modo notatmodo
da pzimeti oetimaquinta o<taue:in confonStia bfapnfonrecrepct.ctvbfq 5 pzo pzoflambattomeno pteiungi
fiir tomistintcrferitufqs vbicp inter mefett atepr paramefen pto concentu oifificfo.tonus.boc cft in mottoebo:
_ disa ptima nota in fecundam et ab octaua iitnonam colfocaturtonus, Sit ergo a b vt piius dporda in qua
voltimuoconfouaiitlasingericrecbtomaticbrcgulariterrcperire.capfocr regulapIanflTimfietiUialTigua
tecbotdeequam.facioqj per ptimam fecundi b“ft|?c ptonumtetper eccimamoctauam citifdem 0 e femitoc
niuin minusti iterft per ptimam b f toni intcruallutn.critcrgo cf femitonifi maius: ct b c ct c f ouo fciuito^
nio:fcd 7 ab fad gmetiot tonum 7 femitonifi mfnusrquc equa crfittribemitoniotctg b ctb t facio ouo feml
toniamiinusfcilj atq$ maius 7 ihcrt£doad tonfit femitonifi minuo.iofimliqiioqj pacto klfiattonusrt
l|m|ttbuo fcmitoniaict u 0 tribtmitoiilft.t iterfio|p[qbuo femitonia: qrvero trfbcmitonium, £t regulam
l;oc pacto oiuifam applico er equo linee a b:ct iit linea a b ligno collmilcs 7 collmilibus biftantifs notas:
fcilj a|b[c|f|g|b|i|k[l|m|nlo|p|q |b.qno peracto bico Uncam a bcftc regulariter in melodfa cbtomatica t>io
uffmn.Tfla c Doti us 7 0 f tonus e f g tonus 7 femitonifi minus, quare a 7 g continent tres tonos 7 femitonifi
miims.ergo per occittta tertii a ad g cfifonat biapcttte.tquia g b f eotttfuSt tonum: 1 1 k tribcitiitonifi:fgitur
g ad k bttos tonos t femitonium mfnuscotinens per fertam tertii modulatur biatclTaron. led et a g piobata
cftbinp 2 te:crgo nkroftaifftfA^gct g k biapfte 7 biatefTarpn per vicefimam tCrtif cocimtmapafou.^tpmi
lus cadent rtitfouep.to.baneriftk 0 confonarc biapeii tcfct k boiapafott.quarc a 0 biapafon ac bfapcntc t a b
rccrcpobitbiobiapafomqtiatticonfonatinnttiosirahfcenderc l|bytbagoticotutn vetatautoiitflo.quftamJ
volet vltcriusconfcJdere ex bio que iam ocmonllrata funt -zquepoftea ocmottftranda fufcipicnttir: fuctlc

MVSICE

confcendcUEt cum f atn tuouflraf a partftfo plr femltonium i fcm(ton(um et trlb cmltonlum proceflerltinlfi
vbi Integer adicctus ctt tonus vt tmn Dlapafonitum concitus blflunctl feruetur proprietas. -^atet ergoep
oifflnltlonefactum «(Te quod In chromatico genere proponebatur faciendum at qj ptopoITtum.

Idem:in cnarnionico genere regulariter oftendere. _• *

B ZPono d? oidum £nantionlc tim. b

i c l a i c i zg i e r e i it i % I fe i » nar 1 b i e i it i

e x> e f g b i k 1 tn it o P q r

tetrattemeria , ££.l 2 »itomie.

CC Sit vt prluscborda a b et c r regula eidem vtln ceteris equatab puncto cado extendo tonumretabD ad
f femltonium minueret fpaelum o f partio: In cqualla pernotanic.eruntcptie f Due oleres. etfg facio Duou
tonos: quioironum Implent, g bivtpjlus Duae Diefee.i k Oltonum.k l tonum.l in n Duas olefee. n o olto^
num.opqDuaetlcfee.ctqroltonum.quam regulam l?oc pacto partitam equaliter applico Uneeab:etfl
mllee notae: equallaqj Intcrualla In Unca a boeflgno permediae Inter a -z b litteras t> [e lf J I? (f Jft 1 1 |m \» |
o|p|q|b.ctqufaaotonue:tDcfDiKDiefeefeim'toitlumm(nua implentes: et f g oltonue: ergo a g tres toni
t femltonium minue per Decimam tertii fonant biapente.fcd Tgbloue Dlefee et 1 k oltonue Duoe tonoe et
femltonium minue contfncnteetper fertam tertii fnnt DiatelTaron.igltur vt p:lue per vicelTmam tertif a k c5
tfnct Dlapafon.i t?oc pacto monftretur k o continere Diapente et kb Dlapafon: quarea o confonare blapa# 9
fon ac Diapenteret a ad b confonare bte ofapafon.et qnfa !?ec modulationis progrcITlo per tilias Dlefee et Di
tonum procedit: conflat pcroiffinitlonem monodjordutuenaritionlcuniregulariter cffcpartitumrln eoqy
niulTcaefltiiataeelTeconfonantiae etpropofUum.

Tctrachordum hypatonrin diatonico melo diuidere. 4

T^rodambanoinenoB . S i a . - ~

Ihy patelfcypaton b | £ g • • •

n frarhypa telDyp aton c 1 g £

aicbanoatoYPaton D 1 £ j©

BJYpatemcfon e j£ ‘ -

CESupcrforesiXDonocbotdaoocueruntoidfnare. inferiores autem: £ctrad?o:da : •gblta chorda: iQtxas*
chorda ct alia qtiecp U^olycborda ad ^entl?adccad?o:dum vfqjrqulbue cognftle cetera que ampliue otC^
derarcnttir cogno(centurfacillitne.£onflftuo ergo b c d e tetraebordum bypatomita vtbfitbypatc bvpa^
ton|cparbvpatc hypaton | o Jlicbanoe hypaton (clhypate mefonrenlpreiiingo ad graultatle partem 3
■flbroflambanomenon chordam quidem que (n tetrachordis non computaturrfed primo ndieeta tef raebot*
docrcatpentbacbordmii.facfoergointeruallum ebordeafefquloctauumaddjordainb| tfefqulterllumad
chordam 0(7 fefqualtcrum ad e.ftcni facio cad d fcfquioctauuro.Dlco ergo tctrachordum hypaton In gene
re Dfatonfco(vt Dictum cft)c(te Diuifum.THaiu per Ditfinftienctn a ad bpronsnibfltionicnce ad hrpatenh?
patonrerit touue.et quia a ad D fcfquitcrtlum eftritidcm per Diffinitionem proflambanoittenosad Kdpanon
hypaton concinit Dlstcflaron.fed et cum a ad e profla tubatiomcnoe ad hypaten mefon flt tefqualterumr per
Idcina adeconfoHatDlapeute.perpcclniamtcriiam igitur tertij oabellchanos hypaton ah hypate mefon
tono olflungltur. Burium quia c ad D fefquioctauum cfl: ergo cad tfonat tonum.at vero quia a ad d Diae»
tclTaron eft',7 a b tonus cftli c t> tonusrlgltur per fextani tertii b ad c rellnqultiirfcmitontfi minus. £lt Itaqj
hypate hypaton ad parhypaten hypaton femltonium mlnus.etparhrpatc hypaton adllchanon hypaton
tonuerllehanoshypaton ad hypaten mefon totius. (CSftitufiimefiergo b|c|D|ctetraehordtim hypaton: per
femftontnm minus 7 duos fubltmctos tonos procedensipcrDlfflnltloncm In gencrebfatonfco parlfersfp?
thad;oiduni a |b(c|D|e.0cd incidit Dubitatio foifatncurtioftra tcmpcftatc mufid duos tonos ad tetraebor^
domm partem feriam Igraucmqj prclocan t: nos autem folum tonum qui cfl proflambanomeni atq? hypoe*
fes hYpntomrcfponfio perula |(n proniptuqs e(l mufleos noftratcmpcftate proflambanotneno alteram 'cl;o*
hiflantem prcflrlffect Id primum memorant 6rcgo:lumfactltaflc,

In eodem diatonico melo:tctrachordiim mefon fubiungere. &in oftochordo: a 5
proflambanomeno in m efcn : diapafon contineri.

TProflambanomenos

si n

tovpatc Bpypaton

b| £ B

“g^arhypate Ihypaton

c | © C

JLldjanos {hypaton

D l £ E>

tbypate EDefon

c) £ £

T^arhypatcZDcfon

f 1 S f

JLlchanosttMon

S\Z _ 6

Z)?efe

h I £ n?

CESlte|fjg|h tctrachordum mefotufacio e fcfquitertium ad h 1 ct g fcfqufoctaunm ad l>|etffefqu(emnnm
ad g:erit ergo per Diffinitionem cadbbTPatc mefon ad mefeu date ITaron . et quia g ad b tonus et flmlllter

IIII

f ad g tonus, nant vtruniqs er fcfqufocfatiflpiopoitfone nafcftur. ergo per fertam tertii e ad f crftfctnffo^^ ,
nfumminus.cft (taqjc|f|g|btctracbo:dutn mefon per femitonium mimis ?Duoe tonos procedetis in ge*
nere Diatonico Diuifum.ct quia a c pioflam bauomeuos ? hypate mefon in procedenti monftrata luntconfo
nare oiapcnte:ct in ptefentf c I? brpate mefon % mefe DiatefTaron.ergo per vkeftnum tertif: pioflambano* 1
menosad inefcnconfonatoiapafon.coiitinet fgfturoctocbojdum a|blc|D|e|f|g| b confonantiam Diapafon.
qttod cft totum ptopofitum.

Prcpofito oftochordor/n eodem genere tctracbordnm diTiunftartim fubmittere.
& dodccachordum diapafon ac diapente continere.

Tpionambanomeuos

Ibypatc bypaton

b 1

lParl?ypatel?ypatou

c 1

Kicbanoe bypaton

Ibypatc mefon

e L

qparl?y pate mefon

f 1

K-icIpanos mefon

H>efe

1? 1

UbaramcfeDiejettgmciioii It |

£rft c coniuRctarniii k

SCrttc Diejcugmenon

1 1

Iparancteconiuuctarfi 1

Tibaranete Dicjeugmcno»

m I

IHctc coniimctarum

Wcte Diejcugmenon

n 1

CE Sit Ic i m n tctradjojdtim bfc;etfgiitenon quot ct biflunctaruiu Dicitur, facto 1? ad k mefen ad pnramcfen
Diftuuetarfi fcfqttioctauS.ct ad m paranctcn bifitmetarum felquitertfam.adn vero nct£ oitluuctarfi fefqualte
ratn.ociiidc l ad m triten ad paranet? facio fcfquioctattatmflc ergo mefe adparanctJ Diffunciarum concinit
Dfateffaron et ad neten m'apcnte.£ft ergo per oedmamtertiam tertif m ad n paranctes ad neten toni inter*
ualUuu.ct l ad m trites oicjcugtncnon ad paranctii fimi liter tonus cft. fcd reum mefe ad paranctS conto*
net ofateflaron et I ad m (Tt tonus 1 1 Tmilitcr b ad k tonus: ergo per fertam tertii k ad 1 erit femitonfum mi*
iins.crit itaqj paramefcad triten piejeugtncnon femitonium miuueitrfre odparancten tenue: et paranctc
ad neten Diejeugmenon conflmilirertouiis.qiiarctetradjotduntOftTiinetaruui fuperfoti octocbojdo in da
touico genere fubiunctumcft.£t eunt pjcccdcnsmonftraucritapeirebiapafon et ptefcnsljncne Diapente:
igitur a n ptolfambanomenos i nete pfcjeugmcnon in oodecacbotdo a b c n coti tinent Diapafon ac rfapS*
tc.tSti fi fu moliotf canendi modottetracbotdum a d?o:da mefe coniunctum partiri: cSIHiuereqs vofnt: us:
fi id tctracljcidum b k l m: que linit mefe trite fynjcugmtnon parancte frnjeugincnon nete fyiijeuginc* 3
nontfacioqtmcrcn ad neten fynjctigmenon fefquitertiam. quare «concinentem oiateflaron tlad mpara*
ttetSfynejcugmenou ad neten tono oifiautem pariter ctk ad Itono, erit ergo per fertam tertii I? ad k mefes
ad triten fynjcugmcnon femitonif minente intcruallittnct k ltlmouo toni t tctraclpojdum fynjcugttic?
non l?oc eft Oiflutictarum in genere Diatonico Diutfum.

7 Tctracbordnm hypcrbolcon m eodem diatonico gen crc prediftis copulare: et in
pcn tadecachordo:bis diapafon confonantiam compleri.

3 rc

'Hbtoflambanomcnos

bini

Ibypatc byppatou

b 1

cfaut

llbarbypate bypaton

c l

Dfolrc

aUcbanoe bypaton

»r

c latui

Ibypate mefon

«r

■f fant

iParby pate mefon

f 1

£> folrcut

Hicbanos mefon

a lamire

ZDcfe

1? 1

bini

Kbaramefe Diejcugmenon

bfa Sritefyu. k

£ folfant

Zritc Diejcugmenon

l l

cfolfaut iJMranctcfyu. I

Dlafolre

qparanete Diejeugmenon

m |

Dlafolre ffletefyn. m

c latui

IHctc

n 1

f faut

Eritcbvperboleott

o i

£> folrcut

iParancte byperbolcon

a lamire

THetcbYpcrbolcon

q 1

c ii

MVSICE

f l£etracl?QTdftl?rpaton| 1 tetratb otdfi Diej eugmenS 1 ~1

1 E j b 1 c 1 d 1 e 1 f Is 1 b k » I m j n J o | p | q_|

l | gctracfrotdfi mcfoit | | tetracbotdum Iprperboleoit j

CESitnopq tetradjosdmti brpcrboleon facto vt tu pitoilbus n neten Diejeugmenon ad q nctf bFP^rbo»
Icon rcfquitertiam:? idcirco ad cam concinentem oiateflaron. i p ad q facto toni intcrnallum. i o ad p itfdJ
toni imcrnaltum.per fa tam tertii n ad o erit feinitoninm minue. £11 ergo tetradpotdum brpcrboleon n o p
q er femitonio minote ouobue fubiunctia tonis in genere Diatonico ofmenfum. fed et per prcccdltemb me*
fe ad n neten Diejeugmenon confonat oiapentelcrgo I? ad q mefe ad neten bppcrboleon er confonantta Dia
pcnre t oiatelTaron conftans:confonat Dfapafon.ergo a ad q pjoflatnbanotnenoe ad net? Ijyperboleon eott
tonabit bis Diapufon, et cum totum polrcbotdum a q omnino quindecim perficiatur djotdis: in pcntadcca
cbofdo x in genere Diatonico conftimtuwi cfl: bis Diapafon.quod eft totum piopofitum.

Pcntadecachordi in diatonica mclodia conftftutfcnumeros reperfre.

Ipuoflambanomcnos

9 l 1

i i tf | |

Ul 8 1

1 I 5 8 2 4 i

Earpatc bvpatou

b |

s n_
1 1

I 9 I 1 1

i f 5 1

1 I 2 2 8 8 |

tonus

-Jl&arbypare bvpaton

c !

i i

I 4 f 8 1

1 H664 1

Seroi.minus

XtcbauosIb.-patoH

o 1

1 i

L!» 1

12 9(f

1 10 368 1

tonus

IDfpatc ZPcfon

1 1

144 |

I I f 2

1 9 H6 I

tonus

qjbarbvpate ZPcfon

f 1

1 I

1 1 8748

Scmi.mintis

S.icbanos fDcfon

1 1

911

1 1 717<

tonus

XDele

1 1

108 |

8 6 4

! 1 9 1 1

tonus

Ifcarameleoicjcugmenon

j i

168

1 1 (5144

touus

trite Diejeugmenon

1 !

11 9

1 1 1852

©cmi.minns

mbaranctc Diejeugmenon

1 . 1

8« 1

6 48

1 1 f > 8 4

tonus

THctc Diejeugmenon

n I

1 1

7z 1

<7*

I 1 4«08

tonus

Zritc brpcrbolcon

« L

J L

1 1 457*

Sctni. minus

Tfbaran ete bvperbolcon

jlL

1 1

4 8 6

1 | 5 8 8 8

touus

iHctc brpcrbolcon

q 1

1 1

f4 |

4 J 2

1 1 54ftf

tonus

1 pm* | |

fetius 1

tertius

| l quart’ loc 9

C iRumeri qui in mullea Dffcipliua pwciptie tefldcrantur : funt buptarcc : trfplarcs : quadruplares: b* 1 *
miolii: epitritisepogdoi : 1?oc cfl oupli ttripll : quadrupli : fefquaiteri : fcfquitertif : et fefqufoctauf.quo cir*
ea rtocfiderae cognofcere ad quem numerum numerus mafot eil oupluo. ipfum partire per ouo. 0d quE
triplus partire per tria. Sd quem quadruplus partire per quattuo:. 73d quem fcfqualtcr partire per
tria et tertiam augepcrouo.Sd quem fcfquitcrtfuo partire per quattuo? et quartam sngepertrfn. 3d
quemfcfquioetauns partire pernonem itionamaugc per octo. £tmitneri:pcroctauam fecundi 3ritl?me
lices vbiqj furgent petiti :ftma!ot Duplus: triplus: quadruplus: rcfqualter: fcfquitcrtius : aut fcfquii*
octauus eft. CC £t fi rurfum cognofcere Defidcras quem numerus mino? Duplum babet: ipfum auge per
bno. iSuem triplum: auge per tria, i&ucm quadruplum: auge per quattuor. fiSiicm fcfqualterum: par*
tireper Duo tilli medietatem adde. i2lucm fcfquitertium : partire per tria: t tertiam adde. iShicm fefquf=
oeiaunm: partire per octo: ct octauam adde: £t (latim per eandem octauam et Diffinitiones cognoiccs pes 5
tftum. (E Sed nunc ad tiionflrandum ptopolitum nos conucrtaums. Sitpcntadecacljojdum inniato^
nico genere modo repertum: cnine numeri queruntur: o b c » c f g b t ft I tu n o p q. duco in feinuie
ccmouo:tria:quattuo::ct minimos toni: bocelt vfgiutfquattuoi in p et 8 minimos terminos tonf etre»
niaitt in fecundo loco ab queperfeptimamrcccmdf Sritbmeticcs funt inpiopoJtionc fcfquioctaua: -ico
linentia tomim.eapio fefquftcrtium numeri a: fitqj d: et fcfqualterum qui fit c t fubduplum quf fll b-Surs 5
fum fumo fcfquitertium numeri I? qui fit m et fefqtialterum qui fit n et eius fubduplum qui Iit q.qufa a ad o
cft Diateilaron et a ad c Dfapente:ergo per occimamtertiam tertif d ad c tonus cflct eadem quoqj ratione ad
n tonus. £t II d octauam partem baberet ca eidem adfccta facerem cfcfqufoctamtmadDltcD continentia
tonuni.tnodo autem quia d comperitur octaua parte carcrc: augeo a b D e b m n q per octo : furgantqj fer 51
tio loco abDebmitq:qni numeri per eandE feptima adinuic? eandE feruabfit p:opo«ion£: qna * numeri
fecfidoloco poffti.quia ergo d tertio loco politus babet octauam : ca igitur adiecta ad d fiat c eritqj c ad d
fciquioctauueatep cum co tonum continens, itidem ediecta octaua parte b ad b fiat g.et octaua partem

IIII

ad m fiat I. * octaua q.ad q ffat p. erunt# fdfrfdem g ad I? I ad tnt p ad q fefquioctaui t numeri tonotum. et
I? comperitur t?abcrc nonam partem : illam augeo per octo ct veniat It: erit# 1? ad It per octauam fecundi
Sririjmetices fefquioctauus./2t fig octauam partem l?aberet facerem f feltjirioctaniim ad g. St vero quo**
niarn ea caret :augco omnes numeros tertio loco repertos per octo et crurgsnt in quarto loco abeo egljfc
Imnpqrqui per eandem feptimam erunt in cifdein habitudinibus «t et numeri tertif loci, adietta igitur
octaua eius parte ad g facio f. toctaua parte ad p facio o.ofcoergo numeros quarto loco conftitutoseflc
numeros pentadecacljotdi.lllam a adocftoiatcflaron.etaad b tonusric ad t> tonus, ergo per fcitam tertif
b ad c remitonium minue . i quia a b cft Dfapafon et a e oiapenteergo per viceflmem tertif e I? cft Dia reflaro
et gbtfgmonftrati fuiitfcfquioctatri afqs toni, ergo per fertam tertif c feli femitoniuntininus. et eodem
pacto oftendas ftlctnoefrcfemiton ia minotaii «teri adliiuicem funteogniti toni. igitur penradccadjot
di Diatonici numeri funt reperti. £ft enim numerus ptoflambanomeniad numerum bfpstesbvpatontoa
nus:*bvpates Ijypaton ad parljypattn Ijypaton femitonium minus. parljypates brpaten ad liebanon Ijy
paton: ct Kdjani ad brpaten mefotvDuo toiri. Ipvpatcgr mefon ad parbvpatcm mefon femitonium minus,
parljypates mefon ad liclpnnoiiiiicfou tetlidjani ad mefeii : i mefes ad paramefen oifiuiictaruni: tres to# 9
nf.paramefca ad triten remitonium minus, trites ad paranctS:? paranetes ad netentbuo ton islHctcs ad tri
ten bvperboleon femitonium mimis.trftee adparanctenetparanetesadnetenbuotoni./Sft igitur notum
ptopofitum.

Tres diatonice diateflarpiv confonantic fpecfcs a proflambaiiomenoad parbypa^
ten mefon concinunt. & quattuor diapente fpccies a proflambqnonieno ad triten
diezeugmenon, feptem vcrodiapafon fpecies inter proflambanonienon & para nes 1
tcnbyperboleon.

Spccics piatcflarS | [ Spec ies Diapente | ~| Spc cice D fapafo n '

ibyp ate byp. b|£ o. | o | o | |£o. [ o | o | o | |£o.| o j o | o | o

ipiarljyp.brp._c :|Se.|Sc.j o | |Sc.| o | o | o | |Se.[ Sc. | o | o | o

jticlja.ljypa. p' | £o.|ton 9 |ton <, | |gp. jton»| o | | o | |g o.l iton»| ton»| o ~ |

Ppypate mefon

Hbarljy p.mc. f |

[ ton 9 jton * 1 fCo. I to»» [ 0 ( 0

Jt idja. mefon g |

XDdt b_ .

jPara.pfej eu. k | | '[ j ~

~[ Sc7|£5e. j

_|tonfJt£n£jton*

| toii<’|t oii» |

grf teofe;eu. I | | |_

1frara.p(c5c u. m ,

TReteple}eu. n |' j

gritebyper. o~j \'

I ton»[ton 9 |

ICL

I goTjt on 9 [ton* |ton 9 f o P
TSeT jSeTISe. | Se, [Se. |

| Sto. I ton 9 |toii 9 |tou < * j ion 9 |roti 9 ) o_

1 Zo7 \ton 9 \ ton 9 \ton* [ton» | ton » | tonus

' )tcm»| ton»|ton» [ton** | ton 9 [tonus

1 0 e.[ge. 1 ge. f 0 cq~SeT [
j ton»| ton 9 [ton 9 j tonus I

Tftara.tjy pcr.
THttc byper.

~i f 1

I3IQ

J_4 1 IS

| ton»| ton 9 [ tonus |
Se.|_55c. [
' tonus |

(C Illima fpecfcs bfatclTarou tono femitonio mfriotc at# tono conftat.Sccunda femitonio et Duobus tos 5
nis.gcrtia Duobus tonis et feqtientc fctiritoirio.(Cl|brima fpccies Diapente efl que conftat er tono hmito?
nfom(notciDuobustonis.SccandaDuobnstonis:femitonto:at# tono.gertta femitonio et tribus tonis.
^iKrtatribustonisetfcmitonio.CClI^ttmn fpccies tiopafoncft que conftat er tono| femitonfo mfno:c[
Duobus tonie [femitonio mino:c|atq5 Duobus tcnfs.Secfida femitonio Duobus tonfe|fenritonfo ct tribus
tonis. Certia Duobus touis|fcmitonfo|tribus tonfs| at# fcmltonio.tfSuarta tono| femitonio [tribus tonis|
femitonio |fltqj tono.i^uinta femitonio [tribus tonislfem{toufo|Duobuetou(s.@cria tribus tonislfcmitos 9
irio [Duobus tonis femitonio. Septima ouobus tonfs |fcmitonio [ptiob 9 tonis |fcmitonfo |at# tono. (T £r(t
ita# per Diffinitionem prima Diateftaron fpecies a pjoflambanomeno in Ifcbanou Ijypaton.lHam ptoflam*
banomenos ad Ijypaten Ijypaton tonus eft:et Ijypate bypaton ad parljypatcn Ijypaton femitonium min us
efttparljypatc verobypaton adifcljanon Ijypaton tonus.? (tidem per Diffinitionem fecunda Diateffaronfpc
cies ab ljrpate brpaton in bypaten mefon reperietur. t tertia a porbypate Ijypaton in parljypaten mefon.
CESperic» vero Diapentcljocpacto per Diffinitiones fumentur, llbrima a ptoflainbanomeuoin Ijypaten
mefon. Secunda a parljypate Ijypaten in Iicljaiton mefon. gertfa ab Ijypate mefon in paramefen Die jcu^
gmcnon.£tquartaaparijypatemcfonintriten Diescugmcnon. d^tleptcm fpecies Dfapaion coufimilfter
per diffinitiones quercntur.lfbrima aptoflambanomcno in mefen.Sccundo a parljypate Ijypaton in para
nicfeu Dfc5cttgmenon.2xrt(a a parbypate Ijypaton in triten Diejcugmcnon. £©uarta a Ifdjano Ijypaton in
paraneten Diejcugmenon. iShrinta ab Ijypate mefon in neten Dicseugmcnon. Serta 'a parljypate mefon
in triten bypcrbolcon. Septfma vero alfcljano mefon in paraneten Ijyperbolcon.fcdbcc cognitu facilia
funtrin fpccta Diligenter fuperiozc figura.

c iii

MVSICE

Chromaticum principalium tetrachordum:conftitnerc. io

Tfoofjatnbati omenog 3 1 B

Ib ypatcb T paton b | g oniis b

•j foarb y pat e bypaton e j Sciiii.tiiiuus c

ilicbanog bypaton p | Bpofome p

I Pypate mefon c [ Stifemitonium e

CE £biomata apud Jlacbcdemonios induxit olfm JTimotbeua milefius moKoiem cautum fiiperlote pia»
touicotinquo canendi modo l?ic tctracbotdiim bvpaton qtierimue. Sic ergo b c p c tetracboidum ed bvpa
tae in cl?iomatico melo conftituendas alTiguatunupicpono djoidam a: que fit ptoflanibanomcnos : quam
facio tefquioctauam ad b bvpatcn bvpaton piimam tetrad?oidi coftituendicbotdaimoeinde facio a ftfqual»
teram ad eljrpatcnmcfomcritqjvcin omnibusaadbtonueletaadepiapcnte.peindefaciobadcfemitos*
nium minus et b ad o tonum.erit ergo c ad p apotoinc.i quia per pecimam tertii Pcmpto a b tono ob a eco
fonantia oiapcntetreUnquitur PtatclTaron.crgp b c modulabitur oiatelfaron. Sed cum per fertam oiatefia«*
ron er Duobus tonis et lemitonio minote confiet tbcctco fimul fint tonuslergo Pe continettonnm et fimi
tonium minus.cft igiturp e trifcmitomum.fiCum ergo b e bypate bypaton et parbypate bypaton fit femitoo
nium minus, x c o parbvpate bypaton x lid?anoa bypaton flt femitoninm maius et P e Ifcbanos bypaton t
bypate mefon trifemi tonium vt monfiratum cft. confiat ergo per oiffinitfoncm tetracboidom b c D e in gene
re cbtomatico elTc conftitutuin.idcm enim trifemttoiiium et trfbemitonium Dicimus.

Chromaticum tctnchordum mefon rfubiungcrc. i*

Tfrioflamba nomci t og 3 | B

Ibypate bvpaton

b 1 2iomis

llbarbypate bvparon

c | Scmi.miiuis

Jtiebanoelbppaton

P | Bpotome

flJvpatcZDcfon

e | jtrlfcmitcnium

Ipnrbypate ZPcfon

f | Scmi.minus

Jlfcbanos ZOcfott

g 1 Bpotcmtc

ZDcfe

b | gTrifetritonium

CESint p:o tctracboido mclou in gnierccbiomaiico cor.ftitncndo ef gb:facioaadbbupIani et concit
nentem oiapafon.? cad f femitonium minus ? idem c ad g facio tonum, crft ergo fad gapotome.fcd cum a
ad c monftrata fit conlonamfa oiapentc.ca igitur fubflracM ab a b cciifouaiitia piapafor :pcr viccfimomfc
eundam tertii relinquitur ofutc(Tsron.£fi ergo e ad b bypate mefon ad mefen oiatcilarou,? cum ointefiinon
Puoe tonos x femitonium minus impicat:? c g fit totius ergo g b continet tonum et femitoninm n inua.erit
ergo g I? trlfemitonfuinierft igitur cfgber Duobus femitom'iscf?fg:et trifemitonio gb eonftitutum in
genere cbtomatico tctracboidum.quod erat monfiiadimt.

Reliqua duo tctrachorda:in eodem gcncrc p redibis adiicerc. & in pctadccachor^ i x

llMoilniubiinomciios
Ibyp-.te byppaton
ll^urbrp.ifc bvpaton

b | STonus

c | Scinf.minus

JUcbaiios bypaton

p | Bpotomc

Ibypflte mefon

c 1 ffrifcmitoiiiuni

Ifrarbvpate mefon

f | Senii. minus

TOt(e b 1 Crifcmitoniuiii

WSSSfeifraaiStiioinr I r %°«m 1 Cr(Kjw.&mt.mtom_

EStttlcwsmoion I I | H>»nn«.Jnn.apoioin c

iHa^i^SiHrenon i'

gTS^ai to r Lfsajgjg»

IIII

(ESlnt pro reliquis tetrachordis complendis klmnop qiqula tctracbojdum mefon slfTunetum efta te»
trachordo netarum blejcugmenoniidcirco faelo meles ad paramefeii Pfejeugtnencu olftatttfam effetonflL'
ct mefen ad neten olejcugmenon faelo confonare diapente, i ad neten hyperbolcon diaparotuct ictrachor»
dum k l m n partior vt tetrachordon l?ypaton.tetracl?o:dnm vero n o p q partfo» vt fn precedentl tetraebo:»
dum mefon erltqj vtrfiqj Id genere chromatico of ulfutn.? quia a ad h cognita dl efle oiapafoni ? h ad q Itl»
dem otapafon. ergo a ad q confonablt bfs&fapafon.iglt? cum quindecim vocibus atqj chordis contentum
fltrconftat effectum cfTe id quod erat propolItum.Sed fiklm facio tetrachotdum fynjeugmenou fpfumpar
tlarla vt tetracl?ordum chromaticum mefontet facile factum intuebere propofitum.

Chromatici pcntadcca chordi numeros alTignarc.

'Bbiofiambanomenos

~S| 1

1191

1 f97>963 1

Ihypatehypaton

b I

I rfcf

1504

] f5oS4l6

Kbarhypatebrpatou

I :4? |

■ 218 7

1 f 0 JS 8 4 8

ildjanos bvpaton

o 1 1

1 o 48

lOypate mefon e

‘72 8

1 59 8 151 2

iparbvpate zDcfon

jtlchanos ZDcfon

I □

XPcfe

1? i

1 2 9 6

1 2 9 S f 9 8 4

l^aramcfe Diezeugmenon k |

11 fl

1 1 6 f 42 o 8

Jtrlteolejeugrnenou l

! 1

1 2 f I 9 4 2 4 !

Ifboranetebfejcugmeiion m ,

1 25f 9 1 9 6 1

WctePteseugmcnou

U |

1 964

Crflcbyperboleon

0 1

I 21 0 826 8

I fSeml.mliius

Ifbarancte hyperbolcon

P 1

THetc hyperbolcon

a 1

I «48

1 1492992

| Crifctnitonlum

CC Slntb et c minimi numeri femltonif mlnorlsperbecfmamoctauam fecfidl hufus repertf. quia b nona
parte carettaugco b ete per noucm et veniant b etcln fecundo loco.quonfam Igitur In fecundo loco b nos*
nam partem habetteam augeo per acto ct flat n. tunc b ad b per feptimam fecundi Urirhmeticee erit fefqui*
octauuo.quareb t> continentia tonum.et b ?cper eandem eftfemitonfum mlmio.ergo co eftapotome. «ur
fum quia b habet octauam advelo eidem fuam octaua ? fiat a jerltcp a ad b fefq uloctauu eat<$totmo ?quot»
nlam a habet tertiam faelo a ad e fefqualterum.? qufa habet fecundam faelo itidem aouplumad h. Pcpe»
rlo (tem hhabere nonam tertiam et fecundam, facio Igitur h fefquloctauum ad k: lefqualterum ad n ? au*
pium odq.quo facto suco b fecundi loci lnabct>ebk»q«vcnlant Intertiolocoa bcocljktiq. ©elude
otico c t> fecundi loci In e fecundi et veniant f g ? in k et veniant I m et in n ? veniant o p fn tertio loco, crfttq;
per feptimam et octauam fecundi arithmetices numeripentadecachordl chromatici fn tertio loco afftgna
ll.THam a b erit tonue ct b c femltonlum minuo et c o apotonte.et quia aadecft fefqttalterra ct e funt nume*
r I of apente.? a b numeri tonl.Dempto fglmr a b touo relinquitur b e triateffaron.? b c ? c o flmul funt tonus
Igitur per fertam tertii t> e funt trifemltonlum.gt a I? cilolapafou ? a e oiapcnte.lgitttr c h clt olatclTaroii. i
per octauam fecundi Srltbmctfces e f et f g funt femitonfum minuo ? apotomc.igltur g I? eft trifemitonium
et confitniliter monitrablo h k efTc tonfi k 1 ilmouofemitdnlacttn ntrffcmltonfum nopOuo fcmifonla ?
p q trifcmitonium.elarum igitur cuadlt propofitum.

Modorum diatonici et chromatis parhypate parhypatis:paramefe paramcfis:atc^
trite tritis correfpondent.

CT ifiam (n vtrl fqs generibus hypate ad parhrpatas femltonif minoris obfcruantlnteruaHum. ct mefc ad
paramefas tonum.? trite ad trftas minus femftonfutn.efi igitur notum (lias voculae in virocg canendi mo*
do fibifnulcem reipondere. ? non modo Id verum fit: fed et hypate hfpatls ?mefe mcfis?ncte netis cora
refpondcnt. THam vtroblcp proflambamenonl ad bypatas bvpaton concinunt tonum. ? ad hypatae mefon
biapentc.ad mefas blapafon.ad netas olflunctarum of cpafon acolapcntc.? ad netas hyperbolcon bis oia
pafon.etl ergo quod proponebatur et amplluorfacfle cognitura.

c iiii

MVSICE

Penfadecachordum enarmonicum conftituerc.

Tfctoflambanomenos

bypate bvpaton

b | Conus

ifcarbypate bvpaton

c i ©ieffs

S-tcbanoe B>,’paton

0 | ©ieffs

bypate IDcfon

e | ©(tonus

Ifcarbypate mefon

f | ©ieffs

licbanoe mefon

g | ©ieffs

ZtScfe

b | ©itonus

IfraramefeDJejeugmenon b ] Conus |

Crftcfyn.bfeffs b

SEriteDiejeugmenon

l^aranete olcjeugmenon

tn | ©ieffs 1

Hetefvn.oitotma m

lacteoiejeutmenon

n 1 ©itouue

CritcbVpcrboleon

0 1 ©ieffs

1 !>aranetc bvperboleon

_p 1 ©ieffs

THete bvperboleon

q | ©itonue

«1

(Dbuius compofitio perfacilis cff.facio enim vt in ceteris ptecedcniibnsaad b internatium tonf.etaade
Diapente. 2 b ad o facio femitonium minue, toiuido cbotdam c in medio bifferentie b ad D erit ergobade
cfelle tetrartemeria atep quadrupartfalis pariter et c ad o oiclle.fed per quartam fecundi buf us b« latio*
illa vero contractio: ucqjper tricefimamfccundam eiufdem femltonium minue in ouo equa certo: coniti#*
tutoqj numero Diuidipotclt.eta adeoiapeute.fubftracto igitur a b tono relinquitur b ad e effe oiatdTaron.
et cum oiateflaron femltonium minue t ouoe tonoecomplectatur:et b ad o fit femitonium minue : relini
quitur igitur b ad e elTe bitonue.crit igitur b c o e bvpatea bvpaton parbvpatec bvpaton licbaniqy bvpato
«t bypatee rnefon tetradjotdumrper b c:c octo c oieffm tofeilm t oitonfi ptocedenepcr Diffinitione inenar
mottico genere oiuifum.Sirniliter conllituae c f g b tctrarcbojdum mefon faciendo a ad b oiapafomet e ad
g femitonium mfnus.t partiendo mediam oifferentiam per f ita vt cf et f g ffnt oue ofefee.lHam ab a b con*
fonantiaoiapafonfubductaacconfonuntiaDiapentcrrellnouiturebcITeoiatcffaron.etcuinegfltfemiionifi
mfttue: igitur gb erit oftonne. t cum e f 7 fg fint oue oiefes ?g b oitonue.ergo b ce tctracbotdi partitio in
genere eiiarmonico facta confp(cltur.£t facta b mefe ad neten oiffunctarum oiapentett ad neten bvpcrbo#*
Ieou oiapafontet cbot dajmefe a paramefc tctracbotdi eiffunctarum tono oifclufatperinde ac pioffambano
ttteno ab bypate bypatontpartieris tctracbordutnoiflunctarum hlmnvtbco e tetrarcbotdum bvpaton, t
tctracbotdum n 0 p q bvperboleon ercellcntiumcptvt c f g b tetracbotdum mefon. tetracboidum autem coi*
itmetarum I? k I n» partieris vt tctracbotdum mefonet id quodqj facile eft.

Pentadccachordi cnarmonid numeros collfgcrc.

I pnoflambanomenos . S&l i?8;4 | 1 i? S2 4 |

Ibrpatebyppaton b 1 n 2 s 8 1 Conus | 1 j 2 88 _ | Contis

IJbarbvpate bvpaton

II 6 6 4

| Semi.minus |

11976 1

©ieffs

JUcbauoe brpaton

0 1

10568

| Conus

I 166 + 1

©ieffs

©vpate mefon

9 2 16

| Comte |

9216 |

©Itonus

l^arbvpatc mefon

f 1

1 8 7 48

| Semf.minn 0 1

8 9 8 2 l

©felis

JUcbanoe mefon

jsJ

. 7_7 7 6

| Conus |

8748 I

©iefls

l^aramereoiejeitgmenon

6 1 44~

rConue |

6 14 4

| Conus

CritcDic3cugmenon

l 1

1 (852

| Semi.mfnus |

(9 88 |

©ieffs

l£>aranctc oiejcitgmenon

1 f 1 8 4

| Comte [

(852 1

Bfeffs

■ffletcotejcugmenon

n 1

46 08

| Conus |

46 0 8 |

©ftouus

Crite bvperboleon

0 1

! 4574

| Scmf.minus |

4491 1

©ieffs

K^aranetebvperbolcon

P 1

58 8 8

1 Conus |

45J7 4 |

©ieffs

IHetebvperboIcon

q 1

5 4 f 6

| Conus |

54(6 1

©Itonus

IIII

(ESfnt numcriabebefgklmno pqfn primo loco conHftuti numeri pcntadccacboidi Diatonici per
octauam huius repcrti.pou o Iterum a b e I? k n q (n fecundo loco z in rcfpondcntlbus locis rurfum e in (ei*
eundo loco tranfmuto ndoetfadgtl ad tu z o ad p .quibus ita in fecundo loco oifpoITtls : ex ipfis quidem
in fecundo loco capio Differentiam b t> «iciue medietatem adifeio ad P et fiat e. Similiter differentiam e g et
medietatem addo ad g etfiatf.t Differentiam Itmt medietate Diffcrcnlie adiecta ad inflati, et Differentiam
n p z medietate adiecta ad p fiat o.Dico abcDcfghltltnuopq numeros fecundo loco politos e(Tc nume*
ros pentadecad?o:di cnarmonici.lfiam a b erit tonus.b c|ct c o mcskfee conilimentcsfemitonium minus
b o. quod enim cfl b c in diatonico factum eltbpin ctiarmonfco cto e cfl Ditonus.lflam quod eil in diatoni
cocceftljicin cnarmonicoD c.atDiatonice tnodulatiotifs c e tiitoimseff. THam continens ce tonum ctoe
tonum, z Ipoc pacto reperientur c f g bueoiefes zglp Ditonus.h k tonusth l tn Due Dtcfesim rt Ditonus.n o p
duc Diefearp q bitonus.Sunt itatp collecti numeri pentadcca cbojdi cnarmonici quemadmodum piopoft* 3
tum fucrat.quod eft pjopoiltotn.

1 7 Moddldfatonfciparhypatehypatonrln cnarmonica modulatione trantftmlicha
non :& parhy pate melon in llchanon mefon atq? trite in paranctas.

(E ?d ptofpici ftntimpjomptum cft. THam iu Diatonico pentadecachozdo a pioflambanomcito ad hYPa^
tenl?vpatou incidit tonus. etab hrpate adparhrpaten hvpaton femitonium minus. in enarmonfeovero
a ptollambanomeno ad hypaten hrpaton Umiliter incidit tonus, ct ab hrpate ad lichanon hvpaton fe*
mitonium tuinus. Diatonica igitur parhrpatctin enarmonica modulatione permutatur :tranfltq$ inii*
ehanon.cthoc pacto De reliquis oftcr.datur. quod z facile feitfu bcpiehendetur:fl invtroq? emodulandi
genere et oiatonico et enarmonico ptollambanomcni ponatur equifoni.tuitcenim msnffcfhim erit hufus
lichanos: illius parpypatis effit cquifonoe: vnifonofcp: pariter et huius paranetas : illius tritis e(Te
cquifonas.

18 Confcntiantin tribus modulationi! gencribus:proflambanomcni: hypate prin*
cipales:hypatcniedlc:mefc:paramefc:nctc:cum diflunftetum conhmfte atqj cxccl*
lentibus netis excellentes.

CPBam in tribus generibus per quartamiquinlamtfertamlfeptimams Decimam: vndecimam; DuodccimS:
etquintamdcciinflm huius ptoilambauomeni ad hypatae hrpaton fonant tonum, et tfdcm ad hypates
tncfon Tonant Diapente» ad mefas oiapafon.adnetaoDifiunctasfonantDiapafonac Diapente. ad netas au
tem coniunctas Dempto tono fonarent oiapafon acoiateifaron. et ad netas excellentes i confonant vbilibet
pjoflambanomenibisbiapafon.confentiunt igftur intribue generibus que a ducte (bntvoculr. quod eil
piopofltum.

, 9 Que chorde mobiles queuc immobiles in pcfadecachordis exiftant: imieiligare.

•fe Tofla m banomeni 'M 1 Stabil es

Ilj ypareby paton b | _£tabiles

Hbarbypatelyr paton c \ 3nftabil<a

Xichanog hrp aton »_l_.?uil8btles

Ibypa te mefon c | Stabiles

HbarhV pateZ Defon f | $nffabiies

jUcb anos XPefon V J 3nffabiles

XQcle I? I Stabiles

T ^aramefeD ie 3 cugme non k | _ Stabile s £ritcfy n ;eugmenon. ffnff abllca

Kriteolejeugmcnon 1 _ 1 3nffabi lee H barane tc frn^eugmen on.jn ftabiles

ffiaranete Dlejcu gr iieiioii m 1 3nffabiles fflete fynjcugmcnoiuStabilcs

THctcoiescugjncnon n | Stabiles

grltebyperboleo n o | Jurtabitei

Hbaranctc bvpe rb oleon p [ $nffablle»

HetebYPerbolgon q [ Stabiles

CE Cbotdas Habiles immobilefep vocamus: que fn omni pentadccacboidozum biuiffone : eadem leruant
(utcruallo : candentep ad ptoflambanomenon habitudinem. 3nHabilcs vero atq? mobilesfquc id n on fer*
xiaiit.de ergo Habiles ac inHabiles repericmus.cum enim per pzcccdcntem fit tribus generibus confcntian*
pzoflamban onienfcprincfpales brpate.mcdic brpstc:mcre:parainefc:nctc tum fynjeugnienc tk blc^cugme*
ne ac Ijyperbolesfct eadem vt er oemonflratis iam patet feruent fnterualla. erunt ergo ptoflambanomenos
hypate bypaton: hypate mcfontiucfcJparamcfc nete fyiijeiigmcnonmete Die5cugmenon: et nete hfptrbo*
Icon: ffmpliciter immobiles atq? ffrme.Scdcum Decirnafeptima huius mondraucrit parhypatas Diatoni*
tonicc modulationis .* in cnaiwonfco melotranilre pcrnmtai iqs in lichanae: ct tritas in paranetas:

MVSICE

conflat ergo reliquas a ptedktls efle mobiles: vt parbypaten hypaton |lfcbanou hypaton | parbypaten me*
fonlllcpanon mtfonltrltenfynjeugmenonlparanctcnfynjeugmcuoul triten Dicseugtnenon [ paraneti oie*
jeugmcnonltriten l?ypcrboIcon|parauetS brperboleon.3d tamen anintadnerti Dignum eft q» eum per oeci
mamquartam bulns parl?ypate| et trite fu tiatonfcls et chromaticis refpondcantl fimllfaqj polTideant inter
ualla: eas non vfq< adeo ( vt .cetere funt ) elfc fnftabllcs.£t proinde partim mobiles | partimqs immobiles
bono iure oiei polfe videntur.

In tetrachordis diatonicis ab hypate hypaton primo limite confonantiarnm : ad
quartum vfqj limitem ter diateiTaron cotinetur fed fcmcl dumtaxat inftabilibusrinis
mobilibufqj. Et ad quintum limitem idetidem tcrdiapente:femelin mobilibus: fe*
mei partim variabilis:et femel penitus inuariabilis atqj firma. Ad oftauum verofess
pties confonabit diapafon:ter in immobilibus: 8i quater in mobilibus.

I bypatebrpa. |et confeqtiemcs fuls locis.

lScml.|£on 9 l £on’ |Scmi,|

Coti 9 [iCon 9 [Ion 9 1 Seml. |Jtoit 9 |£on 9 1 Sentf. | Con 9 |C on 9 1

l Stabiles lb 1 | e |

1 h 1 1 | m 1 1 Pl

| inflabiles c D i

f g k l no

(T iumdieltur a primo Umlte ad quartum vfq$ lfmitem:qu(ntum:ae oetauutniptfmus Umes non ereludit*

tur fed quartumtquintfcac octouum eteludi fntelligfmue.Sint ergo b e 0 c f vfq; ad p quattuo: tetraebon*
do et b hypate bypatonrcctere vero eonfequentcs, Dico primo ab b vfcp e ter contineri DiateiTaron: fed Cea 3

mei folum in immobllibus.lR atn per quartam huius b ad c continet femitonium minus et c ad t> tonum et
d ad c toiunn.ergo b ad e confonat olateiTaromerftqs b ad e prima DiateiTaron confonautfa reperta. Ct cum
oftenfum fit e ad » et o ad e efie duos tonos et per quinta m huius e ad f fit femitonium miuus:crgo c ad f cd«
foiiat DiateiTaron. eritqsc ad ffecunda olatcfTaron. ?tctn r.ionfiratus eftDadecfle tonus cte adffemito*»
nium minusiet per quintam buluef ad g eft tonus, ergo o ad g eft oiatellaronrerltq} o ad g tertia DlatefTa**
ron.Sedcum prima barum trium que ell b ad e fit ab hypate bypaton ad hypaten mefon: quas monftrauit
precedcns ftabiles tmmobflcfq$:et fecunda ab c in f parbypate hypaton in parhypaten mefon : et tertia ab
» in g lichano hypaton in lichanonmefon. et parhypate ? Ikhane monftrate funt mobiles, confiat ergo ab
b ad e ter DiateiTaron fed femel oumtarat in ftabfllbusrfmmobllibufq; contineri. CESecundo Dico ab b hy
pate hypaton ad fvfcp parbypaten mcfonrfolum ter contineri oiapcntc.IRam per oedmam tertff ofapente
tribus tonis feinitonioep minore coftat.fedper quarta et quintam huius b ad ffolmn Duos tonos ct Duo fe«*
tnftonfa minora coutfneuque ouo fcmitonla minora per j 4 fecundi minus vno touorcommatc reftituunt.
ergo vtb ad f Diapente confonantfam compleat: plena Dccftapotome.uonconftituftcrgo b adf Diapente.
3temcadgpcrquarfflinctquinfamhuluocontlMcttrestouosquifunteadD:Dadc:tfadgJctvnumfcmi*
tonfum minus quod eft c ad f.fgitur per Decimam terlif c ad f confonat olapente. eritqs c ad g prima Dlapcn
te et per eafdcm d ad h continet tres tonos:quf funt oade:f adgtetgad h: ? femitonium minae e adf. er*
go D ad h confonat Diapente : erlrcp 0 ad h fecunda Diapente.? ab e adlperquartam et fertam confimilfter
continentur tres toni et femitonium minue, erft ergo e ad 1 tcrtiaDiapcnte.terligltur ab b vfqj ad f contine**
turDlapcntc.fcd eum prima fit ab c parhypate hypaton fn g Ifchanon mcfon.et parbrpatas et Ikhanas mott

eunda fit ab d lichano principalium In h mefentllcbanoo autem mobilis fit:? mefc Immobilis: fecunda Igl*
tnr olapente partim variabilis etiftlt. £t cum tertia fit ab chypatetncfon adf paramefen que per eandem
oecfmamnonam ftabiles monftrate fnut. erit igitur tertia Diapente omnino flabilis a tq; firma. (ECeitfo

Dico ab b hypate bvpatonvfqs ad i paramefen fepties contineri oiapafon. fed foium ter m immobilibus:
quater autem In mobilibus. THatnb adf per quartam quintam ct fertam huius continet qufnqj tonos et
Duo fcmltonlamfnora.ergopervfcefimainprfmamtcrtri b ad i confonat Dlapafonrcrftcp b ad i prima Dia*
pafon.£t per idem c ad k: o ad 1 1 e ad mrfingulc Intercipiunt qulircpltonos ct duo fcmitonla minora 'erit er
go c ad !; fecunda ofapafon.ct D ad l tertia.? c ad in quima.ied per quartatnrqulntamrfertam atep fcptlinS
finiulfadnfimiliter continebit qufntp tonos? Duo fcmitonla minora, fiitillltcr et g ado cthadp.eriter*
go quinta Dlapafon f ad n.ferta g ad o.et feptima h adp. Igitur ab b ad 1 vftp : continetur feptfcs olapafotu
atqulprmamptebcut hvpatc hypaton tparamefe&icjeugmtnou.?' quartam hypate mefon ? nete oleseu*

gmeuon,ctfcpt(mamiucfe?nctchvpcrbolcon.hypatas autem inefas param efas emetas monftrauit dc*
dmaoctaua Immobiles atqs ftabiles. fgitur inter illas fcptemolapafon eonfonantlas Diapafonteriu 1 m*
moblllbusreperltur.Scd fecimdamprebcnt parhypate hypaton ettrltcDfejeugmcnon. Certfamllchanos
hypaton et poranetetilejeugmenon. Quintam parhypate mefon ? trite hyptrbolcon. Sertam lichanos
mefon et paranete bypcrboleonrfed Decimanona parbypatasftritas: liebanas ? paranetos: monftrauit efle

moblIcs.(gitur Inter illas feptem eonfonantle Dlapafon vlccs:quater In mobilibus mutabfllbufqj facta re*
pcrftnr.*quod eft totinupropofitum.il c&uod autem Dfuus 0euer(nusfapfcntumIatfnorumDffciplfnasfe*
ctantium p:(mue:quem ?fn hoc opere quantum valemus Imitamur fulsolfclplluls non parum adiutlDe*
efmoterrlo capite quarti fue tnufices fpcefes Diapente numerando eas quattuor facfatrld (ntroductorlefa^
ctum putetur: vbf preeifam no eurauft vcrltatJ.fed eomunem fecutus illfecft ertimatlonf: quod facile er ct*
fuperfotl Determinatione cognofcitur.hfc autS no Introductionis fed eraete Determinationis locus eft.

IIII

Tcflaradccachordi chromatici' inter aflignatos Ifmftcs teritidcdiatcflaron: folii
femcl immobiiiter.bis dfapctcrfemcl immobiliter fenielqj partim mobilitcr.fcptics
ante diapafontter vtin diatonico genere inunobilircriquatercp mobiliter cofinetixr.

1»

1 b i

[ t

l 1 1 . Pl

l u o 1

CE £elTaradec.icboJdum crquattuo: retracboidfe conftituiturddcirco fle nuncupatum: q> qtmtttiozdcdm
cbo:dis|ncrui&| voculifuc cominentur.bico cnfuipzfnio quattuozdecim cbotdarum ingcncrecl?:omalico
continue per Htterao b|clo|c [f |g [b |i|kjl|m]n lo |p |ab bvpatc bvpaton bifpofltarum a p:fiuo ad quartum vfq$
I(mitcm:ter contiii eri biatefTaroufolumfcmel immobiliter. Illam peroecfmambad e concinit oiafeflaron.
crifqs bad epiimabfateflaroii.fcd i quiaper Decimam c ad D eft apotome ctondctrifcmucnium : ergo cad
ecoHtinct duos tonos.ct per vndccimam c ad f eft fcmitonium.crgo per fet tam terti) cadfouce tonos et fc*
mitonmni con tinensterit eiateilaron.crit igitur e ad f fecunda bintcflaron.et quia rurlue per vndecimam e
ad f eft feinitoiifum minus et f ad g apotometergo e ad g tonus.fcd b ad c iiiouftratuiii eft trifcnifton ium. er
go oadgcontinctouos tonos ?fciuifoniitm:cftq}badg tertia t>iatclTaron.£tcimipjimabadefitabIjypas
tc bypatou in bvpntcn mefon pcrccdinamoctaiiam fitiiiimobilitcr.fccimda vcrocf|ettcrtiaCig:funtflpa^
rbfpatc i licipano pjfnci palin neque occimanona patefecit cflc mobilcs.conftat ergo ptiniuin. (E Secuiu
do oico folumbfs intra quintum limitem contineri Diapente, quia enim b ad e per immediate monftraitim
efloiareflaron.eteadfitfadgfiniulroitus.crgopcroedmamtcttiflmrcritjbadgcottciiiitbiapcntc.critcp
b ad gpjimaDiapeiitc.ca tamen feje vocibus inon qufnqj erplcbiturrpzoptietatcm biapentenon feruans.
at c ad g non erplebitciape ntc.THani per modo monftratum cd biapente complementum Deerit b ad elemi
tonium minuo.ncc^ cad Ij.THam per vndecimomljuiusgfld bcoutincttrffcmitonium.fltc gadDiapente c5
p lementum folum Deerat femitonium minus: fnperat igitur c b confonantiam Diapente completo tono.ttccp
D I? continet biapente.lHain eum c I? fupercc confonantiam Diapente integro: complctoqj tono: Dempta cr^
gocDapotoincrdiiiquctuiDbfupcrnuoDifcpiStcconfonar.tfflinfentitoitiominotc.fcdcadicoufonatDinp*»
tc:cft cn fm 1? ad iper Duodecimam tonus.fcd d ad 1? per immediate monftratum fuperat 'confonantiam oia»
^ente fcinitonio mfnoic. Dempto ergo D e trifemitonio minore: relinquitur e 1? Deficiens tono a Diapente:
addito igitur b i tono fiet Diapcntc.eft itaqs c ad i iccunda Diapcntc.Zlb b igitur ad f quintum limitem folli
bfsfuiniturDiapcntc.efcumpjfmaDiapciircbgfitabbvpotcbVPBtonHnmobiliadlicbsmon mefon par»* 1
timmobilemrfitcrgopiutiopartiminobiHtcr.Stverocnmfecuiida eirtrab Ipypate mefon ad paramcfcit
qnc monllratc funt immobilestfit ergo fecundo modo immobiliter fcrimturqj fecun do modo biapentcpioc*
pzictas vt dc quinto loco fn quintum fiat locum. CE tertio Dico fepties fieri Diapafon ter fmmobilftcr: qua*
ter vero mobiliter. IBatn cum b ad c per pzimam partem buius monftrats fltoiatcffaron: etper fecundam e
adiDfapcntc.crgopcrvicefimamtcrtijbndiconlonntofapafon. critftacpbadiptfma Diapafon. iJMetcrca
quia c ad f fuit inuentn fecunda DiatelTaron: ct f g eft apotome g b trifemitonium : ergo f b t>uo funt tonict
b i tonus ct i It femitonium. ergo f k biapente: ct c f vt iam Dictum eft oiatclTaron.conciiut igitur c ad k Dias
pafontcritqs c U fecunda Diapafon ,ct eodem iurc d l tertia Diapafon adinuamc ouodcdmabuins.et c m quar
ta. f n quinta.g o ferta* i b P fcptima.Scd ter fieri immobiliter ct quater mobiliter ccdcm modo vt in vfccs
lima monftratur.

In tctradccachordo enarmon ico: inter aflignatos limites ter diateflaron & fepties
diapafon vt in prcccdetibns cotinctur.at femcl diitnxat diapente atqj immobiliter.

|b I 1 c 1 1 1 Lb i 1 • T t»~ 1 I p l

J _ c D f g k t n o |

CL^ctradeca<bo:duincttc(Taradeeacbou1um(dcinDicimuc.fitigiturb|c|D|e|f|glbli|k|Ilm|n|o|ptefraradc
cacbotdum eu armonicuiti. Dico piimo inter b c ter contineri oiaicffaron.-tRani quia per becitnamqufntam
buiue b c D funt Duc biefes tctrartcmcric:cr(t b b fcmitonifi minus, ct d e eft bitonus.erit igitur b c prima Dia
tcITaron.et eodem fure c f fecunda. i b g tertia. v quia b e fuut bypate bvpaton i bvpatc mefon: fit igitur pti
m.) iinniobilfter.ee c o funt parbvpatc bvpaton t Hcbanos bvpaton inobllcsifit igitur et Duobus modis itio
bilitcr.CESecfido Dico folum femcl a psinio ad quintum limitem fieri Diapente: et fd quidem immobiliter,
nam non fiet Diapente b fquia folam fuperaddit coitfonantic DiatelTaron beDicflnt tetrartemeriam. iictp
bg quia folum fuperaddit eonfonontic DiatelTaron Dtiasbicfcsquc fuut femitonium mimis, nccp fictb b
quia confonnutic DiatelTaron fuperaddit femiton ium minus t Duos tonos, ncqj per idem fiet Diapente c g
aut c b.nom bic abundabit tonus t niefis: Ulfc autem Deerit tonus minus vna bicfi.ii cqj Dg. nam Deerit to*
nus.nccp D b-nain tonus abltdabir.a t vero cfiebflt DintdTaron : nam c f g Duc Dicfes: -t g b Ditonus | ct cn n
I? i fit tonusterit igitur e i biapcntc.ct cum c Iit bvpatc mefon ctf paramefe que monftratc funt immobiles,
fit igitur inter afTignatos limites folum fcmel biapente atqi inimobilitcr.Ccrtio fepties fieri DiapafotPVI in
Diatonicis ctteeiniaquinta Declaratur quemadmodum viccfiniabuiuetnonftrata eft.

Diatouicc modulationis: leptem modos ordine collocare.

a b c »

MVSICE

e f g b i k t

m n

0 P

V Ibypoiloilus

1 Illi

M lllll

i i

| 1 P7&U

S HjypopbiTSiuf

| £onus 1 1 |

II 1 1 1 1 1

i r

l 1 l P to

£ iljypolydlus

j Semito. B | l

II 1 I 1 1 1

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l l 1 1 P nl

a Eioilus

[ £onus 23 (

l II 1 11 1

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1 II 1 1 P d

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1 1 l 11 l P mo „

y Aydlus

| Semitomium

a U U l l

1 L

1 1 1 1 1 1 1 di.

Z XPyxolydlus

[ £onus

a i i i 1 l

1 1

l 1 1 1 l 1 1 1

a b c De f g b I klmrtop

CE Sitabct>vf<$ dd p pctitadecacboidiim blatonlcuin.flt r pio bypodoilo pcntadecacboidum olato*
nicum abcocfgl? t ft ImnopgrauIiritnumiquodvtalfoimnbafTeatqsfundamentumftatuaturter*
tendo vito tono fnactitncn pioflambanomcnonpcntadccacboidl samplluscp fit pioflambanomenos rad
quem ceterae voces ftio oidlne per quartam quintam t fertam bulus in Diatonico modulandi genere fiibfft
go.erltqs pcntadecacboidum s per Diffinitionem bypopbirgil modi. Similiter extendo ptoflambanome*
uon pcntadecacbdtdi f fcmltonlo amplius q> tenfusflt pioflambanomenos pentadccacboidf s cuitetra»
cboida per quartam quintam i fettam bulus vt pilus coapto, erltcp per Diffinitionem t pcntadecacboidum
brpolydtf modf.et pioflambanomenon v vno tono extendo amplius q> brpolydiftcul ceteras voces fuo o:s
dlnefequentesluolatonfcogcnerccoapto.crltcpconccntuspcntadecacbojdiv per Diffinitionem Doilus.et
fi amplias extendo x vno tono : erit pentadccocl?o:dI x cantus pbtyglus. ctfly femftonlo infnoie: erit eius
concentus lydlus.Stj amplius cxtenfo vno tono: fiet concentus mrxolydlus.ffcqs factum per Diffinitiones
patcbltpjopofltum.

Qjfe dinerforum modorum in aliquo genere fuerit prime vocis ad primam ha?
bitudo:ca erit fecunde ad fecundam et tertie ad tertiam ct cuiufiibet totius ad totam

flmilii eadem qj habitudo.

B b

l b c o c f g 1? I
(ESIta |b|c(D ad p vfqs pentadccacbozdum bypodoilum In aliquo genere vt Dlafonfcoret q|r| s ct fequen**
leo pcntadccaclponffi brpopbirglum.Dlftabltqs Idcirco q pioflambanomenos bypopbiVgif abapjofiamba
nomeno bypodoitf rnodi acutfo: vno tono.Dico ergo Ungulas bypopbiygi) • Ungulis bypodotif vt bypatos
bypatls|parl?yp9tas parbypatlslllcbanas lfcbanls et Ita confcqiieiitccifimUIter tono|ton{qs piopoitionc
DllIare.lHam cum pcntadecacboidum a p ctpcntadccacboidum qgfint vtraq; a pioflambanomeno In ne»
ten bvpcrbolcon Dlatonlcc cxtcnfa:crgo que piopoitlo a adbca eft per quartam bulus q ad r: ergo per ter»
tlam fccftdl Brltbmctfccs pennutatim vt a ad q Ita bad nata ad q rooft ratus eft effe tonus: igitur ct b ad r
tonus.ctconflmilltcr De fcquentlbus oftendatur.

Totus ordo diatonicus pcntadccachordi hypophrygii modi: totum hypodorium 2 ^
vnius acumine toni fuperat: & totus hypolydius eudem trifemftonio. fingnlc quoqj
doriifingulashypodorii diateffaron confonantia .totus vero phrygius confon antia
diapente. lydius aute diapefe arejt fcmitonio.& myxolyditis diapete at<J$ fcfquitono.

B b c d c f g b { b 1 m ii o^p

Vi IDypodoiIus | j j_ j_(“ l I l l__| I I I' 1 I I P 1 B 1 *»

Q Ibypo pbiyglus | goniis | | j 1 | | | | | | _| | | j | p to

£ (bypolydiuo | gemi to. B | j 1 | | M | I | | p nf

... • _u!_uuzcrrG~‘“- ■ ~~

se^biygius

y lydtus

Z iDrxolydlus

| So nus
| Zonus

| Semitonium

1 goniis

i i f p »*

IJ, ,1,1 'II IJdl I 1 U p_"i»

■ 1 i m i i i n u i *

a i i n i i i i i rn i i i .

a i i i i 1 i i i i i m i rr

H « t. c f(»rn "■ n o P
(ElHam pioflabanomenos bypopbiygif tono fuperat acumine pioflambanomenon bvpodoil). ergo
per piecedentem totus b\’popf?irsin® oido totum bvpodoiltim otd(ncm:ton( fuperat acumine.ctquia
pioflambanomenos bfpolydif fuperat acumfnc fcmltonl) mlnoils brpopbifgium : ergo (dem fuperat
acumine pioflambanomenon bfpodoilnm trlfemltonlo. igitur per piecedentem totus bfpolydlus oido
totum bVpodoiiumoid Incm trlfcmitonio fupcrcuadit acutloi. fed i quia ooilue toni acuticvincit bypoly»
dliimiergo Doiius Duobus tonis « fcmltonlo acutto: eft bypodoilo.ergo per fexta terti) eo aentio: eft confo?

IIII

nantia bfateffaron. quare per pxeecdentcm dngulc eotif Unguite bypodoxif biatcfftron confonantla io»
nant acutiozes. ctplnygius addit tonum iu acumine ooilo: igitur totus pbxygfus toto bypodoxfo eia»
pente confonantia modulatur aentioj. ct lydius pl;zygfo addit femitonfum minusetmyrolydiuslydioto»
tiuin.igiturlydius bypodoxfo eiapente t femitonio tmyrolydlus eiapente ctfcfquitono fonabit acutiox.
quod totum elt pxopofltum.

Hypolydius d/aton/ciis hypophrygium dinfonicum fcmftonfo/& dorins trifemi
ton/o /phrygitis diatcflaron /lydius diatcflaron & fcrnitonio/myxolydiiisdiatcflas
ron confonantia/atcp fefqufton/o fupercuadit acutior: &doriiis hypolydiotono/
phrygius ditono/Iydtns diatcflaron di m yxolydius diapenterphrygiusante addo*
rium fonat tonum lydius tr/femitonium & m yxolydius diatcflaron /lydius phrygio
femitonium & myxolydfus fcfquiton uni : myxolydim autem ly dio tonum.

CE (t>ec vt pxccedcns vel $facilt memondrabitur.
a 7 Septem modos chromatice modulationis conftitucrc.

2 1 b c eefg fr fk l i n n op

toypodoxfus

1 1 I 1 ITT

1 1 1 1 1 1 1 1 P7

llPypopbxygiuf | gonus 1 1 1 1 1

1 1 l l 1 1 M 1 P tbxo

lUypolyditis

| Semito. S | II 1 1

1 II 1 1 1 11 1 1 P nxa

Doxfuo

| Spotome a | | [ 1

II ! 1 II II 1 1 1 p ttd

qibbxygius

1 grffcmftonfu S | | [

II 1 M 1 II l 1 1 1 P mo

2-ydius

j Scmltomium B | |

J II 1 l 1 1 1 1 11 II

Z15ytoIydins

[ 21potome H [

1 1 II II M 1 ll II 1

H bc e e i g b i klmnop

CE "facio rpcntadecacboxdiim cbxomatfcum pcreccimam vndeeinmm et euodeeituam buiuot fimi liter
fec alia fcilj f 1 1 [ v 1 r 1 y | j: facioqj pcittadccacbozdtiin s tono acutius r. 1 1 pcntadecacboxdtim fetnitonio
acutius o.vvcroaporcmes irtterualloacHtfust. et rtrifemftonio amplius <j>v.y femitonio amplius cpx,
ct 5 apotome tranfeendere y: oleo ergo feptem modos cbtomatfce modulationis effe oxdinatos. nam r erit
bypodoxius s per oiffiuitionem bypopbxygius cbxonuticue.t bvpolydiue. v eotius.c pbiygius.y [ydius.5
inyrolydius;

28 QLuo pafto finguli cuilibet inter fe chromatici modi refpodeanttoftendere

CE Didat per piecedcntem bypopbiygius ab bypodoxfo cbzomatfco tono.ctbypolydius ab bypopbxygio
femitonio. Piftat igitur bypolydius abl?ypodoiio aentio: trifemitonfo.ct eoxfus ab l?ypolydfo eidat apoto
mc. igitur Potius abl?ypodoJto remotus edoitono.pbtygiusautemab boxio trifemitonio. igitur pbzy; 5
giws ab bvpodotio remouctur tribus tonis 1 feinitonfoxboc eft totius confonanticeiapente iuteruallo.t [y
diusopbiygio femitonio. fgiturlydius abbypodoiio eiapente atqj femitonio. tnyrolydius ab iydioeidat
apotome. igitur myrolydiusabbypodoifo eiapente confonantia eidat acutioxatcp tono. £tl?oc pacto ee
reliquis ct pxecedcute perfacilia ed odcnfto. vt bypolydiua ab bypopbxygio eidat femitonio.eotius tono,
pbxygfus eiateffaron. lydius eiatedaronet femitonio mycolydius eiapente. eotius a pl?tygio eidat apo^
«orne, pbtygins eitono. lydius eiatefiaron.myrolydius tritono. "j^biygius a eotio trifemitonio. lydius to
noetouobus femitomis mfnoxibus, tnytolydiue vero eiatedaron. fiydiusapbiygio femitonio et myro*
lydius tono, eidat autem myrolydiusvtiam quoqjbietumed a lydiomaioxe femitonio, ficqtconilructum
«ft pxopofltum.

2 9 Septem itidem enarmonicos modos ordinare.

__ 21 b c e e f g I? i k I m it o p

Jft_JI?ypodo2{tts I _1 ru i_i_ n | 1 1 "1 'T~| 1 P 7

<S_U?ypopl;>iygiueJ Conus p £t.ar

g »bypoly d(us~ 1 Dic as & j | j j 1 t _ 1 _ l „ 1 1 I 1 ! i I P.mo

3£_KM?iygi«is j EXto mis ~ 1 1 _ 1 _LL LJ_l_l _Cl 10 _l_l _P_ fi

% XPytol ydius i Dicfio S 1 " VI I l I J I J J 1~1 1 I [di.

2 b c e c f g b i klmnop

CE Sint r |fl 1 1 v |r| y|? I feptem pcntadceacboxda: ct dt per beciniamqtifntam buine r pentadecac!?otdtim
enarmonicum : intendo piodambanomcuou pentadecacboxdi 0 vito tono amplius pcntadccadpoxdo r.
ct t eied amplius q> s.ct v eicd ampli 9 <j't. ctreftouo amplius 5’ v. tyamplius eicdr. ctjampliuo iti?
dem eicd <y y. erunt ergo fcefidfi acumen inteufa fcjrpod pximum pcntadccacbordatpximo tono.eefmic pua
buo oicdbuo ct eitono.ecmum euabuscicftbusiqiii quidem intendendi modus enartnonfcc modulationi

MVSICE

peculiaris pzopziufqj fyabctur.fnnt igitur feptem pentadecacbozda r|f |t [v I* |y I5: feptem enarmonicc 1110*
tlu lationis modos coiuinentia.quod oemonftrari pzopofitittn erat.

Singulorum enarmonicorummodarum:adquehbct habitudines demonftrare. 5°
Clbuiu» er pt,:ccdcnti oemonflratio clara eficpotcfl libzimo bypopbzygi) ab bypodozfo oiftantfam efie
tonum.bvpolydijtonimitdiefim.oozijrefquitoniim.pbtygifdiapcnte.lydifoiapenteacofcfi.myrolydifoia
pente-tfemitonfo, Secundo bvpolydluni otftare ab bypopbzygio diefi.dozitim fcntftonio. pbzfglmn dias
tclTaron.lydiuin olatcffaron et biefumytolydiiiiiioiatelTaroti % femitouio.SIcrtto oozf utn ab l?ypolyd(o dic*

(T. pbzygfum ditono et oicll. Iydiunt diatelTarosi. myrolydium diatelfaroii 7 dicfi. iSUuirto pbtygyum a
do:ic ditono. Iydium bitono et dicfi, myrolydium oiatelTaron. Quinto Iydiunt a pbzygio dicfi. ctmy * 9
jtolydfum fetnitonfo. Serto myrolydium oiftare dicfi a lydio. CE Septem enim modos 1 no pinreo adfecit
pzifcozum autozfus lPytl?agozicozum.vt enim numerus a monade ad denarium vfq; varius crcfceus pzo s=
grcditiirzmor vero fequens denarius vuitatfs vicem obtinet pzimacp erplieat vilitatem eiufdein iu diuidue
monadiseoufozeletemulustqmad ccnteiiariiitnvfqjnirfusnouenaria pzogrelTionefccrtcnditrrclapriis
tandem in tertiant vilitatem. 3 ta quoqj vocum dtffimilftudo ac varietas er quibus inftarccleftis barmonic
concentus I?umaiii:mod(qj fozmatur ad octonarium vfqs furgit. funtq> feptem continue voces inter fc varie
quibus fucccdeus octonaria vocis plenitudo^ ifbzimus cm numeralis cubus pzimaqj tclTcra octonarius)
ad ptimam rurfus fonat vt eademtet ad eam fefe babens perinde ae denariusad vnitatem.fit bec octonaria
feries in omni modulationis genere fle rata pzoccditivt continue octauo quoqj loco octauum per ilmilem fi
bi 1 pene efidem fonus offendat fonum.ita vt er duobnsnatiua qnadamzconcozdiqs affinitate iaitt vmim fo
num 1 non multos parere videantur: vfqj adeo enim fc mifccntz et mutua fe fungun t: copnlantqs amicitia.

£t barum feptem vocum que grauifiima tardfffinuqs efl: Saturno debetur, pzorima ^ouirtertia ZWartf.
quarta 'MMjebo.qulntaSJencri.fcrtaZDcrcurfo.fcptiina vero earfiacutifTimflJcocitatilTfiiiaqs Jlunc octaua
autem rurfuiu reuoluitur ad Saturnum: nona ad 5 ouem:oediua ad ZDartcm. 1 boe paeto confcquentco:
vt fapicus voluit antiquitas, J£t re vera totius vnluerfl barmonia feptenario completa crt. et I?ec feptem in
celo cclcftcmzfubis autem inferioribus cozpozeam:fcnfibilcmq$ temperant harmoniam, fcd bec magi plc^
nius dtfcutiant.binc lieet cognofcere cur bvpermyrolydfuetfeptcni pytbagozfcis modis Ijaud multnm ve * 9
ttfat accommodandus. THam fl in oiatonfco genere myrolydium pcntadecadpozdum pzo bypermyrolydio
vnotono amplius acuatur: totuais vbiqs modus adbvpodozium coufonaret diapafon: octauufqs natus
eflet fonuesquf ad pzlmum idem: congeneufqs naturali affinitate rcddftur.qiiarc non ab bypodozio pzinto
modo omnifariam varius putandus eft.ct eque fi myrolydius intenderetur trifemftonio in cbzomatc 1 dito
ito in citarmoniozfcdde-bittfoJteatttpUufl ^’ ptefenti negoeio par fit dictum eft. Etmodiquos adfcccrcre*
centfozcsvtofuus 6 zcgoz(iisnbbflcmodozijniantiquftatcrcceduiit.etplcraq; alia que poltcriozes mnficf
f itculcaucrunt 1 qne ab illis facile rcqufras.et uofira quocp tempefiate muficum modulamen: atep omnem
condncutfamad celeritatem quadam pzccipitemq,- lenitatem reducere conantur: ntodefiam graiiS fcrisTqs
acdecotaiu concentuum moderationSperparil attemlcntcs.a moderatione enim dicti fuut modi, parum itf
attendentes pzffeiiminulIccsboneftatfBtgrauftatifqs pcciio:qun amentes arrcptitiofqs folucbant. fanita*
tes inducebant feros bominnm mozes vt olim Khzadus flehpbcuezad manfiictos i virtutis callem, renoca
bjiit.cterfcnfibilium barmonia adceleftisbarmonieocfideriuni captiuae animas tan<j> fui limi memozes
erili) vbertfmfliientibusoenliseiiocabaiit.bocenimmodozumaceoiimioda mediocritate i^ytbagozc oifei
puli faciebant. Tflou enim is inter boinfiies modeftiottcuiits omnis fncefTtie ciirfus videtur, neqt iocufiis
pzeccps nimium loquela pzefentium ludit iiitelligcntiam. 3 ta quoq? iieqjifmodeflfozes modi: qui nimia
ftii feftinantia quafi fu venerea ebozealafciuicntcs pzeterfugiant atidittim. (Duc enim oe caufa i|j>ytb<Jgo*
rea fcbola molles cbzomatfs modos repudiauit et Spartiate folEni decreto Eimoibemii XPillcfium iucre*
puenint vebernenter diatonicos concentus potfusappzobantes.quf fi apte moderentur virtutis pze fe fe**
nintmodefiinm.vtcnimnimia tarditate feu tozpoze quodam fartidimiir inani, fta nimia celeritas mollicii
qiiddam p:c fe fert fnboiiefiam.incdium enim neqs celeritate pzeccps nccignaiia tarditate pfgrnrn:laudabf
levirtiitifqtcmnlum.quam omnis etas pzobauitpzobaturaqsdhetfldqiiaiti niufici modi tancp moderatio*
nis animi qticdam certe regule nos perducere debent :ct ad diuina mentes noftras fugiter rapere.et felices
if crimtqui Ipocfine et mnficcii et omnem infidanam pbilofopbiam quefieriut.tieq, talibus dcefie folct cele*
ftis fauoz atep pzefidium.qui autem fecuo faciunt miferf:quales nullos ad quos noftra bec modulatfonuiu
elementa peruenerint futuros defideramus: quin efsomtifo barmonic vite dccits: feliciter optamusmo*
ftrfqj victuros memozes.

Quarti Elementorum Mufices Finis.

Explicitnm eft ergo Volumc quattuor
Introdufhoml • Mathcmaticaliu Ma<*
giftro Petro Ciruclo Darocenfi inter*
prete fimul et corrcftorc. Lausdco.

1516

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